2012中考数学压轴题冲刺强化训练5

用心 爱心 专心 20122012 最新压轴题冲刺强化训练最新压轴题冲刺强化训练 5 5 1 在梯形 ABCD 中 AD BC BA AC B 450 AD 2 BC 6 以 BC 所在直线为 x 轴 建立如图所示的平面直角坐标系 点 A 在 y 轴上 求过 A D C 三点的抛物线的解析式 求 ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标 并求 M 的半径 E 为抛物线对称轴上一点 F 为 y 轴上一点 求当 ED EC FD FC 最小时 EF 的长 设 Q 为射线 CB 上任意一点 点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点 问是否存在这样的点 P Q 使得以 P Q C 为顶点的 与 ADC 相似 若存在 直接写出点 P Q 的坐标 若不 存在 则说明理由 2 已知关于x的方程 0313 2 xmmx x y D BC A O 用心 爱心 专心 1 求证 不论为m任意实数 此方程总有实数根 2 若抛物线 313 2 xmmxy 与x轴交于两个不同的整数点 且m为正整数 试确定 此抛物线的解析式 3 若点 P 1 x 1 y 与点 Q nx 1 2 y 在 2 中抛物线上 点 P Q 不重合 且 21 yy 求代数式 8165124 2 1 2 1 nnnxx 的值 3 在 ABCD 中 A DBC 过点 D 作 DE DF 且 EDF ABD 连接 EF EC N P 分别为 EC BC 的中点 连接 NP 1 如图 1 若点 E 在 DP 上 EF 与 DC 交于点 M 试探究线段 NP 与线段 NM 的数量关系及 ABD 与 MNP 满足的等量关系 请直接写出你的结论 2 如图 2 若点 M 在线段 EF 上 当点 M 在何位置时 你在 1 中得到的结论仍然成立 写出你确定的点 M 的位置 并证明 1 中的结论 4 如图 在平面直角坐标系中 将长方形纸片 ABCD 的顶点 B 与原点 O 重合 BC 边放在 图 2 A B C D P E F N 图 1 A B C D P E F N M 用心 爱心 专心 x 轴的正半轴上 AB 3 AD 6 将纸片沿过点 M 的直线折叠 点 M 在边 AB 上 使点 B 落 在边 AD 上的 E 处 若折痕 MN 与 x 轴相交时 其交点即为 N 过点 E 作 EQ BC 于 Q 交 折痕于点 P 1 当点M分别与 AB 的中点 A 点重合时 那么对应的点 P 分别是点 1 P 2 P 则 1 P 2 P 当 OMN 60 时 对应的点 P 是点 3 P 求 3 P 的坐标 2 若抛物线 2 yaxbxc 是经过 1 中的点 1 P 2 P 3 P 试求 a b c 的值 3 在一般情况下 设 P 点坐标是 x y 那么 y 与 x 之间函数关系式还会与 2 中 函数关系相同吗 不考虑 x 的取值范围 请你利用有关几何性质 即不再用 1 P 2 P 3 P 三点 求出 y 与 x 之间的关系来给予说明 用心 爱心 专心 5 如图 将腰长为 5 的等腰 Rt ABC C 90 放在平面直角坐标系中的第二象限 使点 C 的坐标为 1 0 点 A 在 y 轴上 点 B 在抛物线 2 2yaxax 上 1 写出点 A B 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90 到达 AB C 的位置 请判断点 B C 是否在 该抛物线上 并说明理由 6 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 cbxaxy 2 的图像经过点 0 3 A 0 1 B 3 0 C 顶点为D 1 求这个二次函数的解析式及顶点坐标 2 在 y 轴上找一点P 点P与点C不重合 使得 0 90 APD 求点P坐标 3 在 2 的条件下 将 APD 沿直线AD翻折 得到 AQD 求点Q坐标 A B C y O D B x C 用心 爱心 专心 7 1 探究新知 如图 已知 AD BC AD BC 点 M N 是直线 CD 上任意两点 求证 ABM 与 ABN 的 面积相等 如图 已知 AD BE AD BE AB CD EF 点 M 是直线 CD 上任一点 点 G 是直线 EF 上 AB DCMN 图 y x O AB C D 用心 