河北省唐山市2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

1 唐山市唐山市 20122012 201201 3 3 学年度高三年级期末考试学年度高三年级期末考试 数学 理 试题数学 理 试题 说明 一 本试卷分为第 I 卷和第 II 卷 第 I 卷为选择题 第 II 卷为非选择题 分为必考 和选考两部分 二 答题前请仔细阅读答题卡上的 注意事项 按照 注意事项 的规定答题 三 做选择题时 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑 如需 改动 用橡皮将原选涂答案擦干净后 再选涂其他答案 四 考试结束后 将本试卷与原答题卡一并交回 参考公式 样本数据的标准差 n xxx 21 为样本平均数 xxxxxxx n s n 其中 1 22 2 2 1 柱体体积公式 h为高 为底面面积其中SShV 锥体体积公式 为高 hSShV 3 1 为底面面积其中 球的表面积 体积公式 其中 R 为球的半径 3 4 4 32 RVRS 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 有 且只有一项符合题目要求 1 复数 22 12 i i A B C iD i2222 2 下列函数中 满足的是 22 f xf x A B lnf xx 1 f xx C D 3 f xx x f xe 2 3 执行右边的程序框图 输出的结果为 A 15 B 16 C 64 D 65 4 椭圆的左焦点为 F 右顶点为 A 22 22 1 0 xy ab ab 以 FA 为直径的圆经过椭圆的上顶点 则椭圆韵离心率为 A B C D 51 2 31 2 2 2 3 2 5 设 x y 满足的最大值为 4 21 2 1 xy xyzxy x 则 A 3 B 5 C D 16 3 19 3 6 一个三棱锥的三视图如图 则该三棱锥的体积为 A B 1 3 1 2 C D 2 3 1 6 7 等比数列 132423 17 68 n aaaaaa a 中则 A 32 B 256 C 128 D 64 8 已知函数若命题 为真 则 m 的取值范围是 2 1 f xxmx 00 0 0 xf x A 2 B 2 C 2 D 2 9 ABC 中 点 P 满足 则 ABC 一定是 APt ABACBP APCP AP A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形 10 函数 的一段图象是 x x ex y ex 3 11 已如点 M 1 0 及双曲线的右支上两动点 A B 当 AMB 最大时 它的 2 2 1 3 x y 余弦值为 A B C D 1 2 1 2 1 3 1 3 12 四面体 ABCD 的四个顶点在同一球面上 AB BC CD DA 3 AC BD 则该球2 36 的表面积为 A 14 B 15 C 16 D 18 第 II 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填写在题中横线上 13 3 位数学教师和 3 位语文教师分配到两所不同的学校任教 每校 3 位 且每所学校既 有数学教师 也有语文教师 则不同的分配方案共有 种 14 已知 tan 2 cos2 4 则 15 曲线所围成的封闭图形的面积为 0 2yyx yx 16 数列的前 80 项的和等于 11 1 2 1 n nnn n a aaaa a 满足则 三 解答题 本大题共 70 分 其中 17 一 21 题为必考题 22 23 24 题为 选考题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 sin3cos2sin abAAB I 求角 C 的大小 II 求的最大值 ab c 18 本小题满分 12 分 从某节能灯生产线上随机抽取 100 件产品进行寿命试验 按连续使用时间 单位 天 共分 5 组 得到频率分布直方图如图 I 以分组的中点数据作为平均数据 用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连 续使用寿命 II 将以上统诗结果的频率视为概率 从该生产线所生产的产品中随机抽取 3 件 用 X 表示连续使用寿命高于 350 天的产品件数 求 X 的分布列 和期望 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 AA1B1B 为正方形 侧面 BB1C1C 为菱形 CBB1 60 AB B1C I 求证 平面 AA1B1B 平面 BB1C1C II 求二面角 B AC A1的余弦值 20 本小题满分 12 分 设圆 F 以抛物线 P 的焦点 F 为圆心 且与抛物线 P 有且只有一个公共点 2 4yx I 求圆 F 的方程 过点 M 1 0 作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 A B 和 C D 求经 过 A B C D 四点的圆 E 的方程 5 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 ln f xaxx I 讨论函数 f x 单调性 当时 证明 曲线与其在点处的切线至 1 02 8 at yf x P t f t 少有两个不同的公共点 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 记分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 是 ABC 的外接圆 D 是的中点 BD 交 AC 于点 E A AC I 求证 CD2 DE2 AE EC II 若 CD 的长等于 O 的半径 求 ACD 的大小 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位 以原点 D 为极点 以 x 轴正半轴为极 轴 曲线 Cl的极坐标方程为 曲线 C2的参数方程为为参2cos cos sin xt t yt 数 I 当时 求曲线 Cl与 C2公共点的直角坐标 4 II 若 当变化时 设曲线 C1与 C2的公共点为 A B 试求 AB 中点 M 轨迹 2 的极坐标方程 并指出它表示什么曲线 6 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设 f xxa a R I 