2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题F 平面向量 文

用心 爱心 专心1 F F 平面向量平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 4 H1H1 F1F1 2012 上海卷 若d d 2 1 是直线l的一个方向向量 则l的倾斜角的大 小为 结果用反三角函数值表示 4 arctan 解析 考查直线的方向向量 斜率与倾斜角三者之间的关系 关键是求 1 2 出直线的斜率 由已知可得直线的斜率k k tan 所以直线的倾斜角 arctan 1 2 1 2 20 H5H5 F1F1 H1H1 2012 陕西卷 已知椭圆C1 y2 1 椭圆C2以C1的长轴为短轴 x2 4 且与C1有相同的离心率 1 求椭圆C2的方程 2 设O为坐标原点 点A B分别在椭圆C1和C2上 2 求直线AB的方程 OB OA 20 解 1 由已知可设椭圆C2的方程为 1 a 2 y2 a2 x2 4 其离心率为 故 则a 4 3 2 a2 4 a 3 2 故椭圆C2的方程为 1 y2 16 x2 4 2 解法一 A B两点的坐标分别记为 xA yA xB yB 由 2及 1 知 O A B三点共线且点A B不在y轴上 OB OA 因此可设直线AB的方程为y kx 将y kx代入 y2 1 中 得 1 4k2 x2 4 所以x x2 42A 4 1 4k2 将y kx代入 1 中 得 4 k2 x2 16 所以x y2 16 x2 42B 16 4 k2 又由 2得x 4x 即 OB OA 2B2A 16 4 k2 16 1 4k2 解得k 1 故直线AB的方程为y x或y x 解法二 A B两点的坐标分别记为 xA yA xB yB 由 2及 1 知 O A B三点共线且点A B不在y轴上 OB OA 因此可设直线AB的方程为y kx 将y kx代入 y2 1 中 得 1 4k2 x2 4 所以x x2 42A 4 1 4k2 由 2得x y OB OA 2B 16 1 4k22B 16k2 1 4k2 将x y代入 1 中 得 1 2B2B y2 16 x2 4 4 k2 1 4k2 即 4 k2 1 4k2 解得k 1 故直线AB的方程为y x或y x F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13 F2F2 F3F3 2012 湖北卷 已知向量a a 1 0 b b 1 1 则 1 与 2a a b b同向的单位向量的坐标表示为 2 向量b b 3a a与向量a a夹角的余弦值为 用心 爱心 专心2 13 答案 1 2 3 10 10 10 10 2 5 5 解析 1 由题意 2a a b b 3 1 所以与 2a a b b同向的单位向量的坐标为 即 3 10 1 10 3 10 10 10 10 2 因为a a 1 0 b b 1 1 所以b b 3a a 2 1 设向量b b 3a a与向量a a的夹角 为 则 cos b b 3a a a a b b 3a a a a 2 1 1 0 5 1 2 5 5 3 F2F2 2012 广东卷 若向量 1 2 3 4 则 AB BC AC A 4 6 B 4 6 C 2 2 D 2 2 3 A 解析 因为 1 2 3 4 4 6 所以选择 A AC AB BC 9 F2F2 2012 全国卷 ABC中 AB边的高为CD 若 a a b b a ba b 0 a a 1 b b 2 则 CB CA AD A a a b b B a a b b 1 3 1 3 2 3 2 3 C a a b b D a a b b 3 5 3 5 4 5 4 5 9 D 解析 本小题主要考查平面向量的基本定理 解题的突破口为设法用a a和b b作 为基底去表示向量 AD 易知a a b b AB 用等面积法求得 CD 5 2 5 5 AD AB a a b b 故选 D AC2 CD2 4 5 55 AD 4 5AB 4 5 7 F2F2 C6C6 2012 陕西卷 设向量a a 1 cos 与b b 1 2cos 垂直 则 cos2 等于 A B C 0 D 1 2 2 1 2 7 C 解析 由向量垂直的充要条件可知 要使两向量垂直 则有 1 2cos2 0 则 cos2 2cos2 1 0 故选 C 6 F2F2 F3F3 2012 重庆卷 设x R R 向量a a x 1 b b 1 2 且a ba b 则 a a b b A B 510 C 2 D 10 5 6 B 解析 因为a a b b 所以a a b b 0 即x 1 1 2 0 解得x 2 所以 a a b b 3 1 a a b b 选 B 32 1 210 F3 平面向量的数量积及应用 12 F3F3 2012 上海卷 在矩形ABCD中 边AB AD的长分别为 2 1 若M N分别是 边BC CD上的点 且满足 则 的取值范围是 BM BC CN CD AM AN 用心 爱心 专心3 12 1 4 解析 令 n 0 n 1 则 1 n 在矩形ABCD中 