八年级数学暑假专题—四边形综合提高人教版VIP

用心 爱心 专心1 一 教学内容 四边形综合提高 1 分析本章的重点 难点 将知识成网络 2 举例说明近几年中考中有关的开放性试题 3 介绍学好数学的学习方法 二 教学过程 知识掌握知识掌握 知识点精析知识点精析 一 本章内容的重点是平行四边形的定义 性质和判定 1 定义的重要性 因为定义揭示了概念的本质特征 根据平行四边形的定义 必须掌握两层意思 一个四 边形只要具备 两组对边分别平行 的条件 那么这个四边形就是平行四边形 反过来 一 个四边形如果是平行四边形 那么这个四边形必定是 两组对边分别平行 所以 平行四边 形的定义和其他数学概念的定义一样 兼有判定 上面说的第一层意思 和性质 上面说的 第二层意思 的作用 其实 对任何一个数学中的定义都应该从这两方面去理解 这样才有 助于培养自己正向思维和逆向思维的能力 2 研究平行四边形性质的基本方法 连结平行四边形的一条对角线 将平行四边形分成两 个全等三角形 这就与三角形联系起来了 在这种联系之下 可以实现两个 转化 一是 化新为旧 二是化难为易 因此 在学习平行四边形时 要一抓 核心 定义 二抓 联 系 对角线 问题就好解决 其次是梯形问题解法的基本思路 解决梯形问题的基本方法是通过添辅助线 把梯形分成平行四边形和三角形 转化为已 经熟悉的四边形和三角形问题 二 本章难点是平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别 也是重点 突破难点 的关键是学好概念 分清 特殊 和 一般 的关系及特殊平行四边形之间的从属关系 建议 1 学概念 抓 限制 画网络 一目了然 建议 2 学性质 抓 特性 识共性 一通百通 这里要特别注意 用特殊平行四边形性质时 别忘了它们都是平行四边形 例如 平行 四边形是中心对称图形 而菱形 矩形 正方形是特殊的平行四边形 所以它们当然也是中 心对称图形 但是它们又具 特殊性 建议 3 学判定 抓 起点 凑条件 缺一不可 这里要说明的是 特殊的平行四边形矩形 菱形 正方形的判定方法有两类 一类的 起点 是平行四边形 即 平行四边形 特殊条件 另一类的 起点 是四边形 即 四 边形 特殊条件 更为特殊的是正方形 它的 起点 还可以是矩形 菱形 即 矩形 特 殊条件 菱形 特殊条件 在应用判定方法时一定要分清在什么基础上进行 条件要凑够 才行 用心 爱心 专心2 三 学法指点 1 梳理知识构成系统 把本章所有知识编织成有机联系的网络 把握各种四边形之间的从属关系 确切掌握它 们的共性和特性 以便随时调取信息 为正确理解和运用知识解决问题打下基础 2 学习运用科学思维方法 1 一般到特殊 2 转化 的数学思想 化四边形为三角形 化新问题为旧问题 化难为易 多边形 四边形 梯形 平行四边形 D E A C A 矩形 B 菱形 C 正方形 B 3 解题后要反思 总结规律 如总结解决梯形问题时添加辅助线的方法 解题方法指导解题方法指导 熟练掌握本章的基础知识是解题的关键 例 1 2006 年上海市中考题 在下列命题中 真命题是 A 两条对角线相等的四边形是矩形 B 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案 答案 C 适当添加辅助线构成基本图形是解题的桥梁 例 2 2006 年福建省厦门市中考题 如图所示 在四边形 ABCD 中 A90 ABC与 ADC互补 1 求 C的度数 2 若BCCD 且ABAD 请在图上画出一条线段 把四边形 ABCD 分成两部分 使得这两部分能够重新拼成一个正方形 并说明理由 用心 爱心 专心3 A D B C 1 解 解 在四边形 ABCD 中 A90 AABCADC C 90180 3609018090 2 过 A 作AE BC 于 E 则线段 AE 把四边形 ABCD 分成 ABE和四边形 AECD 两 部分 把 A 以 A 为旋转中心逆时针旋转 则被分成的两部分重新拼成一个正方形 说明 说明 过 A 作 AF BC 交 CD 的延长线于 F ABCADC ABCADF ADABAECAFD ABEADF AEAF 180 90又 四边形 AECF 是正方形 A F D B E C 例 3 如图所示 梯形 ABCD 中 AD BC B90 ABcm 14 ADcm 18 BCcm 21 点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以1cm s 的速度移动 点 Q 从点 C 开始沿 CB 向点 B 以2cm s 的速度移动 如果点 P Q 分别从点 A C 同时出发 设移动的时间为 t 秒 问 t 为何值时 梯形 PQCD 是等腰梯形 A P D B Q F E C 解 解 过 D 作DE BC 于 E 在梯形 ABCD 中 AD BC B90 ECBCADcm 21183 由题意 AP t CQt PDt 218 用心 爱心 专心4 要使梯形 PQCD 是等腰梯形 过 P 作PF BC 于 F 可证得四边形 PFED 是矩形 EFPDt QFEC QCQFEFEC tt t 18 3 31832 8 秒 答 答 t 为 8 秒时 梯形 