2012届高考物理第一轮考点复习 （1）万有引力定律及应用学习、解析+练习

用心 爱心 专心 1 万有引力定律及应用 内容分析 万有引力定律及应用 内容分析 基础知识 一 开普勒运动定律 1 开普勒第一定律 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦 点上 2 开普勒第二定律 对于每一个行星而言 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积 相等 3 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相 等 二二 万有引力定律万有引力定律 1 内容 宇宙间的一切物体都是互相吸引的 两个物体间的引力大小 跟它们的质量的乘 积成正比 跟它们的距离的平方成反比 2 公式 F G 2 21 r mm 其中 2211 1067 6kgmNG 称为为有引力恒量 3 适用条件 严格地说公式只适用于质点间的相互作用 当两个物体间的距离远远大于物 体本身的大小时 公式也可近似使用 但此时 r 应为两物体重心间的距离 对于均匀的球体 r 是两球心间的距离 注意 注意 万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来 是自然界中最普遍的规律之一 式中引力恒量 G 的物理意义是 G 在数值上等于质量均为 1 千克的两个质点相距 1 米时相互 作用的万有引力 三 万有引力和重力三 万有引力和重力 重力是万有引力产生的 由于地球的自转 因而地球表面的物体随地球自转时需要向心 力 重力实际上是万有引力的一个分力 另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力 如图所示 由于纬度的变化 物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化 因而表面物体的重力 随纬度的变化而变化 即重力加速度 g 随纬度变化而变化 从赤道到两极逐渐增大 通常的 计算中因重力和万有引力相差不大 而认为两者相等 即 m2g G 2 21 r mm g GM r2常用来计算 星球表面重力加速度的大小 在地球的同一纬度处 g 随物体离地面高度的增 大而减小 即 gh GM r h 2 比较得 gh hr r 2 g 在赤道处 物体的万有引力分解为两个分力 F向和 m2g 刚好在一条直线上 则有 F F向 m2g 所以 m2g F 一 F向 G 2 21 r mm m2R 自2 因地球目转角速度很小 G 2 21 r mm m2R 自2 所以 m2g G 2 21 r mm 假设地球自转加快 即 自变大 由 m2g G 2 21 r mm m2R 自2知物体的重力将变小 当 G 2 21 r mm m2R 自2时 m2g 0 此时地球上物体无重力 但是它要求地球自转的角速度 自 1 3 Gm R 比现在地球自转角速度要大得多 用心 爱心 专心 2 四四 天体表面重力加速度问题天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g 天体半径为 R 由 mg 2 Mm G R 得 g 2 M G R 由此推得两个不同天体 表面重力加速度的关系为 2 121 2 212 gRM gRM 五 天体质量和密度的计算五 天体质量和密度的计算 原理 天体对它的卫星 或行星 的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力 G 2 r mM m 2 2 4 T r 由此可得 M 2 32 4 GT r V M 3 3 4 R M 32 2 3 RGT r R 为行星的半径 由上式可知 只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T 就可以算出 天体的质量 M 若知道行星的半径则可得行星的密度 规律方法 1 1 万有引力定律的基本应用 万有引力定律的基本应用 例例 1 1 如图所示 在一个半径为 R 质量为 M 的均匀球体中 紧贴球的边缘挖去一个半径 为 R 2 的球形空穴后 对位于球心和空穴中心连线上 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 分析分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可 得解 得解 解解 完整的均质球体对球外质点 m 的引力 这个引力可以看成是 m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1与半径为 R 2 的小球对质点 的引力 F2之和 即 F F1 F2 因半径为 R 2 的小球质量 M 为 M R MRR M 8 1 3 4 23 4 23 4 3 33 则 2 2 2 2 82 Rd Mm G Rd mM GF 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力 2 2 21 2 8Rd Mm G d Mm GFFF 22 22 2 8 287 Rdd RdRd GMm 说明说明 1 有部分同学认为 