江苏省阜宁中学、大丰中学2012-2013学年联考高三数学上学期期中试卷强化班（解析版）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省阜宁中学 大丰中学联考高三 上 期中数学年江苏省阜宁中学 大丰中学联考高三 上 期中数 学试卷 强化班 学试卷 强化班 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 5 分 已知集合 A 1 1 3 5 B x x2 4 0 x R 则 A B 1 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 集合 A 与集合 B 的公共部分构成集合 A B 由此利用集合 A 1 1 3 5 B x x2 4 0 x R 能求出 A B 解答 解 集合 A 1 1 3 5 B x x2 4 0 x R x 2 x 2 x R A B 1 1 故答案为 1 1 点评 本题考查集合的交集的求法 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意不等 式性质的合理运用 2 5 分 命题 x R x2 x 1 0 的否定是 考点 命题的否定 专题 计算题 分析 根据命题的否定的规则进行求解 注意 任意 的 否定 为存在 解答 解 命题 x R x2 x 1 0 任意 的否定为 存在 命题的否定为 故答案为 点评 此题主要考查命题的否定规则 是一道基础题 注意常见的否定词 3 5 分 2012 江苏一模 已知抛物线 y2 2px 的准线与双曲线 x2 y2 2 的左准线重合 则 p 的值为 2 考点 双曲线的简单性质 抛物线的简单性质 专题 计算题 2 分析 求出抛物线的准线方程 双曲线的左准线方程 建立关系 即可求出 p 的值 解答 解 抛物线 y2 2px 的准线为 x 双曲线 x2 y2 2 的左准线为 x 由题意可知 p 2 故答案为 2 点评 本题考查抛物线与双曲线的准线方程的求法 考查计算能力 4 5 分 已知向量 a b c 满足 a 1 b 2 c a b 且 c a 则 a 与 b 的夹角大小 是 120 考点 数量积表示两个向量的夹角 向量的模 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题 计算题 分析 利用向量垂直的充要条件及向量的数量积公式列出方程 求出夹角余弦 从而求出 夹角 解答 解 设的夹角为 即 1 1 2cos 0 cos 120 故答案为 120 点评 本题考查两个向量垂直的充要条件及向量的数量积公式 5 5 分 已知等比数列 an 的公比 则的值为 3 3 考点 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 由等比数列的通项公式可得 an an 1q 故分母的值分别为分子的对应值乘以 q 整体 代入可得答案 解答 解 由等比数列的定义可得 3 故答案为 3 点评 本题考查等比数列的通项公式 整体代入是就问题的关键 属基础题 6 5 分 函数的最小正周期为 2 考点 两角和与差的正弦函数 同角三角函数间的基本关系 三角函数的周期性及其求 法 专题 计算题 分析 将函数解析式利用多项式乘以单项式法则计算后 利用同角三角函数间的基本关系 变形 再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦 函数 找出 的值 代入周期公式即可求出函数的最小正周期 解答 解 f x cosx sinx 2sin x 1 T 2 故答案为 2 点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式 同角三角函数间的基本关系 以及三角函 数的周期性及其求法 熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键 7 5 分 已知 x 0 y 0 且 x y xy 则 u x 4y 的取值范围是 9 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 将 x y xy 代入 u x 4y 消掉 y 得到 u 关于 x 的函数 在变形利用重要不等式求 得 解答 解 x 0 y 0 且 x y xy x 1 4 u x 4y x 4 x 1 5 9 故答案为 9 点评 本题考查了不等式的基本性质及均值不等式 属于基本知识 常规题型的考查 8 5 分 已知 则 sin 考点 两角和与差的正弦函数 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 sin 除以 sin 利用两角和与差的正弦函数公式化简后 再利用 同角三角函数间的基本关系变形 分子分母同时除以 tan 将与 sin 