江苏省苏州市2014届高三数学暑假9月自主学习测试试题苏教版

1 苏州市苏州市 20142014 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数学数学 正 题 注意事项 注意事项 1 本试卷共 4 页 满分 160 分 考试时间 120 分钟 2 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域 在本试卷上答题无效 3 答题前 务必将自己的姓名 学校 考试号写在答题卡的指定位置 参考公式 参考公式 样本数据x1 x2 xn的方差 22 1 1 n i i sxx n 其中 1 1 n i i xx n 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 请把答案直接填写在答题卡相应位置分 请把答案直接填写在答题卡相应位置 上 上 1 已知集合 1Ax x 0Bx x 则AB 2 设x R R 向量 1 3 2 x ab且 ab 则x 3 设复数z满足i12iz i 为虚数单位 则 z 4 若2x 则 1 2 x x 的最小值为 5 样本数据 18 16 15 16 20 的方差 2 s 6 已知双曲线 2 2 1 0 y xm m 的离心率为 2 则m的值为 7 根据如图所示的伪代码 最后输出的i的值为 8 已知函数 n m yx 其中 m n是取自集合 1 2 3 的两个不同值 则该函数为偶函数的概率为 9 已知实数x y满足不等式组 0 0 26 312 x y xy xy 则2zxy 的最大值是 10 已知函数 2 0 2 0 xx f x xx x 则满足 1f x 的x的取值范围是 11 如图 在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 点 E F分别在 11 AA CC上 且 1 3 4 AEAA T 1 i 3 While T 10 T T i i i 2 End While Print i 2 E F AB C D P F E D1 C1 B1 B C D A1 A 1 1 3 CFCC 点 A C到BD的距离之比为 3 2 则三棱锥EBCD 和 FABD 的体积比 E BCD FABD V V 12 已知P是直线l 40 0 kxyk 上一动点 PA PB是圆C 22 20 xyy 的两条切线 切点分别为A B 若四边形PACB的最小面积为 2 则k 13 已知函数 3sin 0 6 f xx 和 2cos 2 0 g xx 的图象的对称轴完 全相同 则 3 g 的值是 14 已知各项均为正数的等比数列 n a 若 4321 228aaaa 则 87 2aa 的最小值为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 解答应写出必要的文字说明分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 请请 把答案写在答题卡的指定区域内 把答案写在答题卡的指定区域内 15 本小题满分 14 分 已知向量 cos sin AA m cos sin BB n cos2C m n 其中 A B C为 ABC 的内角 求角C的大小 若6AB 且18CA CB 求 AC BC的长 16 本小题满分 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面为矩形 2AB 1BC E F分别是 AB PC的中点 DEPA 求证 EFA平面PAD 求证 平面PAC 平面PDE 3 17 本小题满分 14 分 设数列 n a的前n 项和为 n S 对任意 n N满足2 1 nnn Sa a 且0 n a 求数列 n a的通项公式 设 1 1 3 21 n n n a an c n 为奇数 为偶数 求数列 n c的前 2n项和 2n T 18 本小题满分 16 分 如图 某自来水公司要在公路两侧排水管 公路为东西方向 在路北侧沿直线 1 l排 在路南侧 沿直线 2 l排 现要在矩形区域ABCD内沿直线将 1 l与 2 l接通 已知AB 60m BC 80m 公路两侧排管 费用为每米 1 万元 穿过公路的EF部分的排管费用为每米 2 万元 设EF与AB所成的小于90 的 角为 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于 的函数关系式 求排管的最小费用及相应的角 F ED C B A l2 l1 公 公 公 公 4 19 本小题满分 16 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴两端点分别为A B 000 0 P xyy 是椭圆上的动点 以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD 使 0 ADkb k PD交AB于点E PC交AB于点F 如图 1 若k 1 且P为椭圆上顶点时 PCD 的面积为 12 点O到直线PD的距 离为 6 5 求椭圆的方程 如图 2 若k 2 试证明 AE EF FB成等比数列 图 1 图 2 20 本小题满分 16 分 对于函数 f x 若在定义域内存在实数x 满足 fxf x 则称 f x为 局部奇函数 已知二次函数 2 24 f xaxxa a R 试判断 f x是否为 局部奇函数 并说 明理由 若 2xf xm 是定义在区间 1 1 上的 局部奇函数 求实数m的取值范围 若 12 423 xx f xmm 为定义域R上的 局部奇函数 求实数m的取值范 围 FE y x O P DC