2012年高三数学第二轮复习讲义 导数及其应用 理

用心 爱心 专心 1 导数及其应用导数及其应用 类型一 没有其他未知字母情况下 求单调性 极值 最值类型一 没有其他未知字母情况下 求单调性 极值 最值 例例 1 1 设函数 32 91 0 f xxaxxa 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线 12x y 6 平行 求 a的值 函数f x 的单调区间 解 3 0 3 aaa 由题设所以 由 知 32 3 391 af xxxx 因此 2 12 3693 3 1 0 1 3 1 0 1 1 3 0 13 0 3 13 fxxxxx fxxx xfxf x xfxf x fxf x f x 令解得 当时 故在 上为增函数 当时 故在 上为减函数 当x 3 时 故在 上为增函数 由此可见 函数的单调递增区间为 和 单调递减区13 间为 变式训练变式训练 1 1 设函数 432 2 f xxaxxb x R 其中ab R 当 10 3 a 时 讨论函数 f x的单调性 若函数 f x仅在0 x 处有极值 求a的取值范围 解 322 434 434 fxxaxxxxax 当 10 3 a 时 2 4104 2 21 2 fxxxxxxx 令 0fx 解得 1 0 x 2 1 2 x 3 2x f x在 1 0 2 2 是增函数 在 0 1 2 2 内是减函数 解 2 434 fxxxax 显然0 x 不是方程 2 4340 xax 的根 为使 f x仅在0 x 处有极值 必须 2 4340 xax 恒成立 即有 2 9640a 解此不等式 得 88 33 a 这时 0 fb 是唯一极值 a的取值范围是 8 8 3 3 类型二 结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题类型二 结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题 例例 2 2 设a为实数 函数 32 f xxxxa 1 求 f x的极值 2 当a在什么范围内取值时 曲线 yf x 与x轴仅有一个交点 解 1 2 321fxxx 若 0fx 则 1 1 3 x 所以 f x的极大值是 15 327 fa 极小值是 1 1fa 2 函数 322 1 1 1f xxxxaxxa 由此可知x取足够大的正数时 有 0f x x取足够小的负数时 有 用心 爱心 专心 2 0f x 所以曲线 yf x 与x轴至少有一个交点 结合 f x的单调性可知 当 f x的极大值 5 0 27 a 即 5 27 a 时 它的极小值也 因此曲线 yf x 与x轴仅有一个交点 它在 1 上 当 f x的极小值10a 时 即 1 a 上时 它的极大值也小于 0 yf x 与x轴仅 一个交点 它在 1 3 上 当 5 1 27 a 时 yf x 与x轴仅有一个交点 变式训练变式训练 2 2 已知函数 432 19 42 f xxxxcx 有三个极值点 证明 275c 因为函数 432 19 42 f xxxxcx 有三个极值点 所以 32 390fxxxxc 有 三个互异的实根 设 32 39 g xxxxc 则 2 3693 3 1 g xxxxx 当3x 时 0 g x g x在 3 上为增函数 当31x 时 0 g x g x在 3 1 上为减函数 当1x 时 0 g x g x在 1 上为增函数 所以 g x在3x 时取极大值 在1x 时取极小值 当 3 0g 或 1 0g 时 0g x 最多只有两个不同实根 0g x 有三个不同实根 所以 3 0g 且 1 0g 即2727270c 且1 390c 解得27 c 且5 c 故275c 类型三 含字母时 对判别式进行分类讨论类型三 含字母时 对判别式进行分类讨论 例例 3 3 已知函数 32 1f xxaxx a R 1 讨论函数 f x的单调区间 2 设函数 f x在区间 21 33 内是减函数 求a的取值范围 解 1 32 1f xxaxx 求导得 2 321fxxax 当 2 3a 时 0 0fx f x在R上递增 当 2 3a 0fx 求得两根为 2 3 3 aa x 即 f x在 2 3 3 aa 递增 22 33 33 aaaa 递减 2 3 3 aa 递增 2 用心 爱心 专心 3 2 2 32 33 31 33 aa aa 且 2 3a 解得2a 变式训练变式训练 3 3 设函数 2 ln 1 f xxbx 其中0b I 当 1 2 b 时 判断函数 f x在定义域上的单调性 II 求函数 f x的极值点 高 考 资 源 网 wxc 解 I 函数 2 ln 1 f xxbx 的定义域为 1 2 22 2 11 bxxb fxx xx 高 考 资 源 网 wxc 令 2 22g xxxb 则 g x在 1 2 上递增 在 1 1 2 上递减 min 11 22 g xgb 当 1 2 b 时 min 1 0 2 g xb 2 220g xxxb 在 1 上恒成立 0 fx 即当 1 2 b 时 函数 f x在定义 域 1 上单调递增 II 分以下几种情形讨论 1 由 I 知当 1 2 b 时函数 f x无极值点 2 当 1 2 b 时 2 1 2 2 1 x fx x 1 1 2 x 