江西省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 理

1 专题三专题三 三角函数及解三角形第三角函数及解三角形第 1 1 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 真题试做真题试做 1 2012 湖南高考 理 6 函数f x sin x cos的值域为 x 6 A 2 2 B 33 C 1 1 D 3 2 3 2 2 2012 大纲全国高考 理 14 当函数y sin x cos x 0 x 2 取得最大值时 3 x 3 2012 山东高考 理 17 已知向量m m sin x 1 n n A 0 3Acos x A 2cos 2x 函数f x m m n n的最大值为 6 1 求A 2 将函数y f x 的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 的 倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 在上的值域 1 2 0 5 24 4 2012 重庆高考 理 18 设f x 4cossin x cos 2 x 其中 x 6 0 1 求函数y f x 的值域 2 若f x 在区间上为增函数 求 的最大值 3 2 2 考向分析考向分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容 主要从以下三个方面进行考查 1 三角函数的概念与诱导公式 主要以选择 填空题的形式为主 2 三角函数的图象 主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题 主要以 选择 填空题的形式考查 有时也会出现大题 3 三角函数的性质 通常是给出函数解析式 先进行三角变换 将其转化为 y Asin x 的形式再研究其性质 或知道某三角函数的图象或性质求其解析式 再研 究其他性质 既有直接考查的客观题 也有综合考查的主观题 热点例析热点例析 热点一 三角函数的概念 例 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则 cos 2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 规律方法规律方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时 通常先根据任意 角三角函数的定义求这个角的三角函数 特别提醒 1 当角的终边经过的点不固定时 需要进行分类讨论 特别是当角的终边 在过坐标原点的一条直线上时 根据定义求三角函数值时 要把这条直线看做两条射线 分 别求解 2 在利用诱导公式和同角三角函数关系式时 一定要特别注意符号 一定要理解 奇 变偶不变 符号看象限 的意思 同角三角函数的平方关系中 开方后的符号要根据角所在 的象限确定 变式训练变式训练 1 1 2012 福建莆田高三质检 11 已知角 的顶点在坐标原点 始边与x轴 2 的正半轴重合 终边与单位圆交点的横坐标是 若 0 则 tan 3 5 热点二 三角函数图象及解析式 如图 根据函数的图象 求函数y Asin x A 0 0 的解析 式 规律方法规律方法 由部分图象确定函数解析式问题解决的关键在于确定参数A 其基本 方法是在观察图象的基础上 利用待定系数法求解 若设所求解析式为y Asin x 则在观察图象的基础上 可按以下规律来确定A 1 一般可由图象上的最大值 最 小值来确定 A 或代入点的坐标解关于A的方程 2 因为T 所以往往通过求周期 2 T来确定 可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T 或者相邻的两个最高点与最低点之间 的距离为 相邻的两个最高点 或最低点 之间的距离为T 3 从寻找五点法中的第一零点 T 2 也叫初始点 作为突破口 要从图象的升降情况找准第一零点的位置 或者在五点中找两个 特殊点列方程组解出 4 代入点的坐标 通过解三角方程 再结合图象确定 特别提醒 求y Asin x 的解析式 最难的是求 第一零点常常用来求 只要找准第一零点的横坐标 列方程就能求出 若对A 的符号或对 的范围有要求 可用诱导公式变换 使其符合要求 变式训练变式训练 2 2 2012 福建泉州质检 8 下图所示的是函数y Asin x A 0 0 图象的一部分 则其函数解析式是 A y sin B y sin x 3 x 3 C y sin D y sin 2x 6 2x 6 热点三 三角函数图象变换 例 3 2012 四川绵阳高三三诊 10 已知函数f x Asin x 在一个周期内的图 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 示 1 求函数f x 的解析式 2 当x 时 求函数y f x f x 2 的最大值与最小值及相应的x的值 6 2 3 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做真题试做 1 B 解析 解析 f x sin x cos x 6 sin x 3 2 cos x 1 2sin x sin x cos x 3 2 3 2 3 3 2 sin x 1 2cos x sin 3 x 6 33 故选 B 2 解析解析 y sin x cos x 5 63 2 2sin 1 2sin x 3 2 cos x x 3 当y取最大值时 x 2k 3 2 x 2k 5 6 又 0 x 2 x 5 6 3 解解 1 f x m m n n Asin xcos x cos 2x 3 A 2 A 3 2 sin 2x 1 2cos 2x Asin 2x 6 7 因为A 0 由题意知A 6 2 由 1 f x 