2012届高三数学二轮精品专题卷 专题9 立体几何

用心 爱心 专心1 绝密 启用前 20122012 届高三数学二轮精品专题卷 专题届高三数学二轮精品专题卷 专题 9 9 立体几何立体几何 考试范围 立体几何考试范围 立体几何 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目在每小题给出的四个选项中 只有一个符合题目 要求的 要求的 1 若直线 l 与平面垂直 则下列结论正确的是 A 直线 l 与平面内所有直线都相交B 在平面内存在直线 m 与 l 平行 C 在平面内存在直线 m 与 l 不垂直 D 若直线 m 与平面平行 则直线 l m 2 某个几何体的三视图如图所示 根据图中标出的长度 那 么这个几何体的体积是 A 3 B 3 3 C 3 32 D 3 3 理理 如下图所示是一个半径等于2 的半球 现过半球底面的中心作一个与底面成80 角的截面 则截面的面 积为 A B 2 C D 2 80sin 文 文 如上图所示是一个半径等于 2 的半球 则这个半球的表面积为 A B C D 4 8 12 16 4 理 理 如下图 三棱锥 P ABC 中 三条侧棱两两垂直 且长度相等 点 E 为 BC 中点 则直线 AE 与平面 PBC 所成角的余弦值为 A B C D 3 3 3 6 3 1 3 2 文文 如上图 三棱锥P ABC中 三条侧棱两两垂直 且长度都为1 点E为BC上一点 则截面PAE面积的最小值为 来源 Z 2 求证 AP GH 17 本题满分 12 分 如图 已知三棱柱的所有棱长都是 2 CBAABC 且 60 ACAABA 1 求证 点在底面 ABC 内的射影在 BAC 的平分线上 A 2 求棱柱的体积 CBAABC 用心 爱心 专心4 18 本题满分 13 分 如图 多面体 ABCD EFG 中 底面 ABCD 为正方形 GD FC AE AE 平面 ABCD 其正 视图 俯视图及相关数据如图 1 求证 平面 AEFC 平面 BDG 2 求该几何体的体积 3 求点 C 到平面 BDG 的距离 19 本题满分 13 分 如图一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O G H 分别是 AE BC 的中点 AB 是圆 O 的直径 四边形 DCBE 为平行四边形 且 DC 平面 ABC 1 求证 GH 平面 ACD 2 证明 平面 ACD 平面 ADE 3 若 AB 2 BC 1 试求该几何体的体积 V 2 3 tan EAB 20 本题满分 13 分 边长为 2 的正方体中 P是棱 CC1上任一点 1111 DCBAABCD 20 mmCP 1 是否存在满足条件的实数 m 使平面面 若存在 求出 m 的值 否则 请说明理由 1 BPD 11B BDD 2 理 理 试确定直线 AP 与平面 D1BP 所成的角正弦值关于 m 的函数 并求的值 mf 1 f 文 文 是否存在实数 m 使得三棱锥和四棱锥的体积相等 若存在 求出 m 的值 否则 PACB 1111 DCBAP 请说明理由 用心 爱心 专心5 21 本题满分 14 分 如图 直角梯形 ABCD 中 AB BC 且 ABC 的面积等于 90 BADABC ADC 面积的 梯形 ABCD 所在平面外有一点 P 满足 PA 平面 ABCD 2 1 PBPA 1 求证 平面 PCD 平面 来源 金太阳新课标资源网 PAC 2 侧棱上是否存在点 E 使得平面 PCD 若存在 指出点 E 的位置并证明 若不存在 请说明理PA BE 由 3 理 理 求二面角的余弦值 CPDA 2012 届专题卷数学专题九答案与解析届专题卷数学专题九答案与解析 1 命题立意 本题考查直线与平面垂直的定义及直线与平面平行的简单性质 思路点拨 首先根据直线与平面垂直的定义判断出直线与平面内所有直线的位置关系 再根据直线与 平面的平行性质分析直线之间的关系即可 用心 爱心 专心6 答案 D 解析 根据直线和平面垂直的定义可知 直线 l 与平面内的直线都垂直 可能是异面也可 能相交 故 A B C 都是错误的 对于 D 在平面 内一定存在直线 n 与 m 平行 且 l n 故 l m 所以 D 是正确的 2 命题立意 本题借助三视图考查三棱锥体积的求解 思路点拨 把三视图对应的几何体还原成三棱锥 根据棱锥的体积计算公式即可求解 答案 B 解析 根据三视图可知 原几何体是一个三棱锥 且底面是边长为2 的正三角形 高为1 故体积为 3 3 13 3 1 V 3 理 命题立意 本题主要考查球的结构及截面特征 思路点拨 先根据条件分析出截面的特点 再利用相应面积公式计算即可 