2011山东临清三中数学必修4教学案：121任意角的三角函数（教、学案）VIP

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 临清三中数学组 编写人 郭振宇 审稿人 庞红玲 李怀奎 1 2 1 任意角的三角函数 教学目标 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值 在各象限的符号 2 理解任意角的三角函数不同的定义方法 3 了解如何利用与单位圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值 分别用正弦线 余弦线 正切线表示出来 4 掌握并能初步运用公式一 5 树立映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 教学重难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 三角函数线的正确理解 教学过程 一 创设情境创设情境 提问 锐角 O 的正弦 余弦 正切怎样表示 借助右图直角三角形 复习回顾 引入 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图 设锐角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的正半轴重合 那 么它的终边在第一象限 在 的终边上任取一点 P a b 它与原点的距离 22 0rab 过P作 x轴的垂线 垂足为M 则线段OM的长度为a 线 段MP的长度为b 则sin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点 P在 的终边上的位置的改变而改变呢 显然 我们可以将点取在使线段OP的长 1r 的特殊位置上 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考 上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的概念推广以 后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利推广到任意角呢 本节课就研 究这个问题 任意角的三角函数 二 探究新知探究新知 1 探究 结合上述锐角 的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三角函数值呢 y P a b r O M a的终边 P x y O x y 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆的定义 在直角坐标系中 我们称 以原点O为圆心 以单位长度为半径的圆 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 P x y 那么 1 y叫做 的正弦 sine 记做sin 即siny 2 x叫做 的余弦 cossine 记做cos 即cosx 3 y x 叫做 的正切 tangent 记做tan 即tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终边 终边就必然与单位 圆有交点 P x y 从而就必然能够最终算出三角函数值 3 思考 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交点 该如何求它的三角 函数值呢 前面我们已经知道 三角函数的值与点P在终边上的位置无关 仅与角的大小有关 我 们只需计算点到原点的距离 22 rxy 那么 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 所以 三角函数是以为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系 故三角函数也可以看成实数 为自变量的函数 4 探究 请根据任意角的三角函数定义 将正弦 余弦和正切函数的定义域填入下表 再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中 定义域 三角函数 角度制弧度制 第一象限第二象限第三象限第四象限 sin cos tan 5 思考 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值有和关系 终边相同的角的同一三角函数值相等 即有公式一 sin 2 sink cos 2 cosk 其中kZ tan 2 tank 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 6 三角函数线 设任意角 的顶点在原点 始边与 轴非负半轴重合 终 Ox 边与单位圆相交与点 过作 轴的垂线 垂足为 过点作单位圆的P x yPxM 1 0 A 切线 它与角 的终边或其反向延长线交与点 T 由四个图看出 当角 的终边不在坐标轴上时 有向线段 于是有 OMx MPy sin 1 yy yMP r MPcos 1 xx xOM r OMtan yMPAT AT xOMOA AT 我们就分别称有向线段为正弦线 余弦线 正切线 MP OM AT ox y M T P A x y oM T P A x y o M T P A ox y M TP A 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT 分别叫做角 的正弦线 余 弦线 正切线 统称为三角函数线 7 例题讲解 例 1 已知角 的终边经过点 求 的三个函数制值 2 3 P 解 2 3 4913Pr 33 sin13 1313 22 cos13 1313 33 tan 22 变式训练 1 已知角 的终边过点 0 3 4 P 求角 的正弦 余弦和正切值 解 4 sin 5 y r 3 cos 5 x r 4 tan 3 y x 例 2 求下列各角的三个三角函数值 1 2 3 0 3 2 解 1 sin0 0 cos0 1 tan0 0 2 sin0 cos1 tan0 3 33 sin1 cos0 22 变式训练 2 求 5 3 的正弦 