江西师大附中2013届高三数学第三次模拟考试试题 理

1 江西师大附中江西师大附中 20132013 届高三数学第三次模拟考试试题届高三数学第三次模拟考试试题 理理 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至 2 页 第 卷第 3 至第 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写答题卡上 考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 II 卷用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书 写作答 在试题卷上作答 答题无效 3 考试结束 务必将试卷和答题卡一并上交 参考公式 参考公式 锥体体积公式 其中为底面积 为高 1 3 VSh Sh 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若 则复数 z 的虚部为 B i i z 21 A B C D i 1 2i 2 2 已知 且 则 A 0 sincos2 tan A 1 B 1 C D 23 3 已知向量 的夹角为 且 则向量与的夹角为 D ab 602 a1 baba2 A B C D 50 120 60 30 4 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 C A 2 B 1 C D 2 3 1 3 5 为了考察两个变量x和 y 之间的线性相关性 甲 乙两位同学各 自独立地做 10 次和 15 次试验 并且利用线性回归方法 求得回归直 线分别为l1和l2 已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均 值都是s 对变量 y 的观测数据的平均值都是t 那么下列说法正确的 B A l1和l2必定平行 B l1和l2有交点 s t C l1与l2必定重合 D l1与l2相交 但交点不一定是 s t 6 某会议室第一排有 9 个座位 现安排 4 人就座 若要求每人左右均有空位 则不同的坐 法种数为 C A 8 B 16C 24D 60 7 已知双曲线 1 的右焦点F与抛物线y2 12x的焦点重合 则该双曲线的右焦点F x2 4 y2 b2 2 作其渐近线垂线 垂足为M 则点M纵坐标为 C A B C D 3 4 3 4 3 52 3 52 8 定义在 R 上的可导函数f x 且f x 图像连续 当x0 时 1 0fxxf x 则函 数 1 g xf xx 的零点的个数为 C A 1B 2C 0D 0 或 2 9 数列满足 若数列的前项和 n a 12 1aa 12 2 cos 3 nnn n aaanN n an 为 则的值为 D n S 2012 S A B C D 672 671 2012672 10 如图 液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中 开始时 漏斗盛满液体 经 3 分钟漏 完 已 知圆柱中液面上升的速度是一个常量 H是圆锥形漏斗中液面下落的距离 则H与下落 时间t 分 的函数关系表示的图象只可能是 B 第 卷 注 注 第 卷共 2 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答 答案无 效 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 11 下列四个命题 集合的真子集的个数为 4321 aaaa15 6的二项展开式中的常数项为 160 2 x 1 x 1 20132 1 sin 1 2 xxdx 已知 条件 条件 则是的充分必要条件 R xpxx 2 q1 1 x pq 其中真命题的个数是 2 12 右图给出的是计算的值的一个程序框图 20 1 6 1 4 1 2 1 其中判断框内应填入的条件是 i i 10 3 13 已知与 01cossin 2 aa01cossin 2 bbba 直线过点与点 则坐标原点到直线MNMN 2 aaM 2 bbN 的距离是 1 14 函数 min 2 2f xx x 其中 min a ab a b b ab 若动直线ym 与函数 yf x 的图像有三个不同的交点 它们的横坐标分别为 123 x x x 则 123 xxx 是否存在 最大值 若存在 在横线处填写其最大值 若不存在 直接填写 不存在 1 三三 选做题 请在下列两题中任选一题作答选做题 请在下列两题中任选一题作答 若两题都做 则按第一题评阅计分若两题都做 则按第一题评阅计分 本题共本题共 5 5 分分 15 1 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系中 曲线和从参数方程xOy 1 C 2 C 分别为 为参数 和 为参数 则曲线与的交点坐标为 xt yt t 2cos 2sin x y 1 C 2 C 1 1 2 对于实数 若的最大值为 5xy 11 21 21xyxy 则 四 解答题 本大题共四 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 已知向量 其中 0 1 sin xm 2cos 6 cos 4 xxn 函数最小正周期为 xR nmxf 1 求f x 单调递增区间 2 在中 a b c 分别是角A B C的对边 已知 ABC 222 bacacacbc 且 求f A 值 解 1 xxxxf cos 6 cos sin4 12sin3 x 由得 2 2 T1 12sin3 xxf 解得 f x 单调递增区间为 kxk2 2 22 2 zkkk 4 4 2 联立得 bcacca acb 22 2 bccba 222 即 2 1 cos A 3 A 2 5 3 fAf 4 17 师大附中红五月举行投篮比赛 比赛规则如下 每次投篮投中一次得 2 分 未中扣 1 分 每位同学原始积分均为 0 分 当累积得分少于或等于2 分则停止投篮 否则继续 每位同 学最多投篮 5 次 且规定总共投中 5 4 3 次的同学分别为一 二 三等奖 奖金分别为 30 元 20 元 10 元 某班甲 乙 丙同学相约参加此活动 他们每次投篮命中的概率均为 2 1 且互不影响 1 求甲同学能获奖的概率 