答案 C 解析 所作截面是一个半大圆 面积为 24 2 1 文 命题立意 本题主要考查球的面积计算 思路点拨 此半球的表面积是一个半球面的面积加上一个大圆的面积 答案 C 解析 图中半球的面积为 1284 4 理 命题立意 本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定 直线和平面所成角的求解 思路点拨 根据条件易知 PA 平面 PBC 故直线 AE 与平面 PBC 所成的角即为 APE 再在 Rt PAE 中 利用三角函数的定义即可求解 答案 A 解析 因为 PA PB PA PC 所以 PA 平面 PBC 所以 直线 AE 与平面 PBC 所成的角即为 APE 设 PA PB PC 1 则 因为 E 为 BC 中点 所以 故2 BCACAB 2 6 AE 3 3 cos 22 AE PAAE AE PE APE 文 命题立意 本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定 截面面积的求解 思路点拨 先判断三角形的形状 再根据面积的表达式求最小值 答案 C 解析 因为三条侧棱两两垂直且长度为 1 所以 AP 平面 PBC AP PE 故只需 PE 的长度最小 所以 PE BC 时 面积取得最小值 PEPEAPS PAE 2 1 2 1 2 2 PE 4 2 5 命题立意 本题借助命题真假的判定考查直线与平面 平面与平面之间的平行与垂直关系 思路点拨 先写出每个命题的逆命题 再逐个判断即可 要注意每个命题逆命题的形式 答案 C 解析 选项 C 的逆命题是 若 则显然不成立 b ab 6 命题立意 本题以圆锥为载体考查圆锥的侧面积计算及三视图的特征 思路点拨 先根据圆锥的侧面积公式计算出圆锥底面圆的半径 进而可知主视图三角形各边的长即可 求出面积 来源 金太阳新课标资源网 答案 B 解析 设圆锥底面半径为 r 则侧面积为 故 而主视图是一个等腰三 22 rS1 r314 h 角形 面积为 3 hr 7 命题立意 本题以长方体为载体考查长方体与球的组合体的关系及简单的不等式性质应用 思路点拨 先根据球的体积求出其半径 再根据长方体边长与球半径的关系建立方程 进而利用不等 式性质求出表面积的最大值 用心 爱心 专心7 答案 B 解析 设球的半径为 R 则 故 R 2 设长方体三边长分别为 a b c 则 3 4 3 32 3 R 表面积为 即长方体表面积的最大值为16 2 2222 Rcba 222 2222 32abbccaabc 32 8 命题立意 本题借助三视图考查组合体的特征及圆柱体积的计算 思路点拨 先根据三视图计算出组合体的体积最大值 再结合圆柱的体积公式 利用体积相等即可计算出水面 上升的高度 答案 B 解析 由题知 底部这一层最多摆放 9 个正方体 上面一层最多摆放 4 个正方体 故组合体 的体积最大值为 13 设水面上升的高度为 h 则 则 h 2 13 13 13 1 h 9 命题立意 本题考查直线与平面垂直 性质的应用及空间几何体体积的计算问题 思路点拨 把直线与平面垂直的条件转化为直角三角形 再利用三角形内的关系计算出高 PA 即可 答案 B 解析 因为 PA 平面 ABCD 所以 BC PA 又 ABCD 是正方形 所以 BC PA 故 BC 平面 PAB 所以 BC PB 在 Rt PBC 中 易得 故 在 Rt 3 22 BEBCCECPCEBC 2 33 3 9 2 CE BC CP PAC 中 故四棱锥 P ABCD 的体积为 3 22 ACCPPA933 3 1 2 10 命题立意 本题以三棱锥为载体考查直线与平面垂直的判定与性质的应用 思路点拨 先分析出轨迹图形的形状 再根据所给数据进行计算即可 答案 A 解析 由可知 S 在底面 ABCD 内的射影是底面的中心 即 AC 与 BD 交点6 SDSCSBSA O 要使得 PE 保持与 AC 垂直 只需使得 P 在 AC 的垂面上运动 如图中的 EFG 即为 P 的轨 迹 且 EFG 的面积 2 6 2 1 SDFGEG2 2 1 BDEF 2 2 2 1 2 1 22 EFFGEFS 11 命题立意 本题考查三视图的识别及棱台体积的求解 思路点拨 根据所给三视图分析出对应几何体的特征 再利用相关公式即可求出体积 答案 解析 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台 这个四棱台的高是 2 上底 3 14 面是边长为 1 的正方形 下底面是边长为 2 的正方形 故其体积 V 12 22 2 1 312 22 14 3 12 理 命题立意 本题考查二面角 