2012-2013高中数学 2-2-3直线与椭圆的位置关系同步检测 新人教B版选修2-1VIP

1 2 22 2 第第 3 3 课时课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 一 选择题 1 点P为椭圆 1 上一点 以点P以及焦点F1 F2为顶点的三角形的面积为 1 x2 5 y2 4 则P点的坐标为 A 1 B 1 15 2 15 2 C 1 D 1 15 2 15 2 答案 D 解析 设P x0 y0 a2 5 b2 4 c 1 S PF1F2 F1F2 y0 y0 1 y0 1 1 2 1 x2 0 5 y2 0 4 x0 故选 D 15 2 2 已知m n m n成等差数列 m n mn成等比数列 则椭圆 1 的离心率为 x2 m y2 n A B C D 1 2 3 3 2 2 3 2 答案 C 解析 由已知得 Error 解得Error e 故选 C n m n 2 2 3 在 ABC中 BC 24 AB AC 26 则 ABC面积的最大值为 A 24 B 65 C 60 D 30 答案 C 解析 AB AC BC A点在以BC为焦点的椭圆上 因此当A为短轴端点时 ABC 面积取最大值Smax BC 5 60 选 C 1 2 4 已知P是以F1 F2为焦点的椭圆 1 a b 0 上一点 x2 a2 y2 b2 若 0 tan PF1F2 则椭圆的离心率为 PF1 PF2 1 2 2 A B C D 1 2 2 3 1 3 5 3 答案 D 解析 由 0 知 F1PF2为直角 PF1 PF2 设 PF1 x 由 tan PF1F2 知 PF2 2x 1 2 a x 由 PF1 2 PF2 2 F1F2 2得c x 3 2 5 2 e c a 5 3 5 如图F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的两个焦点 A和B是以O为圆心 以 x2 a2 y2 b2 OF1 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点 且 F2AB是等边三角形 则椭圆的离心率为 A B C D 1 3 2 1 2 2 23 答案 D 解析 连结AF1 由圆的性质知 F1AF2 90 又 F2AB是等边三角形 AF2F1 30 AF1 c AF2 c 3 e 1 故选 D c a 2c 2a 2c c 3c3 6 过椭圆 1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 x2 4 y2 3 A 8 6 B 4 3 C 2 D 4 2 33 答案 B 解析 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴 最短的为垂直于长轴的弦 通径 是 2b2 a 最长的弦为 2a 4 最短的弦为 2 3 2b2 a 3 2 故选 B 3 7 09 江西理 过椭圆 1 a b 0 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P F2 x2 a2 y2 b2 为右焦点 若 F1PF2 60 则椭圆的离心率为 A B C D 2 2 3 3 1 2 1 3 答案 B 解析 把x c代入椭圆方程可得yc b2 a PF1 PF2 b2 a 2b2 a 故 PF1 PF2 2a 即 3b2 2a2 3b2 a 又 a2 b2 c2 3 a2 c2 2a2 2 即e c a 1 3 3 3 8 已知点P是椭圆 1 在第三象限内一点 且它与两焦点连线互相垂直 若点P x2 45 y2 20 到直线 4x 3y 2m 1 0 的距离不大于 3 则实数m的取值范围是 A 7 8 B 9 2 21 2 C 2 2 D 7 8 答案 A 解析 椭圆 1 的两焦点坐标分别为F1 5 0 F2 5 0 设椭圆上点P x y x2 45 y2 20 x 0 yb 0 的离心率为e 右焦点为F c 0 方程ax2 bx c 0 x2 a2 y2 b2 1 2 的两个实根分别为x1和x2 则点P x1 x2 A 必在圆x2 y2 2 上 B 必在圆x2 y2 2 外 C 必在圆x2 y2 2 内 4 D 以上三种情形都有可能 答案 C 解析 e c 1 2 c a 1 2 a 2 a2 b2 a2 1 4 b2 a2 3 4 b a b a 3 2 3 2 ax2 bx c 0 ax2 ax 0 3 2 a 2 x2 x 0 x1 x2 x1x2 3 2 1 2 3 2 1 2 x x x1 x2 2 2x1x2 1 2 2 12 2 3 4 7 4 在圆x2 y2 2 内 故选 C 10 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 满足 0 的点M总在椭圆内部 则椭圆离 MF1 MF2 心率的取值范围是 A 0 1 B 0 1 2 C 0 D 