【学案】1111平方根

11 111 1 1 1 平方根平方根 学习目标学习目标 1 从实际问题的需要出发 引进平方根概念 体现从实际到理论 具体到抽象这样一个一 般的认识过程 培养学生辩证唯物主义观点 2 从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算 突出平方运算和开平方运算的互逆性 3 使学生理解数的平方根的概念 能运用根号表示一个数的平方根 4 掌握用平方运算求某些数的平方根的方法 学习过程学习过程 一 创设情境一 创设情境 问题问题 1 1 要剪出一块面积为 25 cm2的正方形纸片 纸片的边长应是多少 问题问题 2 2 已知圆的面积是 16 cm2 求圆的半径长 学生探索 回答问题 二 探究归纳二 探究归纳 问题问题 1 1 解解 设正方形纸片的边长为xcm 依题意有 x2 25 求出满足x2 25 的x值 就可得正方形纸片的边长 因 52 25 5 2 25 故满足x2 25 的x的值可以是 5 也可以是 5 但正方形边长只 能取正值 所以x 5 答答 正方形纸片的边长为 5cm 这个问题实质上就是要找一个数 这个数的平方等于 25 问题问题 2 2 解解 设圆的半径为R cm 依题意有 R2 16 即R2 16 求出满足R2 16 的R的值即可求出圆的半径 因 42 16 4 2 16 故满足R2 16 的R的值为 4 或 4 但圆的半径只能取正值 所 以数R 4 答 圆的半径为 4cm 这个问题实质上就是要找一个数 这个数的平方等于 16 刚才具体的二个例子 从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题 已知某数的平方 要求这个数 用式子来表示就是如果x2 a 求x的值 概括概括 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根平方根 squaresquare rootroot 也叫a的二 次方根 在上述例 1 问题中 因为 52 25 所以 5 是 25 的一个平方根 又因为 5 2 52 25 所 以 5 也是 25 的一个平方根 这就是说 25 的平方根有两个 5 与 5 在上述例 2 问题中 因为 42 16 所以 4 是 16 的一个平方根 又因为 4 2 42 16 所以 4 也是 16 的一个平方根 这就是说 16 的平方根有两个 4 与 4 所以 根据平方根的意 义 我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根 三 实践应用三 实践应用 例例 1 1 求 100 的平方根 解解 因为 102 100 10 2 100 除了 10 和 10 以外 任何数的平方都不等于 100 所以 100 的平方根是 10 和 10 也可以说 100 的平方根是 10 学生试一试 学生试一试 1 144 的平方根是什么 2 0 的平方根是什么 3 25 4 的平方根是什么 4 4 有没 有平方根 为什么 请学生也编三道求平方根的题目 并给出解答 与同学交流 你发现 了什么 1 平方根的性质 问问 正数的平方根是什么 答答 如果数是正数 它们都有两个平方根 这些数的两个平方根都分别是互为相反数 问问 0 的平方根是什么 答答 0 的平方根是 0 这是因为 02 0 由于任何不为零的数的平方都不等于零 所以零的 平方根只有一个 它就是零本身 问问 负数有平方根吗 为什么 答答 负数没有平方根 由于正数 零和负数的平方都不是负数 所以负数没有平方根 请同学概括数的平方根的性质 答答 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 0 有一个平方根 它是 0 本身 负数没有平 方根 2 一个非负数a的平方根的表示法 当a 0 时 a的正的平方根用符号 2 a 表示 其中a叫做被开方数 2 叫做根指数 a 的负的平方根用符号 2 a 表示 这两个平方根合起来可以记作 2 a 这里 符 号 2 读作 二次根号 2 a 读作 二次根号a 当根指数是 2 时 通常将这个 2 省略不写 如 2 a记作a 读作 根号a 2 a 记作a 读作 正负根号a 一般地 如果x 2 a a 0 那么a的平方根可以表示为x a 例如 9 的平方根记 作9 读作正负根号 9 3 开平方 求一个数a a 0 的平方根的运算 叫做开平方开平方 开平方运算是已知指数和幂求底数 平 方与开平方互为逆运算 一个数可以是正数 负数或者是 0 它的平方数只有一个 正数 或负数的平方都是正数 0 的平方是 0 但一个正数的平方根却有两个 这两个数互为相反 数 0 的平方根是 0 负数没有平方根 因为平方与开平方互为逆运算 因此我们可以通过 平方运算来求一个数的平方根 也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方 根 例例 2 2 将下列各数开平方 1 49 2 1 69 分析分析 开方运算就是求平方根 我们可以通过平方运算来解决 解解 1 因为49 7 2 所以 49 的平方根是 7 即749 2 因为69 1 3 1 2 所以 1 69 的平方根是3 1 即3 169 1 例例 3 3 下列各数有平方根吗 如果有 求出它的平方根 如果没有 请说明理由 1 64 2 0 3 4 2 分析分析 因为只有正数和零才有平方根 所以首先应观察所给出的数是否为正数或 0 解解 1 因为 64 是负数 所以 64 没有平方根 2 0 有一个平方根 它是 0 3 因为016 4 2 所以 2 4 有两个平方根 且416 4 2 四 交流反思四 交流反思 1 一般地 如果x 2 a 那么叫x做a的平方根 也叫a的二次方根 用a 表 示 当a 0 时a有两个平方根 即a a表示a的正的平方根 a表示a的负的 平方根 它们互为相反数 当a 0 时 a有一个平方根 就是它本身 负数没有平方根 2 求一个数a的平方根的运算 叫做开平方 平方和开平方运算有区别又有联系 区别在 于 平方运算中 已知的是底数和指数 求的是幂 而在开平方运算中 已知的是指数和 幂 求的是底数 在平方运算中的底数可以是任意数 平方的结果是唯一的 在开平方运 算中 被开方数必须是非负数 开平方的结果不一定是唯一的 3 平方和开平方运算又有联系 二者互为逆运算 4 求一个数的平方根 可以通过平方运算来解决 五 检测反馈五 检测反馈 1 说出下列各数的平方根 1 64 2 0 25 3 64 49 2 求下列各数的平方根 1 81 16 2 0 36 3 324 3 平方根等于本身的数是 4 已知16 2 2 x y 是 2 5 的正的平方根 求代数式 yx x yx x 的值 答案