2012届高三数学一轮复习 1.3 函数与方程及函数的实际应用学案

用心 爱心 专心 1 专题一 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数专题一 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数 第三讲第三讲 函数与方程及函数的实际应用函数与方程及函数的实际应用 最新考纲透析最新考纲透析 1 函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的 存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 2 函数模型及其应用 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对 数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍 使用的函数模型 的广泛应用 核心要点突破核心要点突破 要点考向一 函数零点问题要点考向一 函数零点问题 考情聚焦 考情聚焦 1 函数的零点是新课标的新增内容 其实质是相应方程的根 而方程是高考重点 考查内容 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点 2 常与函数的图象 性质等知识交汇命题 多以选择 填空题的形式考查 考向链接 考向链接 1 函数零点 方程的根 的确定问题 常见的类型有 1 零点或零点存在区 间的确定 2 零点个数的确定 3 两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定 解 决这类问题的常用方法有 解方 程法 利用零点存在的判定或数形结合法 尤其是那些方程 两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 2 函数零点 方程的根 的应用问题 即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值 范围问题 解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或 不等式求解 例例 1 1 2010 2010 福建高考文科福建高考文科 7 7 函数 2 23 0 2ln 0 xxx f x x x 的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 命题立意 本题从分段函数的角度出发 考查了学生对基本初等函数的掌握程度 用心 爱心 专心 2 思路点拨 作出分段函数的图像 利用数形结合解题 规范解答 选 C 0 ln 0 4 1 2 2 x e x xx xf 绘制出图像大致如 右图 所以零点个数为 2 方法技巧 本题也可以采用分类讨论的方法进行求解 令 f x0 则 1 当x0 时 2 x2x30 x3 或x1 舍 去 2 当x0 时 2lnx0 2 xe 综上述 函数 f x有两个零点 要点考向二 用二分法求函数零点近似值要点考向二 用二分法求函数零点近似值 考情聚焦 考情聚焦 1 该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及 但由于二分法是求方程根的近 似值的重要方法 其又是新课标新增内容 预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点 2 该类问题常与函数的图象 性质交汇命题 考查学生的探究和计算能力 考向链接 考向链接 用二分法求函数零点近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点 1 x 3 计算 f 1 x 当 f 1 x 0 则 1 x就是函数的零点 若 f a f 1 x 0 则令 b 1 x 此时零点 01 xa x 若 f 1 x f b 0 f b 0 则函数 f x 在区间 a b 内 A 一定有零点 B 一定没有零点 C 可能有两个零点 D 至多有一个零点 3 如图 A B C D 是某煤矿的四个采煤点 l为公路 图中所示线段为道路 ABQP BCRQ CDSR 近似于正方形 已知 A B C D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3 2 1 5 运煤的费用与运煤的路程 所运煤的重量都成正比 现要从 P Q R S 中选出 一处设立一个运煤中转站 使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少 则地点应选在 A P B Q C R D S 4 已知函数 210 1 0 x x f x f xx 若方程 f x x a 有且只有两个不相等的实数根 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 0 1 D 0 5 若 x1满足 2x 2x 5 x2满足 2x 2log2 x 1 5 则 x1 x2 A 5 2 B 3 C 7 2 D 4 6 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的 速度曲线分别为 v甲和 v乙 如图所示 那么对于图中给定的 t0和 t1 下列判断中一定正 确的是 用心 爱心 专心 8 A 在 t1时刻 甲车在乙车前面 B t1时刻后 甲车在乙车后面 C 在 t0时刻 两车的位置相同 D t0时刻后 乙车在甲车前面 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面 某运输公司提出五种运输方案 据预测 这五 种方案均能在规定时间 T 完成预期的运输任务 Q0 各种方案的运煤总量 Q 与时间 t 的函数关 系如下图所示 在这五种方案中 