1 2 2 2 2 答案 C 解析 依题意得 c b 即c2 b2 c2 a2 c2 2c2 a2 故离心率e c a 2 2 又 0 e 1 0 eb 0 的焦距为 2c 以点O为圆心 x2 a2 y2 b2 a为半径作圆M 若过点P作圆M的两条切线互相垂直 则该椭圆的离心率为 a2 c 0 答案 2 2 解析 设切点为Q B 如图所示 切线QP PB互相垂直 又半径OQ垂直于QP 所 以 OPQ为等腰直角三角形 可得 5 a e 2 a2 c c a 2 2 12 若过椭圆 1 内一点 2 1 的弦被该点平分 则该弦所在直线的方程是 x2 16 y2 4 答案 x 2y 4 0 解析 设弦两端点A x1 y1 B x2 y2 则 1 1 两式相减并把 x2 1 16 y2 1 4 x2 2 16 y2 2 4 x1 x2 4 y1 y2 2 代入得 y1 y2 x1 x2 1 2 所求直线方程为y 1 x 2 1 2 即x 2y 4 0 13 设F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左右两个焦点 若椭圆C上的点 x2 a2 y2 b2 A 1 到F1 F2两点的距离之和为 4 则椭圆C的方程是 焦点坐标是 3 2 答案 1 1 0 x2 4 y2 3 解析 由 AF1 AF2 2a 4 得a 2 原方程化为 1 x2 4 y2 b2 将A 1 代入方程得b2 3 3 2 椭圆方程为 1 焦点坐标为 1 0 x2 4 y2 3 14 如图所示 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 22 米 要求通行车辆限高 4 5 米 隧道全长 2 5 千米 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 若最大拱高h为 6 米 则隧道设计的拱宽l约为 精确到 0 1 米 答案 33 3 米 6 解析 如图所示 建立直角坐标系 则点P 11 4 5 椭圆方程为 1 x2 a2 y2 b2 将b h 6 与点P坐标代入椭圆方程 得a 44 7 7 此时l 2a 33 3 88 7 7 因此隧道的拱宽约为 33 3 米 三 解答题 15 2010 北京文 19 已知椭圆C的左 右焦点坐标分别是 0 0 离 22 心率是 直经y t与椭圆C交于不同的两点M N 以线段MN为直径作圆P 圆心为P 6 3 1 求椭圆C的方程 2 若圆P与x轴相切 求圆心P的坐标 分析 本题考查了圆和椭圆的标准方程 以及放缩法和三角换元在求最值中的应用 解析 1 且c a b 1 c a 6 323 椭圆c的方程为 y2 1 x2 3 2 由题意知点P 0 t 1 t0 b 0 a b 欲求椭圆方程 需求a b 为此需要得到关于a b的两个方 程 由OM的斜率为 OA OB易得a b的两个方程 2 2 解析 设A x1 y1 B x2 y2 M 由Error x1 x2 2 y1 y2 2 a b x2 2bx b 1 0 1 x1 x2 2 b a b y1 y2 2 x1 x2 2 a a b M kOM b a b a b a a b 2 22 OA OB 1 x1x2 y1y2 0 y1 x1 y2 x2 x1x2 b 1 a b y1y2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1x2 1 2b a b b 1 a b a 1 a b 0 a b 2 b 1 a b a 1 a b 由 得a 2 1 b 2 2 22 所求方程为 2 1 x2 2 2 y2 1 22 点评 直线与椭圆相交的问题 通常采取设而不求 即设出A x1 y1 B x2 y2 但不是真的求出x1 y1 x2 y2 而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题 由 OA OB得x1x2 y1y2 0 是解决本题的关键 17 A B是两定点 且 AB 2 动点M到A的距离为 4 线段MB的垂直平分线l交MA 于P 1 求点P的轨迹方程 2 若点P到A B两点的距离之积为m 当m取最大值时 求P的坐标 解析 1 以直线AB为x轴 AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 则A 1 0 B 1 0 l为MB的垂直平分线 PM PB PA PB PA PM 4 点P的轨迹是以A B为两个焦点 长轴长为 4 的椭圆 其方程为 1 x2 4 y2 3 8 2 m PA PB 2 4 PA PB 2 当且仅当 PA PB 时 m最大 这时P的坐标 0 或 0 33 18 已知A 4 0 B 2 2 是椭圆 1 内的两个点 M是椭圆上的动点 求 x2 25 y2 9 MA MB 的最大值和最小值 解析 如下图所示 由 1 得a 5 b 3 c 4 x2 25 y2 9 所以点A 4 0 为椭圆一个焦点 记另