高三极坐标与参数方程综合练习题

1 高三极坐标与参数方程综合练习题 1 2016 全国 23 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 6 2 y2 25 1 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 2 直线 l 的参数方程是 t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 x tcos y tsin AB 求 l 的斜率 10 2 2015 全国 23 在直角坐标系 xOy 中 直线 C1 x 2 圆 C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求 C1 C2的极坐标方程 2 若直线 C3的极坐标方程为 R 设 C2与 C3的交点为 M N 求 4 C2MN 的面积 3 2016 全国 23 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 以 x 轴的正半轴为极轴 建立 x 3cos y sin 极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 sin 2 4 2 1 写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标系方程 2 设点 P 在 C1上 点 Q 在 C2上 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 2 4 2014 辽宁 23 将圆 x2 y2 1 上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来 的 2 倍 得曲线 C 1 写出 C 的参数方程 2 设 l 2x y 2 0 与 C 的交点为 P1 P2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 5 2015 湖南 16 已知直线 l t 为参数 以坐标原点为极点 x 5 3 2 t y 3 1 2t x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 1 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 设点 M 的直角坐标为 5 l 与曲线 C 的交点为 A B 求 MA MB 的值 3 6 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 若以直角坐标系 xOy 的 O 点 x 1 2t y 2 2 3 2 t 为极点 Ox 方向为极轴 选择相同的长度单位建立极坐标系 得曲线 C 的极 坐标方程为 2cos 4 1 求直线 l 的倾斜角 2 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求 AB 3 7 2016 高考全国模拟一 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 为参数 倾斜角 的直线 l 经过点 P 1 2 x 4cos y 4sin 6 1 写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程 2 设直线 l 与圆 C 相交于 A B 两点 求 PA PB 的值 8 2016 南昌模拟 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处 极轴与 x 轴 的非负半轴重合 且长度单位相同 直线 l 的极坐标方程为 sin 10 曲线 C 为参数 其中 0 2 2 4 x 2cos y 2 2sin 1 试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程 2 若点 P 为曲线 C 上的动点 求点 P 到直线 l 距离的最大值 9 2014 全国 卷 已知曲线 C 1 直线 l t 为参数 x2 4 y2 9 x 2 t y 2 2t 1 写出曲线 C 的参数方程 直线 l 的普通方程 2 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线 交 l 于点 A 求 PA 的最大 值与最小值 10 2017 全国 卷 在直角坐标系 xOy 中 直线 l1的参数方程为 t 为 x 2 t y kt 4 参数 直线 l2的参数方程为 m 为参数 设 l1与 l2的交点为 P x 2 m y m k 当 k 变化时 P 的轨迹为曲线 C 1 写出 C 的普通方程 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设 l3 cos sin 0 M 为与 C 的交点 求 M 的极径 2 11 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 C 的极 坐标方程为 4cos 曲线 M 的直角坐标方程为 x 2y 2 0 x 0 1 以曲线 M 上的点与点 O 连线的斜率 k 为参数 写出曲线 M 的参数方程 2 设曲线 C 与曲线 M 的两个交点为 A B 求直线 OA 与直线 OB 的斜率之和 12 在直角坐标系中 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 6sin 0 直线 l 的参数方程为 1 t 为参数 x 3 1 2t y 3 3 2 t 1 求曲线 C 的普通方程 2 