运煤效率 单位时间的运煤量 逐步提高的是 填写所有正确的图象的编号 8 在用二分法求方程 x3 2x 1 0 的一个近似解时 已经将一根锁定在区间 1 2 内 则下一 步可断定该根所在的区间为 9 关于 x 的方程 cos2x sinx a 0 在 0 上有解 则 a 的取值范围为 三 解答题三 解答题 10 10 1111 题每题题每题 1515 分 分 1212 题题 1616 分 共分 共 4646 分分 10 已知函数 f x 4x m 2x 1 有且只有一个零点 求实数 m 的取值范围 并求出零点 11 某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元 台 当笔记本电脑销售价 为 6 000 元 台时 月销售量为 a 台 根据市场分析的结果表明 如果笔记本电脑的销售价提 高的百分率为 x 0 x 1 那么月销售量减少的百分率为 x2 记销售价提高的百分率为 x 时 电脑企业的月利润是 y 元 1 写出月利润 y 元 与 x 的函数关系式 2 试确定笔记本电脑的销售价 使得电脑企业的月利润最大 12 已知 f x 是二次函数 不等式 f x 0 的解集是 0 5 且 f x 在区间 1 4 上的最大 值是 12 用心 爱心 专心 9 1 求 f x 的解析式 2 是否存在自然数 m 使得方程 f x 0 在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实数 根 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 说明理由 参考答案 1 解析 选 C 根据题意知函数的零点在 1 406 25 至 1 437 5 之间 因为此时 1 437 5 1 406 25 0 031 250 f b 0 且抛物线开口向上 所以可能有两个零点 3 解析 选 C 设正方形边长为 a 采煤量比例系数为 x 费用比例系数为 k 对于 A 中转 站选在 P 点时 费用 y1 3kxa 4kxa 3kxa 20kxa 30kxa 对于 B 中转站选在 Q 点时 费用 y2 6kxa 2kxa 2kxa 15kxa 25kxa 对于 C 中转站选在 R 点时 费用 y3 9kxa 4kxa kxa 10kxa 24kxa 对于 D 中转站选在 S 点时 费用 y4 12kxa 6kxa 2kxa 5kxa 25kxa 而 24kxa 25kxa 30kxa 故选 C 4 解析 选 B 在同一坐标系内画出函数 y f x 和 y x a 的图象 由图可知 a0 方程 t2 m t 1 0 只有一个正根 由图象可知 0 2 2 0 m m 当 m 2 时 t 1 x 0 函数的零点为 x 0 11 解析 1 依题意 销售价提高后为 6 000 1 x 元 台 月销售量为 a 1 x2 台 则 y a 1 x2 6 000 1 x 4 500 即 y 1 500a 4x3 x2 4x 1 0 x 1 2 y 1500a 12x2 2x 4 令 y 0 得 6x2 x 2 0 解得 x 1 2 x 2 3 舍去 当 0 x0 当 1 2 x 1 时 y 0 当 x 1 2 时 y 取得最大值 此时销售价为 6000 3 2 9000 元 答 笔记本电脑的销售价为 9 000 元时 电脑企业的月利润最大 12 解析 1 f x 是二次函数 且 f x 0 f x 在区间 1 4 上的最大值是 f 1 6a 由已知 得 6a 12 a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x x R 用心 爱心 专心 12 备课资源备课资源 1 定义域和值域均为 4 4 的函数 y f x 和 y g x 的图象如图所示 下列命题正确的是 A 方程 f g x 0 有且仅有三个根 B 方程 g f x 0 有且仅有三个根 C 方程 f f x 0 有且仅有两个根 D 方程 g g x 0 有且仅有两个根 解析 选 A 由于 f x 0 有 3 个根 且 g x 4 4 则 f g x 0 有且仅有三个根 2 已知 a 是使表达式 2x 1 42 x成立的最小整数 则方程 1 2x 1 ax 1 实数根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 用心 爱心 专心 13 3 若方程 2ax2 x 1 0 在 0 1 内恰有一解 则 a 解析 令 f x 2ax2 x 1 由题意知 f 0 f 1 0 1 2a 2 1 答案 1 用心 爱心 专心 14 6 设a为实数 已知函数 322 1 1 3 f xxaxax 1 当a 1 时 求函数 f x的极值 用心 爱心 专心 15 2 若方程 f x 0 有三个不等实数根 求a的取值范围 2 因为 f x x2 2ax a2 1 x a 1 x a 1 所以方程 f x 0 的两根为 a 1 和 a 1 显然 函数 f x 在 x a 1 处取得极大值 在 x a 1 处取得极小值 因为方程 f x 0 有三个不 等实根 2 2 1 2 1 0 1 0 3 1 01 2 1 0 3 aa f a f a aa 所以即 解得 2 a 2 且 a 1 故 a 的取值范围是 2 1 1 1 1 2 7 设函数 f x 在 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 1 试判断函数 y f x 的奇偶性 2 试求方程 f x 0 在闭区间 2 009 2 009 上的根的个数 并证明你的结论 解析 1 由已知得 f 0 0 故 f x 不是奇函数 又 f 1 f 5 0 故 y 轴不是函数 y f x 的对称轴 即 f x 不是偶函数 综上知 函数 y f x 既不是奇函数又不是偶函数 用心 爱心 专心 16 2 2 4 2 4 14 7 7 14 10 10 fxfxf