BA FE y x O P DC BA 5 O P BA C 20142014 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数 学 2013 092013 09 附加题 注意事项 注意事项 1 本试卷共 2 页 满分 40 分 考试时间 30 分钟 2 请将解题过程写在答题卡的规定区域 在本试卷上答题无效 3 答题前 务必将自己的姓名 学校 考试号写在答题卡的指定位置 2121 选做题选做题 本题包括本题包括 A A B B C C D D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若 多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 已知 如图 点A P B在 O上 90APB PC平分 APB 交 O于点C 求证 ABC 为等腰直角三角形 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵A A 20 01 B B 11 25 求矩阵 1 A B C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 已知曲线C的极坐标方程为 2 25 曲线 C 的极坐标方程为4cos 试求曲线C和 C 的直角坐标方程 并判断两曲线的位置关系 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设实数a b满足a b 求证 4422 abab ab 6 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写 出文字说明 证明过程或演算步骤 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中 已知曲线C上任意一点到点 1 0 2 M的距离与到直线 1 2 y 的距 离相等 求曲线C的方程 设 11 0 A x 22 0 A x是x轴上的两点 1212 0 0 xxx x 过点 12 A A分别作x轴 的垂线 与曲线C分别交于点 12 AA 直线 12 A A 与x轴交于点 33 0 A x 这样就称 12 x x确定了 3 x 同样 可由 23 x x确定了 4 x 现已知 12 6 2xx 求 4 x的值 23 本小题满分 10 分 设a b为实数 我们称 a b 为有序实数对 类似地 设A B C为集合 我们称 A B C 为有序三元组 如果集合A B C满足 1ABBCCA 且 ABC 则我们称有序三元组 A B C 为最小相交 S表示集合S中的元素的个数 请写出一个最小相交的有序三元组 并说明理由 由集合 1 2 3 4 5 6 的子集构成的所有有序三元组中 令N为最小相交的有序三元组 的个数 求N的值 20142014 届高三暑假自主学习测试试卷届高三暑假自主学习测试试卷 数学参考答案及评分标准 2013 092013 09 正 题 7 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 0 1 2 2 3 3 5 4 4 5 3 2 6 3 7 9 8 1 3 9 42 5 10 1 12 11 3 2 12 2 13 2 14 54 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 解 coscossinsincos cosABABABC m n 2 分 所以coscos2CC 即 2 2coscos10CC 4 分 故 1 cos 2 C 或cos1C 舍 又0C 所以 3 C 7 分 因为18CA CB 所以36CA CB 9 分 由余弦定理 222 2cos60ABACBCAC BC 及6AB 得 12ACBC 12 分 由 解得6 6ACBC 14 分 16 本小题满分 14 分 证明 取PD中点G 连 AG FG 因为F G分别为PC PD的中点 所以FG CD 且 1 2 FGCD 2 分 又因为E为AB中点 所以AE CD 且 1 2 AECD 3 分 所以AE FG AEFG 故四边形AEFG为平行四边形 5 分 所以EF AG 又EF 平面PAD AG 平面PAD 故EF 平面PAD 7 分 设ACDEH 由AEH CDH 及E为AB中点得 1 2 AGAE CGCD 又因为2AB 1BC 所以3AC 13 33 AGAC 所以 2 3 AGAB AEAC 又BAC 为公共角 所以GAE BAC 所以90AGEABC 即DEAC 10 分 又DEPA PA ACA 所以DE 平面PAC 12 分 又DE 平面PDE 所以平面PAC 平面PDE 14 分 8 17 本小题满分 14 分 解 2 1 nnn Sa a 当2n 时 111 2 1 nnn Saa 以上两式相减得 22 11 2 nnnnn aaaaa 2 分 即 111 nnnnnn aaaaaa 0 n a 当2n 时 有 1 1 nn aa 5 分 又当1n 时 由 111 2 1 Sa a 及 1 0a 得 1 1a 所以数列 an 是等差数列 其通项公式为an n n N 8 分 由 得 1 1 3 21 n n nn c n 为奇数 为偶数 9 分 所以 1321 2 242 3 222 n n Tnn 10 分 2 1 4 1 3 1 4 n n nn 212 222 n nn 14 分 18 本小题满分 16 分 解 如图 过E作EMBC 垂足为M 由题意得 4 0tan 3 MEF 故有60tanMF 60 cos EF 8060tanAEFC 