2011届高三数学一轮复习 圆的方程巩固与练习

用心 爱心 专心1 巩固巩固 1 圆 x 2 2 y2 5 关于原点 0 0 对称的圆的方程为 A x 2 2 y2 5 B x2 y 2 2 5 C x 2 2 y 2 2 5 D x2 y 2 2 5 答案 A 2 已知 C x2 y2 Dx Ey F 0 则F E 0 且D 0是 C与y轴相切于原点的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 A 由题意可知 要求圆心坐标为 0 而D可以大于 0 故选 A D 2 3 已知两定点A 2 0 B 1 0 如果动点P满足 PA 2 PB 则点P的轨迹所包 围的图形的面积等于 A B 4 C 8 D 9 解析 选 B 设P x y 由题知有 x 2 2 y2 4 x 1 2 y2 整理得 x2 4x y2 0 配方得 x 2 2 y2 4 可知圆的面积为 4 故选 B 4 2009 年高考广东卷 以点 2 1 为圆心且与直线x y 6 相切的圆的方程是 解析 将直线x y 6 化为x y 6 0 圆的半径r 所以圆的方程 2 1 6 1 1 5 2 为 x 2 2 y 1 2 25 2 答案 x 2 2 y 1 2 25 2 5 原创题 已知圆x2 y2 2x 4y a 0 关于直线y 2x b成轴对称 则a b的 取值范围是 解析 圆的方程变为 x 1 2 y 2 2 5 a 其圆心为 1 2 且 5 a 0 即a 5 又圆关于直线y 2x b成轴对称 2 2 b b 4 a b a 4 1 答案 1 6 已知圆x2 y2 4 上一定点A 2 0 B 1 1 为圆内一点 P Q为圆上的动点 1 求线段AP中点的轨迹方程 2 若 PBQ 90 求线段PQ中点的轨迹方程 解 1 设AP中点为M x y 由中点坐标公式可知 P点坐标为 2x 2 2y P点在圆x2 y2 4 上 2x 2 2 2y 2 4 故线段AP中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 2 设PQ的中点为N x y 在 Rt PBQ中 PN BN 设O为坐标原点 则ON PQ 所以 OP 2 ON 2 PN 2 ON 2 BN 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段PQ中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 练习 1 过点A 1 1 B 1 1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是 A x 3 2 y 1 2 4 B x 3 2 y 1 2 4 用心 爱心 专心2 C x 1 2 y 1 2 4 D x 1 2 y 1 2 4 解析 选 C 设圆心C的坐标为 a b 半径为r 圆心C在直线x y 2 0 上 b 2 a 由 CA 2 CB 2得 a 1 2 b 1 2 a 1 2 b 1 2 即 a 1 2 2 a 1 2 a 1 2 2 a 1 2 解得a 1 b 1 r CA 2 1 1 2 1 1 2 即所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 4 2 若曲线x2 y2 a2x 1 a2 y 4 0 关于直线y x 0 对称的曲线仍是其本身 则实数a为 A B 1 2 2 2 C 或 D 或 1 2 2 2 1 2 2 2 解析 选 B 由题意知 圆心C 在直线y x 0 上 a2 2 a2 1 2 0 a2 a 故选 B a2 1 2 a2 2 1 2 2 2 注 F 4 0 不需验D2 E2 4F 0 3 2009 年高考上海卷 点P 4 2 与圆x2 y2 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 A x 2 2 y 1 2 1 B x 2 2 y 1 2 4 C x 4 2 y 2 2 1 D x 2 2 y 1 2 1 解析 选 A 设圆上任意一点为 x1 y1 中点为 x y 则Error Error 代入x2 y2 4 得 2x 4 2 2y 2 2 4 化简得 x 2 2 y 1 2 1 4 2009 年高考辽宁卷 已知圆C与直线x y 0 及x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆C的方程为 A x 1 2 y 1 2 2 B x 1 2 y 1 2 2 C x 