江西省九江一中2013届高三数学入学考试 理

用心 爱心 专心 1 九江一中高三暑期阶段性检测九江一中高三暑期阶段性检测 数学试题 数学试题 2012 82012 8 第一部分 选择题 50 分 一 选择题 每小题 5 分 共 40 分 1 已知命题 p 对任意的Rx 有1ln x 则p 是 A 存在Rx 0 有1ln 0 x B 对任意的Rx 有1ln x C 存在Rx 0 有1ln 0 x D 对任意的Rx 有1ln x 2 已知p 2x 3 1 q x x 3 0 0 0 2 且 xfy 的 最大值为 2 其图象相邻两对称轴间的距离为 2 并过点 1 2 1 求 2 计算 2011 2 1 fff 解 1 2 sin cos 22 22 AA yAxx yf x 的最大值为 2 0A 2 2 22 AA A 又 其图象相邻两对称轴间的距离为 2 0 1 2 2 2 24 22 cos 2 1 cos 2 2222 f xxx yf x 过 1 2 点 cos 2 1 2 迁 22 2 kkZ 22 2 kkZ 4 kkZ 又 0 2 4 2 xxf 2 sin1 1 2 3 4 2 1 0 14ffff 10 又 yf x 的周期为 4 345022011 12 2011 2 1 fff20110125024 17 本题计 12 分 九江一中举办 110 年校庆知识宣传活动 进行现场抽奖 盒中装有 9 张 大小相同的精美卡片 卡片上分别印有 九江一中老校区 或 九江一中新校区 图案 抽奖规则是 参加者从盒中抽取卡片两张 若抽到两张都是 九江一中新校区 卡即可 获奖 否则 均为不获奖 卡片用后放回盒子 下一位参加者继续重复进行 I 活动开始后 一位参加者问 盒中有几张 九江一中新校区 卡 主持人答 我只 知道 从盒中抽取两张都是 九江一中老校区 卡的概率是 18 5 求抽奖者获奖的概率 II 现有甲 乙 丙 丁四位同学依次抽奖 用 表示获奖的人数 求 的分布列及 E D 的值 用心 爱心 专心 4 解 I 设 九江一中老校区 卡有n张 由 2 2 9 5 5 18 n C n C 得 故 九江一中新校区 卡有 4 张 抽奖者获奖的概率为 2 4 2 9 1 6 C C II 4 4 115 4 0 1 2 3 4 666 kkk BPkCk 的分布列为 01234 P 004 4 15 66 C 113 4 15 66 C 222 4 15 66 C 331 4 15 66 C 440 4 15 66 C 12 4 63 E 115 4 1 669 D 18 已知在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为 4 的正方形 PAD是正三角形 平面 PAD 平面ABCD E F G分别是PA PB BC的中点 I 求证 EF 平面PAD II 求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小 解 方法 1 I 证明 平面PAD 平面ABCD ADAB AB平面PAD E F为PA PB的中点 EF AB EF 平面 PAD II 解 过 P 作 AD 的垂线 垂足为 O ABCDPAD平面平面 则PO 平面ABCD 连OG 以OG OD OP为x y z轴建立空间坐标系 PA PD4 AD 2 32 OAODOP 得 32 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 0 2 0 PDCBA 0 0 4 3 1 2 3 1 0 GFE 故 3 1 4 0 0 2 EGEF 设平面EFG的一个法向量为 zyx n则 034 02 0 0 zyx x EG EF 即 n n 1 3 0 1 n得取z 平面ABCD的一个法向量为 1 0 0 1 n 平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是 用心 爱心 专心 5 2 1 cos 1 1 1 nn nn nn 锐二面角的大小是 60 19 本题计 12 分 已知数列 n a中 1 2a 前n项和为 n S 对于任意nN 且 n2 1 3 34 2 2 nnn SaS 总成等差数列 求数列 n a的通项公式 n a 若数列 n b满足3 nn bS 求数列 n b的前n项和 n T 20 本题计 13 分 已知函数 32 2 xxexf x 求曲线 1 1 fxfy在点 处的切线方程 当 1 3 2 5 2 1 2 恒成立的不等式若关于时 xaxxfxx试求实数a的取值 范围 解 1 11 34 efxexf x 则 又 11 ef 1 1 fxfy在点曲线 处的切线方程为 021 111 yxexeey即 2 由 13 2 5 3213 2 5 222 xaxxxexaxxf x 得 用心 爱心 专心 6 即 2 1 1 2 1 2 xxeax x x xe a x 1 2 1 2 令 2 22 1 2 1 1 1 2 1 x xxe xg x xe xg xx 则 令 1 1 2 1 1 2 xx exxxxex 则 在 2 1 0 2 1 xxx 上单调递增 0 2 1 8 7 2 1 ex 因此 2 1 0在故xgxg上单调递增 则 4 9 2 2 1 1 8 1 2 1 2 1 e e gxg a 的取值范围是 4 9 2 ea 21 本题计 14 分 点M在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆 的右焦点F I 若圆M与y轴相交于A B两点 且 ABM是边长为 2 的正三角形 求椭圆的方程 II 已知点F 1 0 设过点F的直线 交椭圆于C D两点 若直线 绕点F任意转动ll 时 恒有 222 OCODCD 成立 求实数a的取值范围 解 I ABM 是边长为 2 的正三角形 圆的半径 r 2 M 到 y 轴的距离3 d 又圆 M 与 x 轴相切 当 2 4 2 a b ycx 得时 2 a b r 3 2 a b2 c 222 cba 23 2 aa 解得 a 3 或 a 1 舍去 则 6 2 2 ab 故所求椭圆方程为 1 69 22 yx II 方法 1 当直线 l 垂直于 x 轴时 把 x 1 代入 得 1 2 22 2 a ab yA 222 CDODOC 恒有 2 222 1 2 1 4 1 1 AAA a yyy a 即 解得 2 51 2 51 aa或 舍去 即 2 51 a 当 l 不垂直 x 轴时 设 2211 yxDyxC 直线 AB 的方程为1 1 2 2 2 2 b y a x xky代入 用心 爱心 专心 7 得 02 2222222222 bakaxkaxkab 则 222 2222 21 222 22 21 2 kab baka xx kab bka xx 222 CDODOC 恒有 2 12 2 12 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 得0 2121 yyxx恒成立 2222 12121211212 1 1 x xy yx xkxkx xkxxk 222 2222222 kab bakbbaa 由题意得 Rkbakbbaa 对0 2222222 恒 成立 当Rkbbaa 对0 2222 不是恒成立的 当 2 51 0 2222 abbaa时 恒成立 当 2222 0aa bb 时恒成立 2222224 1 aa bbaabb 即 0 0 ba 22 1 abaa 即 2 10 aa 解得 151515 222 aaa 或即 综上 a的取值范围是 15 2 方法 2 设 2211 yxDyxC 当直线 CD 与 x 轴重合时 有 4 2 22222 aCDaODOC 1 c 1 222 cba恒有 222 CDODOC 当直线 C 不与 x 轴重合时 设直线 CD 的方程为 22 22 1 0 1 xy xmym ab 代入 整理得 0 2 22222222 babmybymba 2 222 222 21 222 2 21 mba bab yy mba mb yy 222 CDODOC 恒有 COD 恒为钝角 则0 21212211 yyxxyxyxODOC恒成立 1 1 1 1 2121 2 21212121 yymyymyymymyyyxx 1 2 1 222 22 222 2222 mba mb bba babm 0 222 2222222 mba ababbam 又 0 222 mba