时 0 fx 1 2 x 时 0 fx 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 3 当 1 2 b 时 解 0fx 得两个不同解高 考 资 源 网 wxc 1 11 2 2 b x 2 11 2 2 b x 当0b 时 1 11 2 1 2 b x 2 11 2 1 2 b x 12 1 1 xx 此时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 当 1 0 2 b 时 用心 爱心 专心 4 12 1 x x 高 考 资 源 网 wxc fx在 12 1 xx 都大于 0 fx在 12 x x上小于 0 此时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 综上可知 0b 时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 1 0 2 b 时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 类型四 含字母时 对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论类型四 含字母时 对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论 例例 4 4 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f I 试用含a的代数式表示b 求 f x的单调区间 w w w k s 5 u c o m 解 I 依题意 得21ba 由 I 得 32 1 21 3 f xxaxax 故 2 221 1 21 fxxaxaxxa 令 0fx 则1x 或1 2xa 当1a 时 1 21a 由此得 函数 f x的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 由1a 时 1 21a 此时 0fx 恒成立 且仅在1x 处 0fx 故函数 f x的单调区间为 R 当1a 时 1 21a f x的单调增 1 和 1 2 a 单调减区 1 1 2 a 综上 当1a 时 函数 f x增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 R 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2a 变式训练变式训练 4 4 已知a是实数 函数 2 f xxxa 1 若 1 3f 求a的值及曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 用心 爱心 专心 5 2 求函数 y f x 在区间 1 2 上的最小值 解 1 2 32fxxax 因为 1 323fa 所以0a 又当0a 时 1 1f 1 3 f yf x 在 1 1 f 处的切线方程 为320 xy 2 设最小值为m 2 1 3 2 323 2 xaxxaxxxf 当0 a时 2 1 0 xxf则 xf是区间 1 2 上的增函数 所以afm 1 1 当0 a时 在 3 2 0 a xx 或时 2 0 3 fxf xa 从而在区间上是增函数 在 3 2 0 a x 时 2 0 0 3 fxf xa 从而在区间上是单减函数 当2 3 2 a 即3 a时 afm48 2 当2 3 2 1 a 即3 2 3 a时 3 24 327 aa mf 当 2 3 0 a时 afm 1 1 则函数的最小值 3 2 4 3 2 3 27 4 2 3 1 3 aa a a aa m 题型五 恒成立问题题型五 恒成立问题 例例 5 5 设函数 0 33 3 2 3 aaxx x xf 1 如果1 a 点P为曲线 xfy 上一个动点 求以P为切点的切线斜率取最小值时的 切线方程 2 若 3 aax 时 0 xf恒成立 求a的取值范围 解 1 设切线斜率为k 则32 2 xxxfk 当1 x时 k取最小值 4 又 3 20 1 f 所以 所求切线方程为 1 4 3 20 xy 即 08312 yx 2 由032 2 xxxf 解得 1 x或3 x 函数 xf在 1 和 3上是增函数 在 3 1 上是减函数 用心 爱心 专心 6 所以 0 3 330 af aa 或 0 3 3a3a0 f 或 0 3a af 解得 6 a 变式训练变式训练 5 5 已知函数 32 3f xxx 1 若 yf x 在区间 21 1 mm 上是增函数 求实数m的取值范围 2 若 12 1 1 x x 求证 12 4f xf x 解 1 2 363 2 fxxxx x 令 0fx 即 2 002x xxx 或 f x 的增区间为 2 0 和 f x 在区间 21 1 mm 上是增函数 21 1 2 21 1 0 mmmm 或 12210 211211 mm mmmm 或 32mm 1 或 2 2 363 2 002fxxxx xxx 或 0 0 1 2 1 4fff f x 在区间 1 1 上的最大值 M 为 4 最小值 N 为 0 故对任意 12 1 1 x x 有 12 404f xf xMN 题型六 