PQCD 是等腰梯形 考点突破考点突破 考点指要考点指要 平行四边形及特殊平行四边形 梯形的定义 性质和判定在中考说明中是 C 级知识点 它常与全等三角形综合在一起以选择题 填空题 解答题和论证题等题型出现在中考题中 大约占有 10 分左右 2006 年北京市中考题 大纲卷占 13 分 课标卷占 16 分 且最后一题 是本章的综合知识 近几年 这部分的考题从以往的论证题转向动手操作 发现 猜想和探 究的开放题 典型例题分析典型例题分析 例 1 2001 年山西省临汾市中考题 填空题 观察图所示和所给表格中的数据后 回答 问题 当梯形个数为 n 时 这时图形的周长为 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 梯形个数12345 图形周长58111417 注意图形周长由小到大依次排成的 队伍 5 8 11 14 17 它们从第 2 个数 起 每一个数减去前面一个数所得的差都等于 3 这样就容易发现每个数 站位 的号码与 这个数的关系 设梯形个数为 n 相应的图形周长为an 那么由图可以看出 a15113 用心 爱心 专心5 a a a a 2 3 4 5 5213 5313 5413 5513 an n 513 又 5 1332 nn an n 32 验证这个公式的正确性 531283221133214342 因此 根据图形和表格中的数据得出 当梯形个数为 n 时 这时图形的周长为32n n 为正整数 点评 点评 让 图形 与 数 互动起来 也就是 数形结合 或 数形转化 此题本来是 图形问题 列成表看周长 又变成了数的问题 但在解决问题的过程中 纯粹考虑周长 数 排成的 队伍 这在高中数学中是一个很简单的问题 数列 等差数列 但在初中 要由 一列数看出规律 写出第 n 个图形的周长与 n 的联系 在高中就是求等差数列的通项公式 一种方法就是要把数又转化为图形 就象人比高矮个儿一样 这就是所谓的 类比联想 波 利亚教授指出 类比是发现的另一个丰富源泉 从画出的图中发现了an与 n 的密切关系 因而猜测出a n n 513 通过公式变形及验证n 1 2345 就对这个公式坚 定了信心 严格证明要用到高中的数学归纳法 应用本章的基础知识解决实际生活中的有关问题 例 2 2003 年河北省中考题 已知 如图 直线mn A B 为直线n上的点 C P 为直线m上的点 C P m O A B n 1 请写出图中 面积相等的各对三角形 2 如果 A B C 为三个定点 点 P 在 m 上移动 那么 无论 P 点移动到任何位置 总有 与 ABC的面积相等 理由是 解决问题 如图所示 a 五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图 经过多年开垦 荒地 现已变成如图 b 所示的形状 但承包土地与开垦荒地的分界小路 即图 b 中折线 CDE 还保留着 张大爷想过 E 点修一条直路 直路修好后 要保持直路左边的土地面积与 承包时的一样多 右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多 请你用有关的几何知识 按张 大爷的要求设计出修路方案 不计分界小路与直路的占地面积 用心 爱心 专心6 E A D B C E N A D M B C a b 1 写出设计方案 并在图 b 中画出相应的图形 2 说明方案设计理由 解析 解析 一个三角形的底和高两个量确定了 三角形的面积也就确定了 因此同底等高的 两个三角形面积相等 解 解 探究规律 1 A ABCBPAOCBOPCPACPB和 和 和 2 ABP 因为平行线间的距离相等 所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置 总有 ABPABC与 同底等高 因此 它们的面积相等 解决问题 1 画法如图 c E N A D M B C F H c 连结 EC 过点 D 作 DF EC 交 CM 于 F 连结 EF EF 即为所求直路的位置 2 设 EF 交 CD 于点 H 由上面所得到的结论 可知 SSSS SS SS ECFECDHCFEDH ABCDEABCFE EDCMNEFMN 五边形五边形 五边形四边形 点评 点评 什么是平面图形的等积变形呢 把一个平面图形变成另一个平面图形 使这两个 平面图形的形状不同 但面积保持不变 这种变形叫做平面图形的等积变形 简称为等积变 形 对多边形进行等积变形的理论依据是 等底等高的三角形面积相等 等底等高的平行四 边形面积相等 例 2 2006 年北京市中考题课标卷 我们给出如下定义 若一个四边形的两条对角线相等 则称这个四边形为等对角线四边 形 请解答下列问题 用心 爱心 专心7 1 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 2 探究 探究 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时 这时60 角所对的两边 之和与其中一条对角线的大小关系 并证明你的结论 解 解 1 矩形和等腰梯形 2 结论 