的值代入 即可求出 sin 的值 解答 解 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 即 解得 sin 故答案为 点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式 以及同角三角函数间的基本关系 熟练掌 握公式及基本关系是解本题的关键 9 5 分 函数 f x lgx x 2 的零点个数为 2 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 函数 f x lgx x 2 的零点可转化成 f x 0 根的个数 然后转化成函数 5 y lgx 与函数 y 2 x 的交点的个数 作出函数 y 2 x 与函数 y lgx 的图象 结 合函数的图判断即可 解答 解 f x 0 lgx 2 x 所以 f x 的零点个数即函数 y lgx 与函数 y 2 x 的交点的个数 作出函数 y 2 x 与函数 y lgx 的图象 结合函数的图可知有 2 个交点 故答案为 2 点评 本题主要考查了函数的零点的个数的判断 同时考查了转化的数学思想 解题的关 键是准确作出函数的图象 属于基础试题 10 5 分 2011 湖南 设 m 1 在约束条件 下 目标函数 z x 5y 的最大值 为 4 则 m 的值为 3 考点 简单线性规划的应用 专题 计算题 压轴题 数形结合 分析 根据 m 1 我们可以判断直线 y mx 的倾斜角位于区间 上 由此我们不 难判断出满足约束条件的平面区域的形状 再根据目标函数 Z X 5y 在直 线 y mx 与直线 x y 1 交点处取得最大值 由此构造出关于 m 的方程 解方程即可求 出 m 的取值范围 解答 解 满足约束条件 的平面区域如下图所示 当 x y 时 目标函数 z x 5y 取最大值为 4 即 6 解得 m 3 故答案为 3 点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用 其中判断出目标函数 Z X my 在 点取得最大值 并由此构造出关于 m 的方程是解答本题的关键 11 5 分 已知函数 设 a b R 且 f a f b 1 0 则 a b 1 考点 函数与方程的综合运用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由 知 f x 是 R 上的奇函数 由 f a f b 1 0 知 a b 1 0 由此能求出 a b 解答 解 x R f x f x f x 是 R 上的奇函数 f a f b 1 0 a b 1 0 解得 a b 1 故答案为 1 点评 本题考查奇函数的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 推导出 f x 是 R 7 上的奇函数 是解题的关键 12 5 分 已知 且 x 2y 1 则 的最小值是 考点 两向量的和或差的模的最值 专题 计算题 分析 根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式 把两个向量的系数用一个字母来 表示 求向量的模长 利用二次函数的最值 做出结果 解答 解 x 2y 1 84y2 72y 16 当 y 时 原式 故答案为 点评 本题考查向量的模长的最值 本题解题的关键是表示出向量的模长 再用函数求最 值的方法来求解 这是这一类题目共同的特征 13 5 分 已知数列 an 是首项为 15 公差为整数的等差数列 前 n 项的和是 Sn S11 0 S12 0 Sn的最大值是 S 函数 y f x 满足 f 1 x f 5 x 对任意实数 x 都成立 且 y f x 的所有零点和恰好为 S 则 y f x 的零点的个数为 15 个 考点 根的存在性及根的个数判断 等差数列的通项公式 专题 函数的性质及应用 等差数列与等比数列 分析 根据已知结合等差数列的性质 求出数列的公差 d 进而求出数列的前 n 项的是 Sn 的最大值是 S 由函数 y f x 满足 f 1 x f 5 x 对任意实数 x 都成立 分 析也函数图象关于直线 x 3 对称 即函数 y f x 所有零点的平均数为 3 进而求 出函数零点的个数 解答 解 设数列 an 的公差为 d 则 d Z S11 11 a6 0 a6 a1 5d 15 5d 0 解得 d 3 又 S12 12 12 180 66d 0 8 解得 d 由 得 d 3 则 Sn n2 n 则当 n 5 或 n 6 时 Sn的最大值是 S 45 函数 y f x 满足 f 1 x f 5 x 对任意实数 x 都成立 函数 y f x 的图象关于直线 x 3 对称 即函数 y f x 所有零点的平均数为 3 又 y f x 的所有零点和恰好为 S 45 y f x 的零点共有 15 个 故答案为 15 点评 