6sin 2x 6 将函数y f x 的图象向左平移个单位后得到 12 y 6sin 2 126 x 6sin的图象 2x 3 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍 纵坐标不变 得到y 6sin的图 1 2 4x 3 象 因此g x 6sin 4x 3 因为x 5 0 24 所以 4x 3 7 36 故g x 在上的值域为 3 6 5 0 24 4 解 解 1 f x 4sin x cos 2 x 3 2 cos x 1 2sin x 2sin xcos x 2sin2 x cos2 x sin2 x 3 sin 2 x 1 3 因 1 sin 2 x 1 所以函数y f x 的值域为 1 1 33 2 因y sin x在每个闭区间 k Z Z 上为增函数 故f x sin 2 2 22 kk 3 2 x 1 0 在每个闭区间 k Z Z 上为增函数 44 kk 依题意知 对某个k Z Z 成立 此时必有k 0 于是 3 22 44 kk Error 解得 故 的最大值为 1 6 1 6 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 B 解析 解析 方法 1 在角 终边上任取一点P a 2a a 0 则r2 OP 2 a2 2a 2 5a2 cos 2 a2 5a2 1 5 cos 2 2cos 2 1 1 2 5 3 5 方法 2 由方法 1 知 tan 2 cos 2 2a a cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 变式训练 1 解析 解析 由三角函数定义可知 cos 4 3 3 5 8 又 0 sin 1 cos2 4 5 所以 tan sin cos 4 3 例 2 解 解 由图象可知A 2 T 2 6 2 16 即 16 3 2 y 2sin 83 8 x 又 点 2 2 在曲线上 代入得 3 2sin 2 3 8 2 3 sin 1 4 2k 4 2 2k k Z Z 3 4 又 k 0 时 3 4 函数解析式为y 2sin 3 8 x 3 4 变式训练 2 A 解析 解析 由图象可知A 1 T 4 6 3 2 T 2 1 2 T 又可看做 五点法 作图的第二个点 6 1 6 2 y sin 3 x 3 例 3 B 解析 解析 由题中图象可知A 1 T 4 12 6 4 T 2 2 T 又可看做 五点法 作图的第二个点 12 1 6 2 3 y sin 2x 3 由函数y cos x的图象 纵坐标不变 上各点的横坐标缩短到原来的 倍 可得y cos 1 2 2x的图象 再向右平移个单位可得y cos2 cos cos 12 x 12 2x 6 6 2x sin的图象 sin2 26 x 2x 3 变式训练 3 A 9 解析 解析 y cos sin sin2 故需将y sin 2x的图象向左 2x 3 2x 3 2 x 5 12 平移个单位长度 5 12 例 4 解 解 1 f x sin 1 2 2x 4 由 2k 2x 2k k Z Z 得 f x 的单调递增区间是 2 4 2 k Z Z 3 88 kk 2 由已知 g x sin 1 2 2x 4 由g x 1 得sin 0 2 2x 4 x k Z Z k 2 8 变式训练 4 解 解 1 由题可知 f x 4sin x cos 1 1 cos 22 x 2 x 2sin x 1 当 1 时 f x 2sin x 1 则函数f x 的最小正周期为 2 2 由 1 知 f x 2sin x 1 欲使f x 在上单调递增 结合y 2sin 2 23 x 1 的图象 则有 2 2 2 2344 于是 3 0 4 创新模拟 预测演练 1 D 解析 解析 函数y cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 x 3 得到y cos的图象 再向左平移个单位 得函数 cos 1 2x 3 6 1 cos 263 yx 的图象 令x k 即x 2k k Z Z 1 2x 4 1 2 4 2 令k 0 则x 2 2 A 解析 解析 由图象可知 T 4 3 12 4 T 2 2 又M N 0 12 A 7 12 A OM ON A2 0 12 7 12 A A 7 12 7 6 10 3 B 解析 解析 由f x sin x cos x sin 2 x 4 又最小正周期为 2 2 f x sin 2 2x 4 f x f x k k Z Z k k Z Z 4 2 4 由题意 4 f x sin cos 2x 2 2x 2 2 当 0 2x 即 0 x 时 f x 单调递减 2 当 2x 0 即 x 0 时 f x 单调递增 2 4 A 解析 解析 设题图中的最高点为P 根据已知的对称性和在x轴上的投影为可CD 12 知 在x轴上的投影也为 所以函数y sin x 的四分之一周期为BP 12 所以函数y sin x 的周期为 故 2 6 12 4 又 2 0 所以 故选 A 3 5 解析 解析 P 4m 3m m 0 2 5 r 5 m 4m 2 3m 2 由m 0 得r 5m sin cos 3m 5m 3 5 4m 5m 4 5 2sin cos 2 5 6 解析 解析 当 sin x cos x时 f x cos x 当 sin x cos x时 f x 2 1 2 sin x 同时画出y sin x与y cos x在一个周期内的图象 函数f x 的图象始终取 y sin x与y cos x两者下方的图象 结合图象可得f x 2 1 2 7 解 解 y a bcos 3x b 0 当 cos 3x 1 时 ymax a b 3 2 当 cos 3x 1 时 ymin a b 1 2 由 得Error y 4 sin 3x 2sin 3x 1 2 11 当