2012年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷 B 理（浙江卷）

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 B B 数学理科 浙江卷 数学理科 浙江卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷个答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件A B相互独立 那么其中S表示棱柱的底面积 h表示棱 柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么n V Sh 3 1 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积 h表示棱 锥的高 Pn k C pk 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 k n 棱台的体积公式S 4 R2 球的体积公式 2211 3 1 SSSShV 其中S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V R3 3 4 h表示棱台的高 其中R表示球的半径 用心 爱心 专心2 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 是 函数在区间上为增函数 的 1 aaxxf 1 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知集合 若 则等于 2 0 250 Pm QxxxxZ PQ m A B C 或 D 或121 2 5 12 3 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面内任意一条直线 则平面平面 m 若平面 平面则直线直线内的直线平面的交线为与平面 nmnm 若平面 内的三点A B C到平面 的距离相等 则 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 阅读下面程序框图 如果输入a的值为 252 输入b的值 为 72 那么输出i的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 5 下列四个函数图象 只有一个是符合 112233 yk xbk xbk xb 其中为正实数 为非零实数 的图象 则根据你所判断的图象 123 k k k 123 b b b 123 k k k 之间一定成立的关系是 x y O x y O x y O x y O 用心 爱心 专心3 A B C D 123 kkk 123 kkk 123 kkk 123 kkk 6 一次考试中 要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题 要求至少包含前 5 个 题目中的 3 个 则考生答题的不同选法的种数是 A 40 B 74 C 84 D 200 7 已知抛物线焦点 F 恰好是双曲线 a 0 b 0 的右焦点 2 2 0 ypx p 22 22 1 xy ab 且 双曲线过点 则该双曲线的渐近线方程为 22 3 ab pp A B C D 2yx yx 5yx 15 3 yx 8 二次函数的值域为 0 则的最小值为 2 2 f xaxxc xR 11ac ca A 2 B 2 C 4 D 222 2 9 如果有穷数列满足条件 即 21 Nnaaa n 1121 aaaaaa nnn 我们称其为 对称数列 例如 数列1 2 3 3 2 1 和数 1 ini aa 2 1 ni 列1 2 3 4 3 2 1都为 对称数列 已知数列是项数不超过 n b 的 对称数列 并使得依次为该数列中连续的前m项 1 2 Nmmm 12 2 2 2 1 m 则数列的前2009项和所有可能的取值的序号为 n b 2009 S 122009 12 2 2009 1223 201021 mm 122 200921 mm A B C D 10 定义域为R R的函数 1 1 1 1 1 x xf x x 若关于x的函数 2 1 2 h xfxbf x 有 5 个不同的零点 12345 x x x x x 则 22222 12345 xxxxx 等于 A 2 2 22b b B 16 C 5 D 15 用心 爱心 专心4 非选择题部分 共非选择题部分 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 12 展开式中的系数是 62 2 1 x x 6 x 13 请阅读下列材料 若两个正实数a1 a2满足1 2 2 2 1 aa 那么2 21 aa 证明 构造函数1 22 21 22 2 2 1 xaaxaxaxxf 因为对一切实数x 恒 有0 xf 所以0 从而得08 4 2 21 aa 所以2 21 aa 根据上述 证明方法 若n个正实数满足 1 22 2 2 1 n aaa时 你能得到的结论为 14 已知某个几何体的三视图如图所示 根据图中 标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体 积是 3 cm 15 已知映射 0 0fP m nPmnmn 设点 点M 是线段AB 1 3 3 1BA 上一动点 fMM 当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时 点M 的对应点 M 所经过的路线长度为 16 已知点 3 3 A O为坐标原点 点 P x y满足 30 320 0 xy xy y 则 OA OP Z OA 的 最大值是 17 已知函数和在 2 2 上的图象如下图所示 给出下列四个命 xfy xgy 用心 爱心 专心5 题 方程有且仅有 6 个根 方程有且仅有 3 个根 0 xgf0 xfg 方程有且仅有 5 个根 方程有且仅有 4 个根 0 xff0 xgg 其中正确的命题为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7272 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 已知数列 定义其倒均数是 n a 111 21 Nn n aaa V n n 1 求数列 的倒均数是 求数列 的通项公式 n a 2 1 n Vn n a n a 2 设等比数列的首项为 1 公比为 其倒数均为 若存在正整数k n b 2 1 q n V 使恒成立 试求k的最小值 16 n Vkn时 19 本小题满分14分 如图 在直角坐标系xOy中 锐角 ABC 内接于圆已知BC平行于x轴 1 22 yx AB所在直线方程为 