BM BC DN DC n AM AB AD 1 n 所以 n 1 n AN AD AB AM AN AB AD AD AB 1 n 2 n2 4 3n AB AD 而函数f n 4 3n在 0 1 上是单调递减的 其值域为 1 4 所以 的取值范围是 1 4 AM AN 1 F3F3 2012 辽宁卷 已知向量a a 1 1 b b 2 x 若a a b b 1 则x A 1 B 1 2 C D 1 1 2 1 D 解析 本小题主要考查向量数量积的坐标运算 解题的突破口为正确运用数量 积的坐标运算公式 因为a a b b 1 1 2 x 1 2 1 x 1 x 1 所以答案选 D 15 F3F3 2012 课标全国卷 已知向量a a b b夹角为 45 且 a a 1 2a a b b 10 则 b b 15 答案 3 2 解析 因为 2a a b b 平方得 4a a2 4a a b b b b2 10 得 10 4 4 b b b b 2 10 解得 b b 3 2 22 12 F3F3 2012 江西卷 设单位向量m m x y b b 2 1 若m bm b 则 x 2y 12 解析 设c c 1 2 则c c b b c c m m m m 1 m cm c c c 55 21 H5H5 H8H8 F3F3 2012 重庆卷 如图 设椭圆的中点为原点O 长轴在x轴上 上顶 点为A 左 右焦点分别为F1 F2 线段OF1 OF2的中点分别为B1 B2 且 AB1B2是面积 为 4 的直角三角形 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过B1作直线交椭圆于P Q两点 使PB2 QB2 求 PB2Q的面积 21 解 1 设所求椭圆的标准方程为 1 a b 0 右焦点为F2 c 0 x2 a2 y2 b2 因 AB1B2是直角三角形且 AB1 AB2 故 B1AB2为直角 从而 OA OB2 即b 结合c2 a2 b2得 4b2 a2 b2 故a2 5b2 c 2 c2 4b2 所以离心率e c a 2 5 5 在 Rt AB1B2中 OA B1B2 故 S AB1B2 B1B2 OA OB2 OA b b2 1 2 c 2 由题设条件S AB1B2 4 得b2 4 从而a2 5b2 20 因此所求椭圆的标准方程为 1 x2 20 y2 4 2 由 1 知B1 2 0 B2 2 0 由题意 直线PQ的倾斜角不为 0 故可设直线PQ 的方程为 x my 2 代入椭圆方程得 用心 爱心 专心4 m2 5 y2 4my 16 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2是上面方程的两根 因此 y1 y2 y1 y2 4m m2 5 16 m2 5 又 x1 2 y1 x2 2 y2 所以 B2P B2Q x1 2 x2 2 y1y2 B2P B2Q my1 4 my2 4 y1y2 m2 1 y1y2 4m y1 y2 16 16 16 m2 1 m2 5 16m2 m2 5 16m2 64 m2 5 由PB2 QB2 知 0 即 16m2 64 0 解得m 2 B2P B2Q 当m 2 时 方程 化为 9y2 8y 16 0 故y1 y2 y1 y2 4 4 10 9 4 4 10 9 8 9 10 PB2Q的面积S B1B2 y1 y2 1 2 16 9 10 当m 2 时 同理可得 或由对称性可得 PB2Q的面积S 16 9 10 综上所述 PB2Q的面积为 16 9 10 9 F3F3 2012 江苏卷 如图 1 3 在矩形ABCD中 AB BC 2 点E为BC的中 2 点 点F在边CD上 若 则 的值是 AB AF 2 AE BF 图 1 3 9 解析 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解 解题突破口为合理建立平 2 面直角坐标系 确定点F的位置 以点A为坐标原点 AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 则 0 AB 2 设 x 2 则由条件得x 得x 1 AF 22 从而F 1 2 1 1 2 AE 2 BF 2 于是 AE BF 2 15 F3F3 2012 湖南卷 如图 1 5 在平行四边形ABCD中 AP BD 垂足为P 且 AP 3 则 AP AC 用心 爱心 专心5 图 1 5 15 18 解析 本题考查平面向量的数量积和向量的表示 意在考查考生对数量积的 掌握和向量相互转化能力 具体的解题思路和过程 把未知向量用已知向量来表示 2 AP AC AP DB BC 2 2 2 18 AP BC AP AD AP AP 易错点 本题易错一 找不到已知向量 无法把未知向量用已知向量表示 易错二 不会转化 把向量放到同一个直角三角形中 易错三 发现不了在向量上的射 AD BC AD AP 影等于 AP 13 F2F2 F3F3 2012 湖北卷 已知向量a a 1 0 b b 1 1 则 1 与 2a a b b同向的单位向量的坐标表示为 2 向量b b 