江苏省赣马高级中学10-11学年高一数学 对数函数（3）导学案 苏教版

用心 爱心 专心 1 赣马高级中学赣马高级中学 20102010 级高一数学对数函数 级高一数学对数函数 3 3 导学案 导学案 学习导航学习导航 学习目标学习目标 1 会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域 值域和单调性等 2 能熟练地运用对数函数的性质解题 3 提高学生分析问题和解决问题的能力 新课导学新课导学 1 函数 3 log 2 yx 的图象是由函数 3 logyx 的图象 2 函数 3 log 2 3yx 的图象是由函数 3 logyx 的图象 得到 3 函数log a yxbc 0 1aa 的图象是由函数logayx 的图象当 0 0bc 时先向 平移 个单位 再向 平移 个单位得到 当0 0bc 时先向 平移 个单位 再向 平移 个单位得到 当0 0bc 时先向 平移 个单位 再向 平移 个单位得到 当0 0bc 时先向 平移 个单位 再向 平移 个 单位得到 4 说明 上述变换称为 yf xyf xab 互动探究互动探究 例例 1 1 讨论函数lg 1 lg 1 yxx 的奇偶性与单调性 用心 爱心 专心 2 例例 2 2 1 求函数 2 1 3 2log 32 yxx 的单调区间 2 若函数 2 2 log yxaxa 在区间 13 上是增函数 a的取值范围 例例 3 3 已知x满足 2 0 50 5 2 log 7log30 xx 求函数 22 log log 24 xx f x 的最值 例例 4 4 若方程 2 lg lg 4axax 的所有解都大于 1 求a的取值范围 分析 由对数函数的性质 方程可变形为关于lg x的一元二次方程 化归为一元二次方程解 的讨论 用心 爱心 专心 3 迁移应用迁移应用 1 函数 2 lg 2 yxx 的定义域 是 值域是 单调增区间是 2 求函数 2 11 44 loglog5 2 4 yxxx 的最小值和最大值 3 已知方程 lg 1 lg 3 lg xxax 1 若方程有且只有一个根 求a的取值范围 2 若方程无实数根 求a的取值范围 答案 例例 1 1 讨论函数lg 1 lg 1 yxx 的奇偶性与单调性 用心 爱心 专心 4 解解 由题意可知 10 10 x x 解得 11x 定义域为 1 1 又 lg 1 lg 1 fxxxf x f x 为偶函数 2 lg 1 lg 1 lg 1 1 lg 1 f xxxxxx 1 1 x 证明 在 1 0 是任取 12 10 xx 令 2 1tx 1 0 x 则 0 1 t 2 11 1tx 2 22 1tx 12 tt 22 12 1 1 xx 2112 xxxx 12 10 xx 2112 0 0 xxxx 12 0tt 即 12 tt 又 lgyh tt 在 0 1 上是增函数 12 lglgtt 即 12 f xf x lg 1 lg 1 yxx 在 1 0 上单调递增 同理可证 lg 1 lg 1 yxx 在 0 1 上单调递减 点评 判断函数奇偶性 必须先求出定义域 单调性的判断在定义域内用定义判断 例例 2 2 1 求函数 2 1 3 2log 32 yxx 的单调区间 2 若函数 2 2 log yxaxa 在区间 13 上是增函数 a的取值范围 解解 1 令 22 31 32 24 uxxx 在 3 2 上递增 在 3 2 上递减 又 2 320 xx 2x 或1x 故 2 32uxx 在 2 上递增 在 1 上递减 又 1 3 2logyu 为减函数 所以 函数 2 1 3 2log 32 yxx 在 2 上递增 在 1 上递减 2 令 2 ug xxaxa 函数 2 logyu 为减函数 2 ug xxaxa 在区间 13 上递减 且满足0u 13 2 13 0 a g 解得 22 32a 所以 a的取值范围为 22 3 2 点评 利用对数函数性质判断函数单调性时 首先要考察函数的定义域 再利用复合函数单 调性的判断方法来求单调区间 例例 3 3 已知x满足 用心 爱心 专心 5 2 0 50 5 2 log 7log30 xx 求函数 22 log log 24 xx f x 的最值 解解 由题意 2 0 50 5 2 log 7log30 xx 可转化为 0 50 5 log3 2log1 0 xx 将 0 5 logx看作整体 解得 0 5 1 3log 2 x 即 1 3 2 0 50 50 5 log0 5loglog0 5x 所以28x 22 log log 24 xx f x 22 log1 log2 xx 2 22 log 3log2 2 8 xxx 令 2 logtg xx 2 8 x 则 1 3 2 t 则 2 32 yh ttt 1 3 2 t 所以 min 31 24 yh max 3 2yh 点评 利用函数的单调性求函数最值 或值域 是求函数最值 或值域 的主要方法之一 本题首先要根据条件求出x的取值范围 体现了整体思想方法 然后转化为二次函数 体现 了化归的思想方法 换元法的使用是实现化归思想的一种手段 也是化归的一个过程 追踪训练一 2 函数 2 lg 2 yxx 的定义域 是 0 2 值域是 0 单调增区间是 0 1 2 求函数 2 11 44 loglog5 2 4 yxxx 的最小值和最大值 答案 1 定义域 0 2 值域 0 单调增区间 0 1 2 最小值 23 4 最大值 7 例 4 若方程 2 lg lg 4axax 的所有解都大于 1 求a的取值范围 用心 爱心 专心 6 分析 由对数函数的性质 方程可变形为关于lg x的一元二次方程 化归为一元二次方程解 的讨论 解解 原方程可化为 lglg lg2lg 4xaax 即 22 2lg3lg lglg40 xaxa 令lgtx 则方程等价于 22 23lglg40 ta ta 若原方程的所有解都大于 1 则方程 的所有解都大于 0 则 2 22 3 lg0 2 1 lg4 0 2 3lg 4 2 lg4 0 a a aa 解得 1 0 100 a 1 有关对数方程解的情况讨论 通常是利用换元法 将方程转化为一元一次或一元二次 方程解的讨论 如果是方程解的个数问题 又可以用函数的图象求解