2011高考数学萃取精华试题（13）新人教A版

20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1313 哈九中一模哈九中一模 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过焦点且垂直于长轴的直线被椭 圆截得的弦长为1 过点 3 0 M的直线与椭圆C相交于两点 A B 1 求椭圆的方程 2 设P为椭圆上一点 且满足OAOBtOP O为坐标原点 当 3PAPB 时 求实数t的取值范围 20 1 由已知 3 2 c e a 所以 2 2 3 4 c a 所以 2222 4 3abcb 所以 22 22 1 4 xy bb 1 分 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 2 1 b a 所以1b 3 分 所以 2 2 1 4 x y 4 分 2 设 1122 A x yB xyP x y 设 3 AB yk x 与椭圆联立得 2 2 3 1 4 yk x x y 整理得 2222 14 243640kxk xk 2422 2416 91 14 0kkk 得 2 1 5 k 22 1212 22 24364 1414 kk xxxx kk 6 分 1212 OAOBxxyyt x y 12 1 xxx t 2 2 24 14 k tk 1212 2 116 6 14 k yyyk xxk tttk 由点P在椭圆上得 22 222 24 14 k tk 2 222 144 4 14 k tk 222 36 14 ktk 8 分 又由3PAPB 即BA3 所以 2 12 13ABkxx 所以 22 12 1 3kxx 22 1212 1 43kxxx x 2 1 k 242 222 244 364 14 14 kk kk 3 整理得 37 9 3 m 22 81 1613 0kk 所以 22 1 810 8 kk 10 分 所以 2 11 85 k 由 222 36 14 ktk 得 2 2 22 369 9 1414 k t kk 所以 2 34t 所以23t 或32t 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln3 f xaxaxaR 1 当1a 时 求函数 f x的单调区间 2 若函数 yf x 的图像在点 2 2 f处的切线的倾斜角为45 问 m在什么范 围取值时 对于任意的 1 2t 函数 32 2 m g xxxfx 在区间 3 t上 总存在极值 3 当2a 时 设函数 2 2 3 p h xpx x 若对任意地 1 2 x f xh x 恒成立 求实数p的取值范围 21 解 0 a fxa x x 1 1 当1a 时 11 1 x fx xx 令 0fx 时 解得01x 所以 f x在 0 1 递增 令 0fx 时 解得1x 所以 f x在 1 递减 4 2 因为 函数 yf x 的图像在点 2 2 f处的切线的倾斜角为45 所以 2 1f 所以2a 2 2fx x 5 3232 2 2 2 2 22 mm g xxxxxx x 2 3 4 2g xxm x 6 因为对于任意的 1 2t 函数 32 2 m g xxxfx 在区间 3 t上 总存在极值 所以只需 2 0 3 0 g g 7 解得 37 9 3 m 8 3 设 2 2ln p F xf xg xxpx x 2 222 2 1 222 2 p p xx ppxxpp F xp xxxx 9 110p 时 2 22 0 1 2 x F xF x x 即 即递增 所以 1 20F 不成立 舍 O F E D C B A 22 2 11 10p p 即 即时 同11 不成立 舍 33 2 111 1p p 即 即时 F x 即 即 1 1 2 2 递增 所以 1 220Fp 解得1p 所以 此时1p 441p 时 F x 即 即 1 1 2 2 递增 成立 550p 时 均不成立 综上 1p 12 利用分离变量法求解同样给分 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是 O 的直径 弦 BD CA 的延长线相交于点 E EF 垂直 BA 的延长线于点 F 求证 1 2 BE DEAC CECE 2 EDFCDB 3 E F C B四点共圆 22 1 ABE CDE BE CEAE DE 2 BE DEAC CECE 3 2 ABE CDE EDCFDB EDFCDB 6 3 AB 是 O 的直径 90ECB 1 2 CDBE 同理 1 2 FDBE 所以 E F C B到点D的距离相等 E F C B四点共圆 10 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为 2 22 36 4cos9sin 1 若以极点为原点 极轴所在的直线为x轴 求曲线C的直角坐标方程 2 若 P x y是曲线C上的一个动点 