3a a与向量a a夹角的余弦值为 13 答案 1 2 3 10 10 10 10 2 5 5 解析 1 由题意 2a a b b 3 1 所以与 2a a b b同向的单位向量的坐标为 即 3 10 1 10 3 10 10 10 10 2 因为a a 1 0 b b 1 1 所以b b 3a a 2 1 设向量b b 3a a与向量a a的夹角 为 则 cos b b 3a a a a b b 3a a a a 2 1 1 0 5 1 2 5 5 10 F3F3 2012 广东卷 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若两个非零的平面向量a a b b满足a a与b b的夹角 且a a b b和b b a a都在集合 4 2 Error 中 则a a b b A B C 1 D 5 2 3 2 1 2 10 D 解析 根据新定义得 a a b b n Z Z 1 a a b b b b b b a a b b cos b b b b a a cos b b n 2 b b a a m Z Z 2 b b a a a a a a a a b b cos a a a a b b cos a a m 2 以上两式相乘得 cos2 n m Z Z n m 4 cos2 即 4 2 0 1 2 所以 0 mn0 时 a a b b a a b b 当 0 时 可有 a a b b a a b b 故 D 不正确 法二 特值验证排除 先取a a 2 0 b b 1 0 满足 a a b b a a b b 但两向 量不垂直 故 A 错 再取a a 2 0 b b 1 0 满足a a b b 但不满足 a a b b a a b b 故 D 错 取a a 2 0 b b 0 1 满足a a b b 但不满足 a a b b a a b b 故 B 错 所以答案为 C 点评 由 a a b b a a b b 判断a a b b方向相反 且有 a a b b 是一个重要的结论 由此可以对各选项加以正确分析与应用 15 C8C8 F3F3 2012 浙江卷 在 ABC中 M是线段BC的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 15 16 解析 本题主要考查平面几何的性质 平面向量的线性运算与数量积 法 一 AB AC AM MB AM MC 2 2 9 5 5 16 AM MB 法二 特例法 假设 ABC是以AB AC为腰的等腰三角形 如图 AM 3 BC 10 AB AC cos BAC 34 34 34 100 2 34 8 17 AB AC AB AC cos BAC 16 6 F2F2 F3F3 2012 重庆卷 设x R R 向量a a x 1 b b 1 2 且a ba b 则 a a b b A B 510 C 2 D 10 5 6 B 解析 因为a a b b 所以a a b b 0 即x 1 1 2 0 解得x 2 所以 用心 爱心 专心8 a a b b 3 1 a a b b 选 B 32 1 210 F4 单元综合 7 F4F4 2012 四川卷 设a a b b都是非零向量 下列四个条件中 使 成立的充 a a a a b b b b 分条件是 A a a b b 且a a b b B a a b b C a a b b D a a 2b2b 7 D 解析 要使得 在a a b b为非零向量的前提下 必须且只需a a b b同向 a a a a b b b b 即可 结合四个选项 只有 D 满足这一条件 16 C9C9 F4F4 2012 山东卷 如图 1 5 在平面直角坐标系xOy中 一单位圆的圆心 的初始位置在 0 1 此时圆上一点P的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动 到圆心位于 2 1 时 的坐标为 OP 图 1 5 16 2 sin2 1 cos2 解析 本题考查向量坐标运算与三角函数 考查数据处理 能力与创新意识 难题 根据题意可知圆滚动了 2 个单位弧长 点P旋转了 2 弧度 结合图象 设滚动后圆与 x轴的交点为Q 圆心为C2 作C2M y轴于M PC2Q 2 PC2M 2 点P的横坐 2 标为 2 1 cos 2 sin2 2 2 点P的纵坐标为 1 1 sin 1 cos2 2 2 20122012 模拟题模拟题 1 2012 湛江测试 已知向量a a 1 3 b b 2 x 且a a b b 则x A B 2 3 2 3 C 6 D 6 1 C 解析 由a a b b则x 3 2 0 即x 6 选 C 2 2012 宁夏一中模拟 若a a b b c c均为单位向量 且 a ba b c c xa a yb b x y R R 则x y的最大值是 1 2 A 2 B 3 C D 1 2 2 A 解析 因为a a b b c c均为单位向量 且a a b b c c xa a yb b x y R R 由 1 2 c c 1 得x2 y2 xy 1 所以xy 1 而 x y 2 x2 y2 2xy