直线与平面所成角之间的关系及空间想象能力 思路点拨 先找出二面角 直线与平面所成角对应的平面角 把题中的三个角转化到直角三角形内 进而可以找出他们的关系 答案 解析 如图 过 A 作 AO 平面 Q 垂足为 O 过 O 作 OC 交 sinsinsin 线 l 于点 C 连结 AC 易证 AC l 为二面角 P l Q 的平面角 即 ACO ACO 因为 AO 平面 Q 所以为 A 和平面 Q 所成的角 所以 分别在 ABC ABO ABO Rt AOB Rt AOC Rt ACB 中 有 AB AO sin AC AO sin AB AC sin 故 sinsinsin 文 命题立意 本题考查类比推理及与球有关的组合体的计算问题 对空间想象能力要求较高 来 源 金太阳新课标资源网 思路点拨 根据组合体的主视图进行分析 分别计算出外接球和内切球半径即可 用心 爱心 专心8 答案 3 1 解析 设该三棱锥的边长为 a 计算可得高为 设外接球半径为 R 则根据球和三棱锥 a 3 6 的对称性可知 球心在高所在的线段上 由勾股定理可得 则 故内切球半径 222 3 3 3 6 RaRa aR 4 6 为 故外接球与内切球半径之比为 3 1 aaar 12 6 4 6 3 6 13 命题立意 本题考查圆锥侧面积与全面积的计算方法 思路点拨 根据条件求出底面半径与母线的关系 再表示出全面积与侧面积即可 答案 解析 设圆锥的底面半径为 r 母线长为 l 则由条件可得 即 则全面积与 2 3 60cos l r rl2 侧面积之比为 2 3 2 2 2 222 r rr rl rrl 14 命题立意 本题考查旋转体知识及其体积的求解 难度中等 思路点拔 先作出平面图形 然后确定其旋转后所得几何体的形状 进而分别确定其体积 答案 4 3 解析 据已知得第一个图形旋转后所得几何体为底面半径为 2 母线长为 4 的圆柱挖去两 个圆锥 其中圆锥的底面半径为 2 高为 2 故 第二个图形旋转 22 1 132 24222 33 V 后为半径是 2 的球挖去两个半径为 1 的球 故 故 4 3 33 2 44 2218 33 V 1 V 2 V 15 命题立意 本题考查组合体关系的观察与分析能力 考查空间想象能力 思路点拨 画出轴截面图 根据平行关系建立方程 利用方程解的分析进行求解 答案 解析 画出轴截面图如图所示 设圆锥的高为 h 内接圆柱的高为 x 底面半径 y 2 3 CD AB SO SO OB CO h xh r y xh h r y rlS 圆锥侧 22xh h r xxyS 圆柱侧 依题意可得 即 即 根据条件 2 4 1 22 xh h r xhrr 088 222 rhhhxx 22222 880 xlr xlrl 方程有且只有一个解 故 即 22222 8 32lrlr l 2222 32 2 0lrlrl 3 2 r l 16 命题立意 本题借助三棱锥考查轨迹的求解 线面垂直性质的应用及线面平行的判定与应用 思路点拨 因为底面是正方形 利用勾股定理求出四棱锥的高 PA 即可求出体积 要证明直线和直线平 行 可以先证明直线和平面平行 再利用直线与平面平行的性质即可 解析 1 PA 平面 ABCD PA AC 而 3 分 22 AC24 PC62 22 ACPCPA 三棱锥 P ABCD 的体积为 5 分 118 6 2 64 333 ABCD VPA S 2 连接 AC 交 BD 于点 O 连接 MO ABCD 为正方形 O 是 AC 的中点 又 M 为 PC 中点 OM 是 CAP 的中位线 AP OM 而 AP平面 BMD 平面 BMD 8 分 PA 平面 BMD 平面 PAHG OM 平面 BMD GH PA GH 10 分 17 命题立意 本题考查三棱柱的结构特征 直线与平面垂直的判定及性质的应用 三棱柱体积的求解 思路点拨 先过点作平面 ABC 的垂线 只需证明证明 AH 是 BAC 的平分线即 AHA CAHBAH 可证明第 1 小题 进而再求出即可解决第 2 问 HA 解析 1 过作 平面 ABC 垂足为 H 连接 AH 作 HE AB 垂足为 E 连接 则 AHA EA ABA H 故 AB 平面 故 同理 过作 HF AC 连接 则 3 分 ABHE HEA A EAB FA ACFA 用心 爱心 专心9 Rt Rt HE HF AH 是 BAC 的 60A ABA AC 2AA 3A EA F HEA HFA 角平分线 即点在底面 ABC 内的射影在 BAC 的平分线上 7 分 A 2 由 1 可知 在 AHE 中 10 分 30EAH 1 AE 2 3 cos303 AE AH 22 2 6 