等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时 这对60 角所对的两边之 和大于或等于一条对角线的长 已知 四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O ACBD 且 AOD60 求证 BCADAC 证明 过点 D 作DFAC 在 DF 上截取 DE 使DEAC 连结 CE BE 故 EDO60 四边形 ACED 是平行四边形 所以 BDE是等边三角形 CE AD 所以DEBEAC 当BC与 CE 不在同一条直线上时 如图 1 D A O B E F C 图 1 在 BCE中 有BCCEBE 所以BCADAC 当 BC 与 CE 在同一条直线上时 如图 2 A D O E B C F 图 2 则BCCEBE 因此BCADAC 综合 得BCADAC 即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时 这对60 角所对的两边之和大于或 等于其中一条对角线的长 用心 爱心 专心8 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 在下列性质中 菱形具有而矩形不具有的是 A 内角和为 360oB 对角相等 C 邻角互补D 对角线平分一组对角 2 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A 对角线互相垂直B 对角线平分一组内角 C 对角线相等D 对角线互相平分 3 下面的命题中 逆命题是假命题的是 A 平行四边形的两组对角分别相等 B 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C 矩形的两条对角线相等 D 菱形的两条对角线互相垂直平分 4 顺次连结四边形 ABCD 的各边中点所成的图形是菱形 那么四边形 ABCD 的对角线 A 互相平分B 互相垂直 C 互相垂直平分 D 相等 5 在下列图形中 沿着虚线将矩形剪成两部分 则由这两部分既能拼成平行四边形又能拼 成三角形和梯形的是 6 已知 如 图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 对角线 AC 与 BD 交于点 O 则图中全等三角形的 对数为 A 1B 2C 3D 4 A D O B C 二 填空题 1 若正方形的边长增加 1 倍 则面积增加 倍 2 如果等腰三角形一腰长为 8 底的长为 10 那么连接这个三角形各边中点所成的三角形 周长为 3 从菱形的钝角的顶点向对边作垂线 若垂线平分对边 则这钝角为 4 正方形的周长为 12 厘米 那么它的面积为 平方厘米 5 若等腰梯形的两条对角线互相垂直 中位线长为 8 721cm 则它的高为 cm 6 如图 点 D E F 分别是 ABC 的 AB BC AC 的中点 连结 DE EF 要使四边形 ADEF 为正方形 还需增加条件 A B C D 用心 爱心 专心9 A D F B E C 7 如图 如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF 再以对角线 AE 为 边作第三个正方形 AEGH 如此下去 已知正方形 ABCD 的面积 S1为 1 按上述方法所 作的正方形的面积依次为 S2 S3 Sn n 为正整数 那么第 8 个正方形的面积 S8 三 根据要求将下面题目改编为一道新题 已知 如图所示 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC PA PD 求证 PB PC 请你将上述题目的条件 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 改为另一种四边形 其余条 件都不变 使结论 PB PC 仍然成立 再根据改编后的题目画出图形 写出已知和求证 并进行证明 四 四边形 ABCD 中 AD BC AD BC BC 6cm P Q 分别从 A C 同时出发 P 以 1cm s 的速度由 A 向 D 运动 Q 以 2cm s 的速度由 C 向 B 运动 几秒钟后 ABQP 是平行四边 形 A P D B Q C 用心 爱心 专心10 五 如图 ABCD 是矩形 把矩形沿直线 AC 折叠 点 B 落在 E 处 连接 DE 从 E 作 EH AC 交 AC 于 H 1 判断四边形 ACED 是什么图形 并加以证明 2 若 AB 8 AD 6 求 DE 的长 3 四边形 ACED 中 比较AEEC 与ACEH 的大小并说明理由 用心 爱心 专心11 试题答案试题答案 一 选择题 1 D2 C3 C4 D5 D6 C 二 填空题 1 42 133 120 4 95 8 721 6 ABAC 且 A907 128 5 8 721 略解 OEBC OFAD 1 2 1 2 hOEOFBCADcm 1 2 8721 B A D E C O F 三 已知 如图所示 在矩形 ABCD 中 PA PD 求证 PB PC 证明 PAPD 12 在矩形 ABCD 中 ABDC BADCDA90 BADCDA12 即