爱心 专心 任一点 试判断 ABM 与 ABG 的面积是否相等 并说明理由 2 结论应用 如图 抛物线 cbxaxy 2 的顶点为 C 1 4 交 x 轴于点 A 3 0 交 y 轴于 点 D 试探究在抛物线 cbxaxy 2 上是否存在除点 C 以外的点 E 使得 ADE 与 ACD 的面积相等 若存在 请求出此时点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 8 在矩形 ABCD 中 点 P 在 AD 上 AB 2 AP 1 将三角板的直角顶点放在点 P 处 三角板 的两直角边分别能与 AB BC 边相交于点 E F 连接 EF 1 如图 当点 E 与点 B 重合时 点 F 恰好与点 C 重合 求此时 PC 的长 2 将三角板从 1 中的位置开始 绕点 P 顺时针旋转 当点 E 与点 A 重合时停止 在 这个过程中 请你观察 探究并解答 PEF 的大小是否发生变化 请说明理由 直接写出从开始到停止 线段 EF 的中点所经过的路线长 A 备用图 C D B O x y C 图 AB DM F EG A 图 C D B O x y P D C F A B E F P D C A B E 用心 爱心 专心 备用图 9 本题满分 14 分 如图 P 的圆心 P 在 O 上 O 的弦 AB 所在的直线与 P 切于 C 若 P 的半径为 r O 的半径为 R O 和 P 的面积比为 9 4 且 PA 10 PB 4 8 DE 5 C P D 三点共线 1 求证 rRPBPA 2 2 求 AE 的长 3 连结 PD 求 sin PDA 的值 第 9 题 用心 爱心 专心 10 14 分 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 已知 AD AB 3 BC 4 动点 P 从 B 点出发 沿线段 BC 向点 C 作匀速运动 动点 Q 从点 D 出发 沿线段 DA 向点 A 作匀 速运动 过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M 交 BC 于点 N P Q 两点同时出发 速度都 为每秒 1 个单位长度 当 Q 点运动到 A 点 P Q 两点同时停止运动 设点 Q 运动的时间为 t 秒 1 当 t 为何值时 四边形 PCDQ 是平行四边形 2 求 NC MC 的长 用 t 的代数式表示 3 当 t 为何值时 射线 QN 恰好将 ABC 的面积平分 并 判断此时 ABC 的周长是否也被射线 QN 平分 11 本题满分 14 分 如图 AB是圆O的直径 O为圆心 AD BD是半圆的弦 且 PDAPBD 延长PD交圆的切线BE于点E 1 判断直线PD是否为 OA 的切线 并说明理由 2 如果 60BED 3PD 求PA的长 3 将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF 点F正好在圆O上 如图 2 求证 四边形DFBE为菱 形 F E D O PB A E D O P B A 用心 爱心 专心 2012 压 轴 汇 编 2 答 案 1 解 1 由题意知 C 3 0 A 0 3 过 D 作 x 轴垂线 由矩形性质得 D 2 3 由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为 1 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 将 0 3 代入得 a 1 所以 y x2 2x 3 2 由外接圆知识知 M 为对称轴与 AC 中垂线的交点 由等腰直角三 角形性质得 OM 平分 AOC 即 yOM x M 1 1 连 MC 得 MC 5 即半径为 5 x y M D BC A O 用心 爱心 专心 3 由对称性可知 当 ED EC FD FC 最小时 E 为对称轴与 AC 交点 F 为 BD 与 Y 轴交 点 易求 F 0 9 5 E 1 2 EF 5 26 4 可得 ADC 中 AD 2 AC 23 DC 10 假设存在 显然 QCP 900 QCP 450 或 QCP ACD 当 QCP 450 时 这时直线 CP 的解析式为 y x 3 或 y x 3 当直线 CP 的解析式为 y x 3 时 可求得 P 2 5 这时 PC 5 2 设 CQ x 则 x x25 23 2 2523 