本题考查的知识点是函数零点 函数的对称性 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 是数列与函数的综合应用 难度中档 14 5 分 已知 f x x3 3x 过 A 1 m 可作曲线 y f x 的三条切线 则 m 的取 值范围是 3 2 考点 导数的几何意义 分析 先对函数 f x 求导 得到函数 f x 的两个极值点和一个拐点 得到函数 f x 的大致图形再分析可得答案 解答 解 已知点 1 m 在直线 x 1 上 由 f x 3x2 3 0 得两个极值点 x 1 由 f x 6x 0 得一个拐点 x 0 在 0 f x 上凸 在 0 f x 下凸 切线只能在凸性曲线段的外侧取得 在拐点 x 0 处有一条上凸和下凸部分的公共切 线 L 其斜率 k f 0 3 方程为 y 3x L 与直线 x 1 的交点为 1 3 设过点 1 m 的直线为 l 当 m 2 时 l 与函数 f x 上凸部分相切且有两条切线 l 与下凸部分只能相交 当 m 3 时 l 与 f x 下凸部分相切且有两条切线 l 与上凸部分只能相交 当 3 m 2 时 l 与 f x 下凸部分相切且有两条切线 l 与上凸部分也相切但 只有一条 共 3 条 其中 当 m 3 时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合 共有 2 条 所以 m 的取值范围是 3 m 2 故答案为 3 2 点评 本题主要考查导数的几何意义 即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率 属 难题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 分 15 14 分 已知 ABC 的三个内角 A B C 对应的边长分别为 a b c 向量 sinB 1 cosB 与向量 2 0 的夹角 的余弦值为 9 1 求角 B 的大小 2 若 求 a c 的取值范围 考点 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 专题 解三角形 分析 1 ABC 中 由条件求得 由此可得 B 的值 2 由以上可得 利用两角和差的正弦公式求得 sinA sinC sin A 根据 求得 由此可得 的范围 解答 解 1 ABC 中 因为 sinB 1 cosB 2 0 所以 4 分 由 可得 即 7 分 2 因为 所以 所以 10 分 又 所以 所以 12 分 又 所以 14 分 点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义 两角和差的正弦公式 正弦定理的应用 正弦函数的定义域和值域 属于中档题 16 14 分 如图 E F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点 B 90 沿 EF 将 三角形 ABC 折成如图 所示的锐二面角 A1 EF B 若 M 为线段 A1C 中点 10 求证 1 直线 FM 平面 A1EB 2 平面 A1FC 平面 A1BC 考点 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 专题 证明题 分析 I 取 A1B 中点 N 连接 NE NM 证四边形 MNEF 为平行四边形来获取 MF NE 得 到线面平行的条件 II 根据图形找出线 MF 与面 ABC 中的两条相交线垂直即可 由题目中的条件易 得 解答 证明 1 取 A1B 中点 N 连接 NE NM 则 MN EF 所以 MNFE 所以四边形 MNEF 为平行四边形 所以 FM EN 4 分 又因为 FM 平面 A1EB EN 平面 A1EB 所以直线 FM 平面 A1EB 7 分 2 因为 E F 分别 AB 和 AC 的中点 所以 A1F FC 所以 FM A1C 9 分 同理 EN A1B 由 1 知 FM EN 所以 FM A1B 又因为 A1C A1B A1 所以 FM 平面 A1BC 12 分 又因为 FM 平面 A1FC 所以平面 A1FC 平面 A1BC 14 分 点评 考查线面平行与线面垂直的判定定理 以及空间想象能力 11 17 15 分 已知椭圆 a b 0 的两准线间距离为 6 离心率 过椭圆 上任意一点 P 作右准线的垂线 PH H 为垂足 并延长 PH 到 Q 使得 F2为该椭圆的右焦点 设点 P 的坐标为 x0 y0 1 求椭圆方程 2 当点 P 在椭圆上运动时 求 的值使得点 Q 的轨迹是一个定圆 考点 轨迹方程 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 利用椭圆 a b 0 的两准线间距离为 6 离心率 建立方 程组 求得几何量 从而扩大椭圆的方程 2 