如果先设法求出挖去球穴后的重心位置 然后把剩余部分的 质量集中于这个重心上 应用万有引力公式求解 这是不正确的 万有引力存在于宇宙间任 何两个物体之间 但计算万有引力的简单公式 2 r Mm GF 却只能适用于两个质点或均匀球体 挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了 不能直接使用这个公式计算引力 2 如果题中的球穴挖在大球的正中央 根据同样道理可得剩余 部分对球外质点 m 的引力 2222 2 21 8 78 d Mm G d mM G d Mm G d mM G d Mm GFFF 上式表明 一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量 7M 8 集中于球心时对质点的 用心 爱心 专心 3 引力一样 例 2 某物体在地面上受到的重力为 160 N 将它放置在卫星中 在卫星以加速度 a g 随火箭加速上升的过程中 当物体与卫星中的支持物的相互压力为 90 N 时 求此时卫星距 地球表面有多远 地球半径 R 6 4 103km g 取 10m s2 解析 设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h 火箭上物体受到的支持力为 N 物体受到的 重力为 mg 据牛顿第二定律 N mg ma 在 h 高处 mg 2hR Mm G 在地球表面处 mg 2 R Mm G 把 代入 得 ma Rh mgR N 2 2 1 maN mg Rh 1 92 104 km 说明 在本问题中 牢记基本思路 一是万有引力提供向心力 二是重力约等于万有引力 例 3 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度 已知该单摆在海平面处的 周期是 T0 当气球停在某一高度时 测得该单摆周期为 T 求该气球此时离海平面的高度 h 把地球看作质量均匀分布的半径为 R 的球体 解析 根据单摆周期公式 2 0 0 g L T 2 g L T 其中 l 是单摆长度 g0和 g 分别是两地 点的重力加速度 根据万有引力公式得 2 0 R M Gg 2 hR M Gg 其中 G 是引力常数 M 是地 球质量 由以上各式解得R T T h 1 0 例例 4 4 登月火箭关闭发动机在离月球表面 112 km 的空中沿圆形轨道运动 周期是 120 5 min 月球的半径是 1740 km 根据这组数据计算月球的质量和平均密度 解析 设月球半径为 R 月球质量为 M 月球密度为 登月火箭轨道离月球表面为 h 运 动周期为 T 火箭质量为 m 由 GMm r2 m4 2r T2得 M 4 2r3 GT2 M V 其中 V 4 2R3 3 则 F向 m 2r m4 2 R h T2 F引 GMm R h 2 火箭沿轨道运行时有 F引 F 向 即 GMm R h 2 m4 2 R h T2 故 M 4 2 R h 3 GT2 2 7 2 1022kg 3M 4 R3 3 26 103kg m3 例例 5 5 已知火星上大气压是地球的 1 200 火星直径约为球直径的一半 地球平均密度 地 5 5 103kg m3 火星平均密度 火 4 103kg m3 试求火星上大气质量与地球大气质量之 比 分析分析 包围天体的大气被吸向天体的力 就是作用在整个天体表面 把它看成平面时 的包围天体的大气被吸向天体的力 就是作用在整个天体表面 把它看成平面时 的 大气压力 利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比 即可算出它们的大气质量大气压力 利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比 即可算出它们的大气质量 之比 之比 解解 设火星和地球上的大气质量 重力加速度分别为 m火 g火 m地 g地 火星和地球上的 大气压分别为 R gm p 2 4 火 火火 火 R gm p 2 4 地 地地 地 据万有引力公式 火星和地球上的重力加速度分别 为 R M Gg 2 火 火 火 用心 爱心 专心 4 R M Gg 2 地 地 地 地 地地 火 火火 式中 33 3 4 3 4 R MRM 综合上述三式得 火 地 火 地 地 火 地 火 R R P P m m 3 104 3 4 5 5 2 1 200 1 例例 6 6 一个宇航员在半径为 R 的星球上以初速度 v0竖直上抛一物体 经 ts 后物体落回宇 航员手中 为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面 抛出时的速度至少为多少 解析 解析 物体抛出后 受恒定的星球引力作用 做匀减速运动 遵循着在地面上竖直上抛时的 同样规律 设星球对物体产生的 重力加速度 为 gx 则由竖直上抛运动的公式得 为使物体抛出后不再落回星球表面 应使它所受到的星球引力正好等于 物体所需的向心力 即成为卫星发射了出去 t Rv Rgv xx 0 2 得 这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇 宙速度 例 7 在 勇气 号火星探测器着陆的最后阶段 着陆器降落到火星表面上 再经过多次 弹跳才停下来 