2 或 x 10 3 或 x 15 Q 1 3 0 或 12 0 当 y x 3 即 P 与 A 重合时 可求得 CQ 2 或 9 Q 1 0 或 6 0 当 QCP ACD 时 设 CP 交 y 轴于 H 连 ED 知 ED AC DE 2 EC 22 易证 CDE CHQ 所以 HQ 2 3 22 HQ 3 2 可求 HC 的解析式为 y 1 2 x 3 2 联解 32 2 3 2 1 2 xxy xy 得 P 3 2 9 4 PC 5 4 9 设 CQ x 知 xx 23 5 4 9 10 5 4 9 2310 或 x 15 4 或 x 27 4 Q 3 4 0 或 15 4 0 同理当 H 在 y 轴正半轴上时 HC 的解析式为 y 1 2 x 3 2 P 1 2 7 4 PC 5 4 7 CQCQ 23 5 4 7 10 5 4 7 2310 或 CQ 35 12 或 21 4 所以 Q 1 12 0 或 9 4 0 综上所述 P1 2 5 Q1 1 3 0 或 12 0 P2 0 3 Q2 1 0 或 6 0 P3 3 2 9 4 Q3 3 4 0 或 x y E D BC A O x y P D C A O Q x y H H P P E D C A O Q 用心 爱心 专心 15 4 0 P4 1 2 7 4 Q4 1 12 0 或 9 4 0 2 解 1 当 m 0 时 原方程化为 03 x 此时方程有实数根 x 3 1 分 当 m 0 时 原方程为一元二次方程 22 2 311296131mmmmm 0 此时方程有两个实数根 综上 不论 m 为任何实数时 方程 03 13 2 xmmx 总有实数根 2 令 y 0 则 mx2 3m 1 x 3 0 解得 1 3x 2 1 x m 抛物线 2 313ymxmx 与x轴交于两个不同的整数点 且m为正整数 1m 抛物线的解析式为 2 43yxx 3 法一 点 P 11 yx 与 Q 21 ynx 在抛物线上 22 111211 43 4 3yxxyxnxn 21 yy 22 1111 43 4 3xxxnxn 可得 042 2 1 nnnx 即 0 42 1 nxn 点 P Q 不重合 n 0 1 24xn 2222 1111 4125168 2 265168xx nnnxxnnn 22 4 6 4 516824 nnnnn 法二 2 43yxx x 2 2 1 用心 爱心 专心 抛物线的对称轴为直线 x 2 点 P 11 yx 与 Q 21 ynx 在抛物线上 点 P Q 不重合 且 21 yy 点 P Q 关于直线 x 2 对称 11 2 2 xxn 1 24xn 下同法一 3 解 1 NP MN ABD MNP 180 或其它变式及文字叙述 各 1 分 2 分 2 点 M 是线段 EF 的中点 或其它等价写法 证明 如图 分别连接 BE CF 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB DC A DCB ABD BDC A DBC DBC DCB DB DC EDF ABD EDF BDC BDC EDC EDF EDC 即 BDE CDF 又 DE DF 由 得 BDE CDF EB FC 1 2 N P 分别为 EC BC 的中点 NP EB NP EB 2 1 同理可得 MN FC MN FC 2 1 NP NM NP EB NPC 4 ENP NCP NPC NCP 4 MN FC MNE FCE 3 2 3 1 MNP MNE ENP 3 1 NCP 4 DBC DCB 180 BDC 180 ABD ABD MNP 180 M 1 3 2 4 P N A E F C D B 用心 爱心 专心 4 解 1 当 M 与 AB 的中点重合时 B 与 A 重合 即 E 与 A 重合 则点 P 为 OA 的中点 即 1 P 0 3 2 当 M 与 A 重合时 Q P 与 N 重合 2 P 3 0 当 OMN 60 时 MNO 30 则 QNE 60 在 Rt QNE 中 QN 3 EQ 3 3 3 在 Rt PQN 中 PQ 1 又 MEN 90 MEP 90 30 60 MOP MEP 60 则 POQ 30 则 OP PN OQ QN 3 3 P 3 1 4 分 2 抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 3 2 c 3 2 