导数解决不等式问题题型六 导数解决不等式问题 例例 6 6 对于函数 322 0 32 ab f xxxa x a 1 若函数 f x在2x 处的切线方程为720yx 求 a b的值 2 设 12 x x是函数 xf的两个极值点 且 12 2xx 证明 4 3 9 b 解 1 由切点为 2 6 22 yaxbxak 有 22 223 227 22 2 2 3 6 aba a ba 解得3 2ab 2 由题 1 x 2 x是方程 22 0axbxa 的两个根 1212 0 b xxx xa a 可得 两根一正一负 不妨设 12 0 0 xx 1221 22 xxxx 2 22 22 212112 2 44444 b xxxxx xabaa a 设 用心 爱心 专心 7 223 4444 0 taaaaa 其中 2 222 8121200 00 333 taaa aaaat 得舍去或当时 当 2 3 a 时 0t 所以当 2 3 a 时 max 16 27 t 即 2 164 3 279 bb 变式训练变式训练 6 6 已知函数 ln 1 f xxx 1x 证明 1 1ln 1 1 xx x 题型七 以函数为模型运用导数解决应用问题题型七 以函数为模型运用导数解决应用问题 例例 7 7 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 解 设长方体的宽为x m 则长为x2 m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 06935 42 3322 xmxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 0 xV 解得0 x 舍去 或1 x 因此1 x 当10 x时 0 xV 当 2 3 1 x时 0 xV 故在1 x处 xV取得极大值 并且这个极大值就是 xV的最大值 从而最大体积 332 1619 mxVV 此时长 方体的长为 2 m 高为 1 5 m 变式训练变式训练 7 7 某公司为获更大收益 每年要投入一定资金用于广告促销 经调查 若每年投 广告费t 百万元 可增加销售额约为 2 5tt 百万元 05 t 1 若公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内 则应投入多少广告费才能使公司由此获 得收益最大 2 现公司准备共投入 3 百万元分别用于广告促销和技术改造 经预测 每投入技术改进 费x百万元 可增加销售额约 32 1 3 3 xxx 百万元 请设计一种资金分配方案 使该公司由 此获得最大收益 注 收益 销售额 成本 解 1 设投入广告费 t 百万元 则收益 22 5 2 4 03 yttttt 2t 时 max 4y 应投入 2 百万元广告费 由此获得收益最大 2 投入广告费 3 x 百万元 则收益 322 1 3 3 5 3 3 3 yxxxxx 3 1 43 3 xx 03 x 2 4 2 2 yxxx 当2x 时 max y 当投入技术改造 2 百万元 广告费 1 百万元时 公司收益最大 用心 爱心 专心 8 1 对于 R 上可导的函数 f x 若满足 2 0 xfx 则必有 D A 1 3 2 2 fff B 1 3 2 2 fff C 1 3 2 2 fff D 1 3 2 2 fff 2 已知 a 0 函数 3 f xxax 在 1 上是单调增函数则 a 的最大值是 D A 0 B 1 C 2 D 3 3 曲线 3 1 3 yxx 在点 4 1 3 处的切线与坐标轴围成三角形面积为 A A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 2 3 4 若函数 3 3 f xa xx 的递减区间为 1 1 则 a 的取值范围 A A a 0 B 1 a1 D 0 a 1 5 设 P 为曲线 C 2 23yxx 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0 4 则点 P 横坐标的取值范围为 1 1 2 6 已知a为实数 函数 f x 32 33 22 xaxxa 1 若函数 f x的图象上有与x轴平行的切线 求a的取值范围 2 若 1 0f 对任意 12 1 0 x x 不等式 12 f xf xm 恒成立 求m的最小值 解 1 32 33 22 f xxaxxa 2 3 32 2 fxxax 由题意知 0fx 有实数解 2 3 44 30 2 a 2 9 2 a 即 3 2 2 a 或 3 2 2 a 故 3 23 2 22 a 2 1 0f 3 320 2 a 即 9 4 a 2 31 323 1 22 fxxaxxx 令 0fx 得 12 1 1 2 xx 当 1 0 x 时 2514927 1 0 82168 fff maxmin 27149 0 8216 f xff xf 故 12 1 0 x x 时 12maxmin 5 16 f xf xf xf x 所以 5 16 m 即m的最小 用心 爱心 专心 9 值为 5 16 7 已知函数bxxf 的图像与函数23 2 xxxg的图象相切 记 xgxfxF 1 求实数 b 的值及函数 F x 的极值 2 若关于 x 的方程 F x k 恰有三个不等的实数根