当 求 a 的取值范围 13 3xf x 时 II 若对任意 x R 恒成立 求实数 a 的最小值 12f xaf xaa 7 参考答案 一 选择题 A 卷 CCDADADCBBCA B 卷 ACDBCADCABDA 二 填空题 13 18 14 15 16 70 4 5 10 32 三 解答题 17 解 sinA cosA 2sinB即 2sin A 2sinB 则 sin A sinB 3 分 3 3 3 因为 0 A B 又a b进而A B 所以A B 故A B C 6 分 3 2 3 3 由正弦定理及 得 sinA sin A sinA cosA 2sin A 10 分 a b c sinA sinB sinC 2 3 33 6 当A 时 取最大值 2 12 分 3 a b c 18 解 样本数据的平均数为 175 0 05 225 0 15 275 0 55 325 0 15 375 0 1 280 因此 该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为 280 天 5 分 依题意 X B 3 1 10 X的可能值为 0 1 2 3 P X 0 P X 1 C 9 10 3 729 10001 3 1 10 9 10 2 243 1000 P X 2 C P X 3 9 分 2 3 1 10 2 9 10 27 1000 1 10 3 1 1000 X的分布列为 X0123 P 729 1000 243 1000 27 1000 1 1000 10 分 数学期望E X 3 件 12 分 1 10 3 10 19 解 由侧面AA1B1B为正方形 知AB BB1 又AB B1C BB1 B1C B1 所以AB 平面BB1C1C 又AB 平面 AA1B1B 所以平面AA1B1B BB1C1C 4 分 8 B C B1 O C1 A1 z y x A 由题意 CB CB1 设O是BB1的中点 连结CO 则CO BB1 由 知 CO 平面AB1B1A 建立如图所示的坐标系O xyz 其中O是BB1的中点 Ox AB OB1为y轴 OC为z轴 设AB 2 则A 2 1 0 B 0 1 0 C 0 0 A1 2 1 0 3 2 0 0 2 1 0 2 0 6 分 AB AC 3 AA1 设n n1 x1 y1 z1 为面ABC的法向量 则n n1 0 n n1 0 AB AC 即取z1 1 得n n1 0 1 8 分 2x1 0 2x1 y1 3z1 0 3 设n n2 x2 y2 z2 为面ACA1的法向量 则n n2 0 n n2 0 AA1 AC 即取x2 得n n2 0 2 10 分 2y2 0 2x2 y2 3z2 0 33 所以 cos n n1 n n2 n n1 n n2 n n1 n n2 7 7 因此二面角B AC A1的余弦值为 12 分 7 7 20 解 设圆F的方程为 x 1 2 y2 r2 r 0 将y2 4x代入圆方程 得 x 1 2 r2 所以x 1 r 舍去 或x 1 r 圆与抛物线有且只有一个公共点 当且仅当 1 r 0 即r 1 故所求圆F的方程为 x 1 2 y2 1 4 分 设过点M 1 0 与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T 连结TF 则TF MT 且TF 1 MF 2 所以 TMF 30 6 分 直线MT的方程为x y 1 与y2 4x联立 得y2 4y 4 0 33 记直线与抛物线的两个交点为A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 y1y2 4 x1 x2 y1 y2 2 10 8 分 33 从而AB的垂直平分线的方程为y 2 x 5 33 令y 0 得 x 7 由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E 7 0 10 分 AB 8 x1 x2 2 y1 y2 2 1 3 y1 y2 2 4y1y2 2 又点E到直线AB的距离d 4 所以圆E的半径R 4 7 0 1 2 4 r 2 2 42 3 因此圆E的方程为 x 7 2 y2 48 12 分 9 B C F A D M x y O T 21 解 f x 的定义域为 0 f x 2ax 1 x 1 若a 0 则f x 0 f x 在 0 是减函数 2 分 2 若a 0 则当x 0 时 f x 0 f x 在 0 是减函数 2a 2a 2a 2a 当x 时 f x 0 f x 在 是增函数 4 分 2a 2a 2a 2a 曲线y f x 在P t f t 处的切线方程为y f t x t f t 且P为它们的一个公共点 设g x f x f t x t f t 则g x f x f t 有 g t 0 且g t 0 6 分 设h x g x x f t 则当x 0 2 时 h x 0 1 4 1 x 1 4 1 x2 于是g x 在 0 2 是增函数 且g t 0 所以 当x 0 t 时 g x 0 g x 在 0 t 是减函数 当x t 2 时 g x 0 g x 在 t 2 是增函数 故当x 0 t 或x t 2 时 g x g t 0 9 分 若x 2 则 g x x2 lnx f t x t f t x2 t x t2 1 ln 1 8 1 8 1 4 1 t 1 8 x t x2 t x t2 1 x x 2t t2 1 1 8 1 4 1 t 1 8 1 8 8 t 1 8 当x 2t 时 g x t2 1 0 8 t 1 8 所以在区间 2 2t 至少存在一个实数x0 2 使g x0 0 8 t 因此曲线y f x 与其在点P t f t 处的切线至少有两个不同的公共点 12 分 22 解 ABD CBD ABD ECD CBD ECD 又 CDB EDC BCD CED CD2 DE DB DE DC DC DB DE DB DE DE BE DE2 DE BE DE BE AE EC 10 CD2 DE2 AE EC 6 分 连结OC OD 由已知可知 ODC为等边三角形 COD 60 CBD COD 30 1 2 ACD CBD 30 10 分 D E A B C O 23 解 曲线C1的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 当 时 曲线C2的普通方程为y x 4 由 得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程