余弦和正切值 例 3 已知角 的终边过点 求 的三个三角函数值 2 0 aa a 解析 计算点到原点的距离时应该讨论 a 的正负 变式训练 3 求函数的值域 x x x x y tan tan cos cos 解析 分四个象限讨论 答案 2 2 0 例 4 利用三角函数线比较下列各组数的大小 1 与 2 tan与 tan 3 2 sin 5 4 sin 3 2 5 4 三 学习小结学习小结 1 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同 2 你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3 请写出各三角函数的定义域 4 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗 5 三角函数线的做法 四 作业布置作业布置 作业 习题 1 2 A 组第 1 2 题 五 板书设计板书设计 临清三中数学组 编写人 郭振宇 审稿人 庞红玲 李怀奎 1 211 21 任意角的三角函数任意角的三角函数 课前预习学案 一 预习目标 1 了解三角函数的两种定义方法 2 知道三角函数线的基本做法 二 预习内容 根据课本本节内容 完成预习目标 完成以下各个概念的填空 三 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有哪些疑惑 请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一 学习目标 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值 在各象限的符号 2 理解任意角的三角函数不同的定义方法 3 了解如何利用与单位圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值 1 2 1 任意角的三角函数 一 复习引入 二 概念形成 1 三角函数定义 2 三角函数线 三 例题讲解 小结 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 6 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 分别用正弦线 余弦线 正切线表示出来 4 掌握并能初步运用公式一 5 树立映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 二 重点 难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 三角函数线的正确理解 三 学习过程 一 复习 1 初中锐角的三角函数 2 在 Rt ABC 中 设 A 对边为 a B 对边为 b C 对边为 c 锐角 A 的正弦 余弦 正 切依次为 二 新课 1 三角函数定义 在直角坐标系中 设 是一个任意角 终边上任意一点 除了原点 的坐标为 它与原点的距离为P x y 那么 2222 0 r rxyxy 1 比值 叫做 的正弦 记作 即 2 比值 叫做 的余弦 记作 即 3 比值 叫做 的正切 记作 即 2 三角函数的定义域 值域 3 三角函数的符号 由三角函数的定义 以及各象限内点的坐标的符号 我们可以得知 正弦值对于第一 二象限为 对于第三 四象限为 y r 0 0yr 0 0yr 余弦值对于第一 四象限为 对于第二 三象限为 x r 0 0 xr 函 数 定 义 域值 域 siny cosy tany 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 0 0 xr 正切值对于第一 三象限为 同号 对于第二 四象限为 y x x y 异号 x y 4 诱导公式 由三角函数的定义 就可知道 即有 5 当角的终边上一点的坐标满足 时 P x y 有三角函数正弦 余弦 正切值的几何表示 三角函数线 设任意角 的顶点在原点 始边与 轴非负半轴重合 终 Ox 边与单位圆相交与点过作 轴的垂线 垂足为 过点P x yPxM 作单位圆的切线 它与角 的终边或其反向延长线交与点 1 0 A T ox y M T P A ox y M TP A x y oM T P A x y o M T P A 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 由四个图看出 当角 的终边不在坐标轴上时 有向线段 于是 OMx MPy 有 sin 1 yy yMP r cos 1 xx xOM r tan yMPAT AT xOMOA 我们就分别称有向线段为正弦线 余弦线 正切线 MP OM AT 三 例题 例 1 已知角 的终边经过点 求 的三个函数制值 2 3 P 变式训练 1 已知角 的终边过点 0 3 4 P 求角 的正弦 余弦和正切值 例 2 求下列各角的三个三角函数值 1 2 3 0 3 2 变式训练 2 求 5 3 的正弦 余弦和正切值 例 3 已知角 的终边过点 求 的三个三角函数值 2 0 aa a 变式训练 3 求函数的值域 x x x x y tan tan cos cos 例 4 利用三角函数线比较下列各组数的大小 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 9 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 1 与 2 tan与 tan 3 2 sin 5 4 sin 3 2 5 4 四 小结 课后练习与提高 一 选择题 1 是第二象限角 P x 5 为其终边上一点 且 x 4 2 cos 则 sin 的值 为 A 4 10 B 4 6 C 4 2 D 4 10 2 是第二象限角 且 2 cos 2 cos 则2 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 3 如果 42 那么下列各式中正确的是 A cos tansin B sincostan C tan sincos D cossintan 二 填空题 4 已知 的终边过 a3 9 2 a 且 0cos 0sin 则 的取值范围是 5 函数