1 2 y 1 2 2 D x 1 2 y 1 2 2 解析 选 B 由题意可设圆心坐标为 a a 则 解得a 1 故 a a 2 a a 4 2 圆心坐标为 1 1 半径r 所以圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 1 1 22 5 若圆C的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线 4x 3y 0 和x轴都相切 则该圆 的标准方程是 A x 3 2 y 2 1 B x 2 2 y 1 2 1 7 3 C x 1 2 y 3 2 1 D x 2 y 1 2 1 3 2 解析 选 B 设圆心坐标为 a b 则Error 又b 0 故b 1 由 4a 3 5 得a 2 或a 又a 0 故a 2 所求圆的标准方程是 x 2 2 y 1 2 1 采用检验的方法 1 2 也可以 6 一束光线从点A 1 1 出发经x轴反射到圆C x 2 2 y 3 2 1 上的最短路 程是 A 4 B 5 C 3 1 D 2 26 解析 选 A 圆C的圆心C的坐标为 2 3 半径r 1 点A 1 1 关于x轴的对称点 A 的坐标为 1 1 因A 在反射线上 所以最短距离为 A C r 即 用心 爱心 专心3 1 4 2 1 2 3 1 2 7 如果圆的方程为x2 y2 kx 2y k2 0 那么当圆面积最大时 圆心为 解析 将方程配方 得 x 2 y 1 2 k2 1 k 2 3 4 r2 1 k2 0 rmax 1 此时k 0 3 4 圆心为 0 1 答案 0 1 8 圆心在原点且圆周被直线 3x 4y 15 0 分成 1 2 两部分的圆的方程为 解析 如图 因为圆周被直线 3x 4y 15 0 分成 1 2 两部分 所以 AOB 120 而圆心到直线 3x 4y 15 0 的距离d 3 在 AOB中 15 32 42 可求得OA 6 所以所求圆的方程为x2 y2 36 答案 x2 y2 36 9 一个等腰三角形底边上的高等于 4 底边两端 点的坐标是 3 0 3 0 则它的外接圆方程是 解析 底边端点关于原点对称 所以底边的中垂线方程为x 0 底边上的高等于 4 说明第三个顶点的坐标为 0 4 或 0 4 一腰的中垂线方程为y 2 x 或y 2 x 3 4 3 2 3 4 3 2 方程 联立得圆心坐标为 0 或 0 7 8 7 8 半径为 0 3 2 f 7 8 0 2 25 8 所求圆的方程为x2 y 2 或x2 y 2 7 8 625 64 7 8 625 64 答案 x2 y 2 或x2 y 2 7 8 625 64 7 8 625 64 10 求与x轴相交于A 1 0 和B 5 0 两点且半径为的圆的标准方程 5 解 法一 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 5 点A B在圆上 所以可得到方程组 Error 解得a 3 b 1 圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 5 或 x 3 2 y 1 2 5 法二 由A B两点在圆上可知线段AB是圆的一条弦 根据平面几何知识 这个圆的 圆心在线段AB的垂直平分线x 3 上 于是可设圆心为C 3 b 又 AC 即 5 解得b 1 或b 1 3 1 2 b25 因此 所求圆的标准方程为 x 3 2 y 1 2 5 或 x 3 2 y 1 2 5 11 圆C通过不同的三点P k 0 Q 2 0 R 0 1 已知圆C在点P处的切线斜率为 1 试求圆C的方程 解 设圆C的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则k 2 为x2 Dx F 0 的两根 k 2 D 2k F 即D k 2 F 2k 又圆过R 0 1 故 1 E F 0 E 2k 1 故所求圆的方程为 x2 y2 k 2 x 2k 1 y 2k 0 用心 爱心 专心4 圆心坐标为 k 2 2 2k 1 2 圆C在点P处的切线斜率为 1 kCP 1 k 3 D 1 E 5 F 6 2k 1 2 k 所求圆C的方程为x2 y2 x 5y 6 0 12 已知以点C t t R R t 0 为圆心的圆与x轴交于点O A 与y轴交于点 2 t O B 其中O为原点 1 求证 OAB的面积为定值 2 设直线y 2x 4 与圆C交于点M N 若OM ON 求圆C的方程 解 1 证明 设圆的方程为x2 y2 Dx Ey 0 由于圆心C t D 2t E 2 t 4 t 令y 0 得x 0