2 3 2 yaxbx 3 093 2 3 133 2 ab ab 1 6 0 a b a 1 6 b 0 c 3 2 8 分 3 相同 连结 OP 根据对折的对称性 PON PEN 则 PE OP OP PQ EQ AB 3 在 Rt OPQ 中 222 3 xyy 222 96xyyy 2 13 62 yx 12 分 5 答案 1 A 0 2 B 3 1 4 分 2 解析式为 2 11 2 22 yxx 4 分 3 如图 过点 B 作 B My 轴于点 M 过点 B 作 BNy 轴于点 N 过点 C 作 用心 爱心 专心 C Py 轴于点 P 在 Rt AB M 与 Rt BAN 中 AB AB AB M BAN 90 B AM Rt AB M Rt BAN B M AN 1 AM BN 3 B 1 1 同理 AC P CAO C P OA 2 AP OC 1 可得点 C 2 1 当 x 1 时 2 11 2 22 yxx 1 当 x 2 时 2 11 2 22 yxx 1 可知点 B C 在抛物线上 4 分 6 解 1 由题意 得 930 0 3 abc abc c 解得 1 2 3 a b c 所以这个二次函数的解析式为 2 23yxx 顶点 D 的坐标为 1 4 2 解法一 设 0 Pm 由题意 得 2 2 9 14 2 5PAmPDmAD APD 90 222 PAPDAD 2 2 2 2 2 9142 5mm 解得 12 1 3mm 不合题意 舍去 0 1P 解法二 如图 作 DE y 轴 垂足为点 E 则由题意 得 DE 1 OE 4 由 APD 90 得 APO DPE 90 y x OAB C D E P Q H 用心 爱心 专心 由 AOP 90 得 APO OAP 90 OAP EPD 又 AOP OED 90 OAP EPD OAOP PEED 设 4OPmPEm 则 34 1 m m 解得 12 13mm 不合题意 舍去 0 1P 3 解法一 如图 作 QH x 轴 垂足为点 H 易得 10OAAQPDQD PAQ 90 四边形 APDQ 为正方形 由 QAP 90 得 HAQ OAP 90 由 AOP 90 得 APO OAP 90 OPA HAQ 又 AOP AHQ 90 PA QA AOP AHQ AH OP 1 QH OA 3 4 3Q 解法二 设 Q m n 则 222 2 310 1410QAmnQDmn 解得 1 1 4 3 m n 2 2 0 1 m n 不合题意 舍去 4 3Q 7 解 1 证明 分别过点 M N 作 ME AB NF AB 垂足分别为点 E F AD BC AD BC 四边形 ABCD 为平行四边形 AB DCMN 图 EF 用心 爱心 专心 AB CD ME NF S ABM MEAB 2 1 S ABN NFAB 2 1 S ABM S ABN 相等 理由如下 分别过点 D E 作 DH AB EK AB 垂足分别为 H K 则 DHA EKB 90 AD BE DAH EBK AD BE DAH EBK DH EK CD AB EF S ABM DHAB 2 1 S ABG EKAB 2 1 S ABM S ABG 2 答 存在 解 因为抛物线的顶点坐标是 C 1 4 所以 可设抛物线的表达式为 4 1 2 xay 又因为抛物线经过点 A 3 0 将其坐标代入上式 得 4130 2 a 解得 1 a 该抛物线的表达式为 4 1 2 xy 即 32 2 xxy D 点坐标为 0 3 设直线 AD 的表达式为 3 kxy 代入点 A 的坐标 得 330 k 解得 1 k 直线 AD 的表达式为 3 xy 过 C 点作 CG x 轴 垂足为 G 交 AD 于点 H 则 H 点的纵坐标为 231 CH CG HG 4 2 2 设点 E 的横坐标为 m 则点 E 的纵坐标为 32 2 mm 过 E 点作 EF x 轴 垂足为 F 交 AD 于点 P 则点 P 的纵坐标为 m 3 EF CG 由 1 可知 若 EP CH 则 ADE 与 ADC 的面积相等 若 E 点在直线 AD 的上方 如图 1 则 PF m 3 EF 32 2 mm H C 图 AB DM F EG K A 图 1 C D B Ox y H P PG F P E 用心 爱心 专心 EP EF PF 3 32 2 mmm mm3 2 23 2 mm 解得 2 1 m 1 2 m 当 2 m 时 PF 3 2 1 