利用向量知识 确定 P 的坐标 结合椭圆方程 利用点 Q 的轨迹是一个定圆 即可求 的值 解答 解 1 椭圆 a b 0 的两准线间距离为 6 离心率 所求椭圆方程为 6 分 2 设 Q 的坐标为 x y H 3 y0 y y0 3 x0 x 3 x0 3 3 x 9 分 又 即 12 分 当且仅当 即时 点 Q 在定圆 12 上 15 分 点评 本题考查椭圆的标准方程 考查椭圆的几何性质 考查向量知识的运用 考查学生 的计算能力 属于中档题 18 15 分 在一次数学实践活动课上 老师给一个活动小组安排了这样的一个任务 设 计一个方案 将一块边长为 4 米的正方形铁片 通过裁剪 拼接的方式 将它焊接成容积 至少有 5 立方米的长方体无盖容器 只有一个下底面和侧面的长方体 该活动小组接到任 务后 立刻设计了一个方案 如下图所示 按图 1 在正方形铁片的四角裁去四个相同的小 正方形后 将剩下的部分焊接成长方体 如图 2 请你分析一下他们的设计方案切去边长 为多大的小正方形后能得到的最大容积 最大容积是多少 是否符合要求 若不符合 请 你帮他们再设计一个能符合要求的方案 简单说明操作过程和理由 考点 函数模型的选择与应用 专题 应用题 分析 1 设切去正方形边长为 x 利用长方体的体积公式求得其容积表达式 再利用导 数研究它的极值 进而得出此函数的最大值即可 2 在 1 中之所以不符合要求 主要原因是因为裁去四个相同的小正方形形成资源浪费 没有充分利用现有材料 重新设计方案时 必须充分考虑材料不浪费 解答 解 1 设切去正方形边长为 x 则焊接成的长方体的底面边长为 4 2x 高为 x 所以 V1 4 2x 2 x 4 x3 4x2 4x 0 x 2 4 分 V1 4 3x2 8x 4 5 分 令 V1 0 即 4 3x2 8x 4 0 解得 x1 x2 2 舍去 7 分 V1在 0 2 内只有一个极值 当 x 时 V1取得最大值 5 即不符合要求 9 分 2 重新设计方案如下 如图 在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形 如图 将切下的 小正方形焊在未切口的正方形一边的中间 如图 将图 焊成长方体容器 新焊 长方体容器底面是一个长方形 长为 3 宽为 2 此长方体容积 V2 3 2 1 6 显然 V2 5 故第二种方案符合要求 13 13 分 注 第二问答案不唯一 点评 利用导数解决生活中的优化问题 关键是要建立恰当的数学模型 把问题中所涉及 的几个变量转化为函数关系式 这需要通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的 最值要由极值和端点的函数值确定 当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极 值时 这个极值就是它的最值 19 16 分 2010 苏州模拟 各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 1 求 an 2 令 求 cn 的前 n 项和 Tn 3 令 q 为常数 q 0 且 q 1 cn 3 n b1 b2 bn 是否存 在实数对 q 使得数列 cn 成等比数列 若存在 求出实数对 q 及数列 cn 的通项公式 若不存在 请说明理由 考点 数列的应用 等比关系的确定 数列的求和 专题 计算题 压轴题 分析 1 由题意知 an an 1 an an 1 2 0 由此可知 an 2n n N 2 由题意知 c1 b6 b3 a3 6 c2 b8 b4 b2 b1 a1 2 所以 由此可知 3 由题设条件知得 由此可以 14 推导出存在 解答 解 1 a1 0 a1 2 当 n 2 时 即 an an 1 an an 1 2 0 an 0 an an 1 2 an 为等差数列 2 分 an 2n n N 4 分 2 c1 b6 b3 a3 6 c2 b8 b4 b2 b1 a1 2 6 分 n 3 时 8 分 此时 Tn 8 22 2 23 2 2n 1 2 2n 2n 10 分 3 令 14 分 存在 16 分 点评 本题考查数列性质的综合应用 解题时要认真审题 仔细解答 20 16 分 已知函数 f x alnx x2 a 为实常数 1 若 a 2 求证 函数 f x 在 1 上是增函数 2 求函数 f x 在 1 e 上的最小值及相应的 x 值 3 若存在 x 1 e 使得 f x a 2 x 成立 求实数 a 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 专题 压轴题 解题方法 分析 1 当 a 2 时故函数 在 1 上是增函数 15 2 当 x 1 e 2x2 a a 2 a 2e2 若 a 2 f x 在 1 e 上非负 故函数 f x 在 1 e 上是增函数 若 2e2 a 2 当时 f x