2 记甲 乙 丙三位同学获得奖金总数为 X 求 X 的期望 EX 解 1 32 15 2 1 2 1 2 1 2 1 554 5 553 5 CCP 2 记甲同学获得奖金为 Y 则 Y 的分布列如下 Y0102030 P 32 17 32 9 32 5 32 1 8 55 EY 8 165 3 EYEX 18 如图 三棱锥P ABC中 平面PAB平面ABC 是边长为 6 的等边三角形 PAB AC 6 D E 分别为 PB BC 中点 点F为线段AC上一点 且满足AD 平面 90BAC PEF 1 求值 FC AF 2 求二面角A PF E的余弦值 解 连结 CD 交 PE 于点 G 过点 G 作交ADGF AC 于点 F 则AD 平面PEF G 为重心 PBC 2 GD CG 又 所以ADGF 2 1 CG DG FC AF 2 如图以 AB 中点 O 为原点建系 则 33 0 0 P 0 0 3 A 0 2 3 F 0 3 0 E 分别设平面 PAF 面 PEF 的法向量为 111 zyxm 222 zyxn 则 取 0 0 mAF mPA 1 0 3 m 取 0 0 nPE nEF 3 3 1 n 13 39 coscos nm P A B C E D P A B C E D G O y x z 5 19 已知数列 an 满足 其中 0 且 1 n 7 6 1 a 121 10 nn aaaa N 为数列 an 的前项和 n Sn 1 求数列 an 的通项公式 n a 2 当时 数列 an 中是否存在三项构成等差数列 若存在 请求出此三项 若不存在 1 3 请说明理由 解 1 由题意 可得 01 121 nn aaaa 所以有 2 01 121 naaaa nn 又 0 1 1 nn aa 2 n1 0 得到 故数列从第二项起是等比数列 2 1 1 naa nn n a 又因为 所以n 2 时 4 分 7 1 2 a 2 1 7 1 n n a 所以数列 an 的通项 6 分 2 1 7 1 1 7 6 2 n n a n n 2 因为 所以 8 分 3 1 2 4 7 3 1 7 6 2 n n a n n 假设数列 an 中存在三项am ak ap成等差数列 不防设m k p 2 因为当n 2 时 数列 an 单调递增 所以 2ak am ap 6 即 2 4k 2 4m 2 4p 2 化简得 2 4k p 4m p 1 3 7 3 7 3 7 即 22k 2p 1 22m 2p 1 若此式成立 必有 2m 2p 0 且 2k 2p 1 1 故有 m p k 和题设矛盾 10 分 假设存在成等差数列的三项中包含a1时 不妨设m 1 k p 2 且ak ap 所以 2ap a1 ak 2 4p 2 4k 2 所以 2 4p 2 2 4k 2 即 22p 4 22k 5 1 3 7 6 7 3 7 因为k p 2 所以当且仅当k 3 且p 2 时成立因此 数列 an 中存在a1 a2 a3或 a3 a2 a1成等差数列 12 分 20 本题满分 13 分 已知椭圆经过点 一个焦点是 C 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 3 2 1 3 0 F 1 求椭圆的方程 C 2 设椭圆与轴的两个交点为 点在直线上 直线 分别与Cy 1 A 2 AP 2 ay 1 PA 2 PA 椭圆交于 两点 试问 当点在直线上运动时 直线是否恒经过定点CMNP 2 ay MN 证明你的结论 Q 解答 解 I 一个焦点是 F 0 故 c 可设椭圆方程为 2 分 点 在椭圆上 b2 1 舍去 椭圆方程为 4 分 II 直线 MN 恒经过定点 Q 0 1 证明如下 当 MN 斜率不存在时 直线 MN 即 y 轴 通过点 Q 0 1 6 分 当点 P 不在 y 轴上时 设 P t 4 A1 0 2 A2 0 2 M x1 y1 N x2 y2 直线 PA1方程 y PA2方程 y y 代入得 1 t2 x2 2tx 0 7 得 x1 y1 8 分 y 代入得 9 t2 x2 6tx 0 得 x2 y2 10 分 kQM kQN 直线 MN 恒经过定点 Q 0 1 12 分 21 设函数 其中 的图像在处的切线与直 322 21f xxmxm xm 2m 2x 线垂直 5120 xy 1 求函数的极值与零点 f x 2 设 若对任意 存在 使成立 1 ln x g xx kx 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x 求实数的取值范围 k 3 若 且 证明 0a 0b 0c 1abc 222 9 11110 abc abc 解 1 因为 所以 22 34fxxmxm 2 2 1285fmm 解得 或 又 所以 1m 7m 2m 1m 由 解得 2 3410fxxx 1 1x 2 1 3 x 所以 150 327 f xf 极小值 1 2f xf 极大值 因为 所以函数的零点是 322 22 2 1 f xxxxxx f x2x 2 由 1 知 当时 0 1 x min 50 27 f x 对任意 存在 使 等价于 在上的最小值 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x f x 0 1 大于在上的最小值 即当时 g x 0 1 0 1 x min 50 27 g x 22 1 11 x k g x kxxx 当时 因为 所以 符合题意 0k 0 1 x 150 ln0 27 x g xx kx 当时 所以时 单调递减 01k 1 1 k 0 1 x 0g x g x 所以 符合题意 min 50 1 0 27 g xg 当时 所以时 单调递减 1k 1 01 k 1 0 x k 0g x g x 时 单调递增 所以时 1 1 x k 0g x g x 0 1 x 8 min 111 1lng xg kkk 令 则 所以在上单调递增 23 ln 27 xxx 01x 1 10 x x x 0 1 所以时 即 0 1 x 50 1 0 27 x 23 ln 27 xx 所以 符合题意 min 1112350 1ln1 2727 g xg kkk 综上所述 若对任意 存在 使成立 则实数的取值范 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f x