假设着陆器第一次落到火星表面弹起后 到达最高点时高度为 h 速度方向是水平的 速度 大小为 v0 求它第二次落到火星表面时速度的大小 计算时不计大气阻力 已知火星的一个 卫星的圆轨道半径为 r 周期为 T 火星可视为半径为 r0的均匀球体 分析 第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛 在最高点由于只有水平速度故分析 第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛 在最高点由于只有水平速度故 将做平抛运动 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 无论是竖直上抛还是平抛的计算 将做平抛运动 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 无论是竖直上抛还是平抛的计算 均要知道火星表面的重力加速度均要知道火星表面的重力加速度 g g 利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 g g 解 设火星的一个卫星质量为 m 任一物体的质量为 m 在火星表面的重力加速度为 g 火 星的质量为 M 任一物体在火星表面有 2 0 gm r Mm G 火星的卫星应满足 r T m r Mm G 2 2 2 第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足 v12 2g h 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理 2 0 2 1 vvv 由以上 4 式可解得 2 0 2 0 2 32 8 v rT hr v 2 2 讨论天体运动规律的基本思路 讨论天体运动规律的基本思路 基本方法 把天体的运动看成是匀速圆周运动 其所需向心力由万有引力提供 rfm T mrm r v m r Mm G 2 2 2 2 2 2 2 例 8 2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星 其定点位置与东经 980的经线在同一平 用心 爱心 专心 5 面内 若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经 980和北纬 400 已知地球半径 R 地球自转周期 T 地球表面重力加速度 g 视为常数 和光速 c 试求该同步卫星发出的微波 信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间 要求用题给的已知量的符号表示 解析 设 m 为卫星质量 M 为地球质量 r 为卫星到地 球中心的距离 为卫星绕地心转动的角速度 由万 有引力定律和牛顿定律有 2 2 mr r Mm G 式中 G 为万 有引力恒量 因同步卫星绕地心转动的角速度 与地 球自转的角速度相等 有 2 T 因mg R Mm G 2 得 GM gR2 设嘉峪关到同步卫星的距离为 L 如图所示 由余弦定律得 cos2 22 rRRrL 所求的时间为 t L c 由以上各式得 c gTR RR gTR t 3 22 2 3 2 22 4 cos2 4 例 9 在天体运动中 将两颗彼此相距较近的行星称为双星 它 们在相互的万有引力作用下间距保持不变 并沿半径不同的同心圆 轨道做匀速圆周运动 如果双星间距为 L 质量分别为 M1 和 M2 试计算 1 双星的轨道半径 2 双星的运行周期 3 双 星的线速度 解析 因为双星受到同样大小的万有引力作用 且保持距离不变 因为双星受到同样大小的万有引力作用 且保持距离不变 绕同一圆心做匀速圆周运动 所以具有周期 频率和角速度均相同 绕同一圆心做匀速圆周运动 所以具有周期 频率和角速度均相同 而轨道半径 线速度不同的特点 而轨道半径 线速度不同的特点 1 根据万有引力定律 212 2 21 2 1 RRLRMRMF 及 可得 L MM M L MM M R 21 1 2 21 2 1 2 同理 还有 2 2 21 2 1 2 21 22 R T MR T M L MM G 所以 周期为 211 2 22 2 1 22 2 44 MMG L L GM RL GM RL T 3 根据线速度公式 21 2 1 1 2 MML G M T R v 21 1 2 2 2 MML G M T R v 例 10 兴趣小组成员共同协作 完成了下面的两个实验 当飞船停留在距 X 星球一定高 度的 P 点时 正对着 X 星球发射一个激光脉冲 经时间 t1后收到反射回来的信号 此时观察 X 星球的视角为 如图所示 当飞船在 X 星球表面着陆后 把一个弹射器固定在星球表 面上 竖直向上弹射一个小球 经测定小球从弹射到落回的时间为 t2 已知用上述弹射器在地球上做同样实验时 小球在空中运动的时间为 t 又已知地球表 面重力加速度为 g 万有引力常量为 G 光速为 c 地球和 X 星球的自转以及它们对物体的大 用心 爱心 专心 6 气阻力均可不计 试根据以上信息 求 1 X 星球的半径 R 2 X 星球的质量 M 3 X 星球的第一宇宙速度 v 4 在 X 星球发射的卫星的最小周期 T 解析 1 由题设中图示可知 R c