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 点 P 的坐标为 3 3 求 PA PB 的值 高三极坐标与参数方程综合练习题参考答案 5 1 解 1 由 x cos y sin 可得圆 C 的极坐标方程 2 12 cos 11 0 2 在 1 中建立的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 R 设 A B 所对应的极径分别为 1 2 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程 得 2 12 cos 11 0 于是 1 2 12cos 1 2 11 AB 1 2 1 2 2 4 1 2144cos2 44 由 AB 得 cos2 tan 10 3 8 15 3 所以 l 的斜率为或 15 3 15 3 2 解 1 因为 x cos y sin 所以 C1的极坐标方程为 cos 2 C2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 42 解得 1 2 2 故 1 2 即 MN 2222 由于 C2的半径为 1 所以 C2MN 为等腰直角三角形 所以 C2MN 的面积为 1 2 3 解 1 C1的普通方程为 y2 1 C2的直角坐标方程为 x y 4 0 x2 3 2 由题意 可设点 P 的直角坐标为 cos sin 3 因为 C2是直线 所以 PQ 的最小值即为 P 到 C2距离 d 的最小值 d 3cos sin 4 22 sin 3 2 当且仅当 2k k Z 时 d 取得最小值 最小值为 此时 P 的 62 直角坐标为 3 2 1 2 4 解 1 设 x1 y1 为圆上的点 在已知变换下变为 C 上点 x y 6 依题意 得由 x y 1 得 x2 1 x x1 y 2y1 2 12 1 y 2 2 即曲线 C 的方程为 x2 1 故 C 的参数方程为 t 为参数 y2 4 x cos t y 2sin t 2 由解得 或 x2 y2 4 1 2x y 2 0 x 1 y 0 x 0 y 2 不妨设 P1 1 0 P2 0 2 则线段 P1P2的中点坐标为 所求直线斜 1 2 1 率为 k 于是所求直线方程为 y 1 化为极坐标方程 并整理 1 2 1 2 x 1 2 得 2 cos 4 sin 3 即 3 4sin 2cos 5 解 1 2cos 等价于 2 2 cos 将 2 x2 y2 cos x 代入 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 2 将代入 式 得 t2 5t 18 0 x 5 3 2 t y 3 1 2t 3 设这个方程的两个实根分别为 t1 t2 则由参数 t 的几何意义即知 MA MB t1t2 18 6 解 1 直线的参数方程可以化为 x tcos 60 y 2 2 tsin 60 根据直线参数方程的意义 直线 l 经过点 倾斜角为 60 0 2 2 2 直线 l 的直角坐标方程为 y x 3 2 2 2cos的直角坐标方程为 1 4 x 2 2 2 y 2 2 2 7 所以圆心到直线 l 的距离 d 所以 AB 2 2 2 2 6 4 10 2 7 解 1 消去 得圆的标准方程为 x2 y2 16 直线 l 的参数方程为即 t 为参数 x 1 tcos 6 y 2 tsin 6 x 1 3 2 t y 2 1 2t 2 把直线 l 的方程代入 x2 y2 16 得 16 x 1 3 2 t y 2 1 2t 1 3 2 t 2 2 1 2t 2 即 t2 2 t 11 0 3 所以 t1 t2 11 即 PA PB 11 8 解 1 sin 10 sin cos 10 直线 l 的直角坐标 2 4 方程 x y 10 0 由曲线 C 为参数 得曲线 C x2 y 2 2 4 x 2cos y 2 2sin 2 由 1 可知 x2 y 2 2 4 的圆心 0 2 半径为 2 圆心到直线的距离为 d 4 点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 1 0 1 2 10 12 1 222 9 解 1 曲线 C 的参数方程为 为参数 x 2cos y 3sin 直线 l 的普通方程为 2x y 6 0 2 曲线 C 上任意一点 P 2cos 3sin 到 l 的距离为 d 4cos 3sin 6 5 5 则 PA 5sin 6 其中 为锐角 且 tan d sin 30 2 5 5 4 3 当 sin 1 时 PA 取得最大值 最大值为 22 5 5 当 sin 1 时 PA 取得最小值 最小值为 2 5 5 10 解 1 由 l1 t 为参数 消去 t 化为 l1的普通方程 y k x 2 x 2 t y kt 同理得直线 l2的普通方程为 x 2 ky 联立 消去 k 得 x2 y2 4 y 0 8 所以 C 的普通方程为 x2 y2 4 y 0 2 将直线 l3化为普通方程为 x y 2 联立得 x y 2 x2 y2 4 x 3 2 2 y 2 2 2 x2 y2 5 与 C 的交点 M 的极径为 18 4 2 45 11 解 1 由得 x 2y 2 0 x 0 y kx x 2 2k 1 y 2k 2k 1 故曲线 M 的参数方程为 x 2 2k 1 y 2k 2k 1 k为参数 且k 1 2 2 由 4cos 得 2 4 cos x2 y2 4x 将代入 x2 y2 4x 整理得 k2 4k 3 0 k1 k2 4 x 2 2k 1 y 2k 2k 1 故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 4 12 解 1 曲线 C 的极