4 分 所以 60 8060tan 12 cos W 5 分 sin1 8060120 coscos sin2 8060 cos 8 分 设 sin2 cos f 其中 00 4 0 tan 23 则 22 coscos sin sin2 1 2sin coscos f 10 分 令 0f 得1 2sin0 即 1 sin 2 得 6 11 分 列表 0 6 6 0 6 f 0 f 单调递增极大值单调递减 所以当 6 时有 max 3f 此时有 min 8060 3W 15 分 答 排管的最小费用为8060 3 万元 相应的角 6 16 分 19 本小题满分 16 分 解解 如图 当k 1 时 CD过点 0 b CD 2a F ED C B A l2 l1 公 公 公 公 M 9 PCD 的面积为 12 1 2212 2 ab 即6ab 2 分 此时D a b 直线PD方程为20bxayab 点O到PD的距离 22 4 ab d ba 6 5 4 分 由 解得3 2ab 6 分 所求椭圆方程为 22 1 94 xy 7 分 如图 当k 2 时 2 2 C ab Dab 设 12 0 0 E xF x 由D E P三点共线 及 1 2 DExab 00 2 DPxa yb 说明 也可通过求直线方程做 得 100 2 2 xaybbxa 0 1 0 2 2 bxa xa yb 即 0 0 2 2 bxa AE yb 9 分 由C F P三点共线 及 2 2 CFxab 00 2 CPxa yb 得 200 2 2 xaybbxa 0 2 0 2 2 bax ax yb 即 0 0 2 2 bax FB yb 11 分 又 22 00 22 1 xy ab 22222 00 22 00 4 4 2 2 baxa y AE FB ybyb 13 分 而 000 0000 2 2 24 222 2222 bxabaxayab EFaAEFBaa ybybybyb 15 分 2 EFAE FB 即有AE EF FB成等比数列 16 分 20 本小题满分 16 分 解 f x为 局部奇函数 等价于关于x的方程 0f xfx 有解 当 2 24 f xaxxa a R时 方程 0f xfx 即 2 2 4 0a x 有解2x 所以 f x为 局部奇函数 3 分 当 2xf xm 时 0f xfx 可化为2220 xx m 因为 f x的定义域为 1 1 所以方程2220 xx m 在 1 1 上有解 5 分 令 1 2 2 2 x t 则 1 2mt t 设 1 g tt t 则 2 22 11 1 t g t tt 当 0 1 t 时 0g t 故 g t在 0 1 上为减函数 当 1 t 时 0g t 故 g t在 1 上为增函数 7 分 FE y x O P DC BA FE y x O P DC BA 10 所以 1 2 2 t 时 5 2 2 g t 所以 5 2 2 2 m 即 5 1 4 m 9 分 当 12 423 xx f xmm 时 0f xfx 可化为 2 442 22 260 xxxx mm 22 2 xx t 则 2 442 xx t 从而 22 2280tmtm 在 2 有解即可保证 f x为 局部奇函数 11 分 令 22 228F ttmtm 1 当 2 0F 22 2280tmtm 在 2 有解 由 2 0F 即 2 2440mm 解得1313m 13 分 2 当 2 0F 时 22 2280tmtm 在 2 有解等价于 22 44 28 0 2 2 0 mm m F 解得132 2m 15 分 说明 也可转化为大根大于等于 2 求解 综上 所求实数m的取值范围为132 2m 16 分 附加题附加题 2121 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做两题 每小题四小题中只能选做两题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分 解答时应写出分 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 4 1 几何证明选讲 证明 由90APB 得AB为直径 所以90ACB 2 分 由 AA ACAC 得APCABC 同理BPCBAC 4 分 又因为PC平分APB 所以CPACPB 6 分 所以BACABC 故BCAC 8 分 从而 ABC 为等腰直角三角形 10 分 B 选修 4 2 矩阵与变换 解 设矩阵A A的逆矩阵为 ab cd 则 20 01 ab cd 10 01 1 分 即 22ab cd 10 01 4 分 11 故 1 0 0 1 2 abcd 从而A A的逆矩阵为 1 A 1 0 2 01 7 分 所以 1 A B 1 0 2 01 11 25 11 22 25 10 分 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 由 2 25 得曲线C的直角坐标方程为 22 25xy 2 分 由4cos 得曲线 C 的直角坐标方程为 22 2 4xy 5 分 曲线C表示以 0 0为圆心 5 为半径的圆 曲线 C 表示以 2 0为圆心 2 为半径的圆 因为两圆心间距离 2 小于两半径的差 5 2 3 8 分 所以圆C和圆 C 的位置关系是内含 10 分 D 选修 4 5 不等式选讲 证明 作差得 442233 abab aba abb ba 1 分 33 ab ab 222 abaabb 4 分 222 3 24 b abab 6 分 因为a b 所以a b不同时为 0 故 22 3 0 24 b ab 2 0ab 所以 222 3 0 24 b