EF 1 2 3 E 点坐标为 2 3 同理 当 m 1 时 E 点坐标为 1 4 与 C 点重合 若 E 点在直线 AD 的下方 如图 2 3 则 mmmmmPE3 32 3 22 23 2 mm 解得 2 173 3 m 2 173 4 m 当 2 173 m 时 E 点的纵坐标为 2 171 2 2 173 3 当 2 173 m 时 E 点的纵坐标为 2 171 2 2 173 3 在抛物线上存在除点 C 以外的点 E 使得 ADE 与 ACD 的面积相等 E 点的坐标为 E1 2 3 2 171 2 173 2 E 2 171 2 173 3 E 8 解 1 在矩形 ABCD 中 90AD AP 1 CD AB 2 PB 5 90ABPAPB 90BPC 90APBDPC A 图 3 C D BO x y H P PG F P E A 图 2 C D BO x y H P PG F P E P D C F A B E 用心 爱心 专心 ABPDPC ABP DPC APPB CDPC 即 15 2PC PC 2 5 2 分 2 PEF 的大小不变 理由 过点 F 作 FG AD 于点 G 四边形 ABFG 是矩形 90AAGF GF AB 2 90AEPAPE 90EPF 90APEGPF AEPGPF APE GFP 4 分 2 2 1 PFGF PEAP 在 Rt EPF 中 tan PEF 2 PF PE 5 分 即 tan PEF 的值不变 PEF 的大小不变 6 分 5 7 分 9 第 1 题 4 分 第 2 题 6 分 第 3 题 4 分 1 证明 连结 CP 作 O 的直径 AF 连结 PF 则 APF 90 AC 切于 O 于 C ACP 90 APF 又 PBC BAP BPA 1 分 连结 FB 则 AFB BPA BFP BAP PBC BAP BPA AFB BFP AFP 2 分 此处也可用圆内接四边形的定理求出 APF PCB PB AF PC PA AF 2R PC r PB R r PA2 rRPBPA 2 4 分 解 O 和 P 的面积比为 9 4 R r 3 2 5 分 84102 2 3 rrRPBPA 4 r 即 PC 4 6 分 在 Rt APC 中 84 222 PCAPAC 7 分 G F P D C A B E F O P A C B D E 用心 爱心 专心 连结 CE CAD EAC ACD AEC AEC ACD AC AAD AE C ADAEA 2 C 8 分 C5 2 AEAEDEAEAEADAEA 0845 2 AEAE 9 分 12 AE 或 7 AE 线段长不为负数 7 AE 10 分 3 解 sin PDA sin PFA AF AP 12 分 4 r R 6 r 2 3 AF 12 sin PDA 6 5 12 10 14 分 10 本题满分 14 分 解 1 四边形 PCDQ 是平行四边形 AD BC PC QD 2 分 BC 4 BP DQ t PC 4 t 即 4 t t 解得 t 2 当 t 2 时 四边形 PCDQ 构成平行四边形 4 分 2 法一 AD 3 BC 4 BP DQ t AQ 3 t 5 分 直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 QN AD ABC BAD AQN 90 四边形 ABNQ 是矩形 BN AQ 3 t CN 4 3 t 1 t 6 分 在 Rt ABC 中 543 2222 BCABAC 7 分 在 Rt MNC 中 5 4 cos AC BC MC CN NCM 8 分 即 5 41 MC t 用心 爱心 专心 4 55t MC 9 分 法二 作 DF BC 垂足为 F 则 CF 1 NF DQ t NC t 1 下同 6 分 3 法一 CN 1 t 4 55t MC 在 Rt MNC 中 4 1 3 22 t CNMCMN 10 分 ABCMNC S t tMNCNS 2 1 4 1 3 1 2 1 2 1 11 分 即 3 8 1 3 2 t 解得 122 1 t 122 2 t 舍去 当 122 t 时 ABC 的面积被射线 QN 平分 12 分 当 122 t 时 MC CN 2 29 1221 4 122 55 而 12543 ACBCABC ABC ABC CNCMC 2 1 此时 ABC 的周长不被射线 QN 平分 14 分 法二 2