3 A HA AAH 棱柱的体积为 12 分 CBAABC 2 32 6 22 2 43 ABC VSA H 18 命题立意 本题考查三视图的分析与应用 两个平面垂直的判定 几何体的体积计算及点到平面的距 离 分析与计算 思路点拨 首先根据所给的三视图分析几何体的特点 利用两个平面垂直的判定定理进行判定 求体 积可以把所给几何体划分为两个四棱锥分别求体积即可 求点到平面的距离可以先作出点到平面的距离 也可以借助三棱锥的体积进行求解 解析 1 连接 AC BD 正方形 ABCD 中 AC BD 又 AE GD FC AE 平面 ABCD GD 平面 ABCD 又 AC平面 ABCD 则 AC GD 又 AC BD GDBDD AC 平面 BDG 又 AC平面 AEFC 平面 AEFC 平面 BDG 4 分 2 原几何体可以划分为两个四棱锥 B CFGD 和 B AEGD 而 6 分 2 118 22 333 B CFGDCFGD VSBC 8 分 所给几何体的体积为 9 分 11 1 12 2 22 33 2 B AEGDAEGD VSAB 814 2 33 V 3 由条件可知 GD 平面 ABCD 故平面 BDG 平面 ABCD 过 C 作 CH BD 于 H 则 CH 平面 BDG 来 源 金太阳新课标资源网 则 CH 的长即为点 C 到平面 BDG 的距离 在 Rt BCD 中 由面积公式可得 则 BD CHBC CD 2CH 即点 C 到平面 BDG 的距离为 13 分 2 19 命题立意 本题考查空间平行与垂直关系的推理与证明 考查空间几何体体积的计算 考查逻辑推理与空 间想象能力 思路点拔 证明线面平行转化为线线平行 要证明面面垂直 要转化为线面垂直 最终转化为线线垂直 问题 要注意转化的思想方法 对于不规则几何体的体积求解可通过分割与补形的方法解答 解析 1 据已知连结OH GO 易知GO BE CD 即直线GO 平面ACD 同理可证OH 平面ACD 又 GO OH O 故平面ACD 平面GHO 又 GH平面GHO 故 GH 平面ACD 4 分 2 证明 DC平面 ABC 平面 ABC DC BC AB 是圆 O 的直径 BC AC 且DC ACC BC 平面 ADC 四边形 DCBE 为平行四边形 DE BC 平面 ADC 又 平面 ADE BC DE DE 平面 ACD平面 ADE 8 分 3 所求简单组合体的体积 E ABCE ADC VVV 3 tan 2 EB EAB AB 2 AB1 BC 22 3ACABBC 111 362 E ADCADC VSDEAC DC DE 111 362 E ABCABC VSEBAC BC EB 3 BE 该简单几何体的体积 13 分 1 V 20 命题立意 本题属于探索型问题 考查平面垂直的性质与判断 直线与平面所成角的计算及空间想象 能 力的应用 思路点拨 对于 1 可以把平面面作为已知条件进行分析 也可以根据条件先分析 1 BPD 11B BDD 再证明 对于 2 可以根据直线与平面所成角的概念进行计算 也可以利用空间向量求解 用心 爱心 专心10 解析 1 存在满足条件的实数 使平面面 证明如下 连接 AC AC1 设对角线1 m 1 BPD 11B BDD 则 H 是 AC1中点 连接 PH 则 PH 是 的中位线 则 PH AC AC BD AC BB1 故 11 BDACH ACC1 AC 平面 PH 平面 而PH平面 平面面 11B BDD 11B BDD 1 BPD 1 BPD 11B BDD 5分 2 理 在线段 AA1上取一点 G 使得 A1G m 连接 D1G BG 则易证 D1 G B P 四点共面 设点 A 到平面 D1BP 的距离为 h 则由 可得 7 分 11 A BD GB AGD VV 11 11 33 BGDAGD ShSAB 在 BGD1中 222 48BGAGABmm 222 1111 4DGADAGm 321 BD 则则 22 1 22 48412 cos 2484 mmm BGD mmm 2 22 2 484 mm mmm 2 1 22 2 248 sin 484 mm BGD mmm 则 10 分 而故 设 1 2 1 1 248 2 BGD SBG DGmm 1 2 AD G Sm 2 42 248 m h mm 2 42 248 m mm AP 与平面 D1BP 所成的角为 则 故 13 分 22 42 sin 2488 hm f m AP mmm 02 m 6 1 9 f 文 由条件易得 9 分 10 分 12 33 B PACP ABCABC m VVSPC 1 1 111 1 11 1 14 2 33 P