记角A B C所对的边分别是a b c 0 kmkxy 1 若的值 B CA bca ac k2sin 2 cos 2 3 2 222 求 2 若2 0 2 kxOA 记 用心 爱心 专心6 的值 3 sin 2 xOB 求 20 本小题满分 15 分 如图 在底面是矩形的四棱锥 ABCDP 中 PA 平面ABCD 2 ABPA 4 BC E是PD的中点 1 求二面角 DACE 的余弦值 2 求直线CD与平面AEC所成角的正弦值 21 本小题满分 15 分 已知椭圆的离心率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为 22 22 1 0 xy ab ab 6 3 直线 交椭圆于不同的两点 3 l ykxm AB 1 求椭圆的方程 2 若坐标原点到直线 的距离为 求面积的最大值 Ol 3 2 AOB 22 本小题满分14分 已知函数 2 2ln f xxxax aR 1 当a 2 时 求函数f x 的图像在x 1 处的切线的方程 2 若函数 1 0 e e maxxf在 上有两个不等的实数根 求实数m的取值范围 3 若函数f x 的图像与x轴交于不同的点 0 0 0 2121 xxxBxA 且 求证 0 21 qxpxf 其中实数p q满足1 0 qpqp P B E D C A 用心 爱心 专心7 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 B B 数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准 说明 说明 一一 本本解解答答指指出出了了每每题题要要考考查查的的主主要要知知识识和和能能力力 并并给给出出了了一一种种或或几几种种解解法法供供参参考考 如如果果考考生生的的解解法法与与本本解解答答不不同同 可可根根据据试试题题的的主主要要考考查查内内容容比比照照评评分分参参考考制制订订相相应应的的评评分分 细细 则则 二 对计算题二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题变该题 的内容和难度 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后续部分的解答有较分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 1 分 分 一 选择题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 分 1 5 AACBA 6 10 BBCCD 二 填空题二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 4 分 满分分 满分 2828 分 分 11 4 75 12 13 naaa n 21 14 4 15 3 4 15 16 3 17 3 用心 爱心 专心8 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 5 5 小题 满分小题 满分 7272 分 分 18 解 1 依题意 2 1 111 21 n n aaa n 即 2 分 2 111 2 21 nn aaa n 当 2 1 1 111 2 2 121 nn aaa n n 时 两式相减得 得 6 分 2 1 1 nn a 2 1 n n an 当n 1 时 1 适合上式 7 分1 1 1 a 1 a 故 8 分 1 n an 2 由题意 10 分 1 2 1 n n b 2 1 1 n n b 12 分 2 21 21 22 111 21 n n n n nn bbb V 不等式恒成立 即恒成立 14 分16 n Vn n n n 1612 16 21 也即 19 解 1 变式得 4 分 3 1 sin 2 cos sin 3 222 B bca ac B B 解得 原式 3 分 18 229 cossin2 2 cos1 2sin 2 sin 2 BB B B B 2 解 AOB 作OD AB于D 2 11 tan 4 2222 2tan 4 2 sin 7 5 1tan 2 OD xODk k 分 分 用心 爱心 专心9 22 22 2 11221212 12121212 1212 1 5 410 2 41 55 sin sincoscossin 2 2 4 4 14 5 xy xmxm yxm mm A x yB xyxxx x y xx yxm xxxm x xm xx 解 设 分 20 解 以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴 AP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 4 0 E 0 2 1 0 0 2 AB 2 0 0 AD 0 4 0 AP 0 0 2 CD 2 0 0 AE 0 2 1 AC 2 4 0 1 设平面AEC的法向量n zyx 令 1 z 则 1 yxn 由 0 0 ACn AEn 即 2 1 1 042 012 00 4 21 01 2 01 y x yx y yx yx n 1 2 1 1 平面ABC的法向量AP 0 0 2 3 2 2 2 3 2 cos APn APn APn 所以二面角 DACE 所成平面角的余弦值是3 2 8 分 2 因为平面的法向量是n 1 2 1 1 而CD 2 0 0 所以 3 2 2 2 3 2 cos CDn CDn 直线CD与平面AEC所成角的正弦值 15 分 2 3 用心 爱心 专心10 21 解 1 设椭圆的半焦距为 依题意 解得 c 6 3 3 c a a 2c 所求椭圆方程为 5 分 222 abc 由得 b 1 2 2 1 3 x y 2 可得 2 3 2 1 m k 由已知 22 3 1 4 mk ykxm 将代入椭圆方程 222 1 3 6330kxkmxm 整理得 2 22 64 1 3330 kmkm 2 1212 22 633 1 31 3 kmm xxxx kk 222 2 222 21 222 3612 1 1 1 31 31 k mm ABkxxk kk 22222 2222 12 1 31 3 1 91 31 31 kkmkk kk 2 42 2 2 121212 3334 0 1 9612 36 96 k k kk k k 2 2 1 9k k 当且仅当 3 3 k 即时等号成立 3 3 k 经检验满足 式 03 kAB 当时 max 2AB 综上可知 15 分 133 2 222 ABAOBS 当最大时的面积取最大值 22 解 1 当2a 时 2 2ln2f xxxx 2 22fxx x 切点坐标为 1 1 切线的斜率 1 2k f 用心 爱心 专心11 则切线方程为12 1 yx 即21yx 2 分 2 方程 0f xaxm 即