求34xy 的最大值 23 1 22 1 94 xy 4 2 设 3cos 2sin P 则34xy 9cos8sin145sin 6 R 当sin 1 时 34xy 的最大值为145 10 24 选修 4 5 不等式证明选讲 已知函数 32 f xxx 1 求函数 f x的值域 2 若 1 g xx 解不等式 f xg x 24 1 11当 2 3 x 时 2 42 3 f xx 2 22当 2 3 x 时 2 22 3 f xx 4 所以 f x的值域为R 5 2 11当1x 时 原不等式321xxx 此时解集为1x 6 22当 2 1 3 x 时 原不等式321xxx 此时解集为 1 1 3 x 7 33当 2 3 x 时 原不等式321xxx 此时解集为1x 8 综上 不等式 f xg x 的解集为 1 1 3 x xx 即 即 10 2 冀州中学月考冀州中学月考 20 已知数列 n a满足 1 1a 2 1 2 a 且 2 3 1 22 1 1 nn nn aa n 1 2 3 1 求 3456 a a a a的值及数列 n a的通项公式 2 令 212nnn baa 记数列 n b的前 n 项的和为 n T 求证 n T 3 20 解 1 分别令 n 1 2 3 4 可求得 3456 11 3 5 48 aaaa 2 分 当 n 为奇数时 不妨设 n 2m1 mN 则 2121 2 mm aa 21 m a 为等差数列 21m a 1 2 m1 2m1 即 n an 4 分 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 则 222 20 mm aa 2 m a为等比数列 1 2 111 222 m mm a A A 故 2 1 2 n n a 综上所述 2 21 1 2 2 n n nnmmN a nmmN 即 即 6 分 2 212 1 21 2 nnnn baan A AA A 23 1111 135 21 2222 nn Tn A A 8 分 231 11111 13 23 21 22222 nnn Tnn A AA A 两式相减 231 111111 2 21 222222 nnn Tn A A 1 1 11 1 11 42 21 1 22 1 2 n n n A A 10 分 23 3 2 nn n T 故3 n T 12 分 注 若求出 3456 a a a a猜想出通项 1 问给 2 分 在上面基础上 2 问解答正确给 8 分 21 已知 分别是直线xy 3 3 和xy 3 3 上的两个动点 线段AB的长为32 是 AB的中点 1 求动点的轨迹C的方程 2 过点 0 1 Q任意作直线l 与轴不垂直 设l与 1 中轨迹C交于MN 两点 与 轴交于点 若RMMQ RNNQ 证明 为定值 21 解 1 设 yxP 11 yxA 22 yxB 是线段AB的中点 12 12 2 2 xx x yy y 2 分 AB 分别是直线 3 3 yx 和 3 3 yx 上的点 11 3 3 yx 和 22 3 3 yx 12 12 2 3 2 3 3 xxy yyx 4 分 又2 3AB 12 2 21 2 21 yyxx 5 分 22 4 1212 3 yx 动点的轨迹C的方程为 2 2 1 9 x y 6 分 2 依题意 直线l的斜率存在 故可设直线l的方程为 1 yk x 设 33 yxM 44 yxN 0 5 yR 则MN 两点坐标满足方程组 1 9 1 2 2 y x xky 消去并整理 得 2222 1 9 18990kxk xk 8 分 2 2 43 91 18 k k xx 2 34 2 99 1 9 k x x k MQRM 0 1 0 33533 yxyyx 即 1 353 33 yyy xx 1 33 xx l与轴不垂直 1 3 x 3 3 1x x 同理 4 4 1x x 10 分 4 4 3 3 11x x x x 3434 3434 2 1 xxx x xxx x 将 代入上式可得 4 9 12 分 22 已知0 1aa 且函数 log 1 x a f xa 1 求函数 f x的定义域 并判断 f x的单调性 2 若 lim f n n n a nN aa 求 3 当ae 为自然对数的底数 时 设 2 1 1 f x h xexm 若函数 h x的极 值存在 求实数的取值范围以及函数 h x的极值 22 解 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a 1 所以 11 limlim f nn nn nn aa aaaaa 6 分 22 1 0 21 xx h xexmxh xexxm 所以 令 2 0 210 00h xxxmm 即由题意应有 即 当 m 0 时 0h x 有实根1x 在1x 点左右两侧均有 0h x 故无极值 当01m 时 0h x 有两个实根 12 1 1xm xm 当 x 变化时 h x h x的变化情况如下表所示 1 x 1 x 12 x x 2 x 2