江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2013届高三数学综合问题（二）（教师版）

1 江苏省无锡新领航教育咨询有限公司江苏省无锡新领航教育咨询有限公司 20132013 届高三数学 综合问题届高三数学 综合问题 二 二 1 已知既有极大值又有极小值 则的取值范围为 1 6 23 xaaxxxfa 答案 63 aa或 解析 本试题主要是考查了一元二次函数极值的问题 f x x3 ax2 a 6 x 1 f x 3x2 2ax a 6 函数 f x x3 ax2 a 6 x 1 既有极大值又有极小值 2a 2 4 3 a 6 0 a 6 或 a 3 故选 D 解决该试题的关键是一元三次函数有两个极值 则说明其导数为零的方程中 判别式大于零 2 函数 函数 若存在 2 sin22 3cos3f xxx cos 2 23 0 6 g xmxmm 使得成立 则实数 m 的取值范围是 12 0 4 xx 12 f xg x 答案 2 2 3 解析 本试题主要是考查了三角函数的性质的运用 因为函数 当 2 sin22 3cos3sin23cos22sin 2 3 f xxxxxx 51 0 2 sin 2 1 1 2 433632 xxxf x 函数 cos 2 23 0 6 g xmxmm 2 33 6 x 若存在 使得成立 3 cos 2 3 3 622 mm mxmg xm 12 0 4 xx 12 f xg x 则 3 m 实数 m 的取值范围解决该试题的关键是理解存在1 3 3 2 m 2 2 2 3 使得成立的含义 12 0 4 xx 12 f xg x 3 若函数 又 且的最小值为 sin3cos f xxxxR 2 0ff 则正数的值是 3 4 2 3 解析 因为函数 因为 sin3cos2sin 3 f xxxxxR 的小值为 即 那么可知 w 2 0ff 3 4 3T T3 44 2 3 4 已知三点的坐标分别是 若 A B C 3 0 A 0 3 B cos sin C 3 22 则的值为1AC BC 2 1tan 2sinsin2 解析 因为向量 2 所以 cos3 sin cos sin3 cos cos3 sin sin3 1 25 cossin2cossin 39 A ACBC AC BC 2 1tan19 2sinsin22sincos5 5 如图 在矩形中 点为的中点 ABCD22ABBC EBC 点在边上 且 则的值是 FCD2DCDF AEBF A AB C D E F 答案 2 解析 本试题主要是考查了平面向量的几何运用 以及平面向量基本定理的运用 根据已知条件可知 矩形中 点为的中点 那么且ABCD22ABBC EBC 则利用向量的加法运算可知2DCDF 02 21 202 AAAE BFABBEBCCFAB BCAB CFBE BCBE CF 故答案为 2 解决该试题的关键是将所求的向量表示为基底向量的关系式 然后求解得到 6 方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐 2 210 xx 2yx 1 y x 标 若方程的各个实根所对应的点 4 40 xax 12 4 k x xx k 1 2 k 均在直线的同侧 不包括在直线上 则实数的取值范围 4 i i x x iyx a 是 答案 或6a 6a 解析 本题综合考查了反比例函数 反比例函数与一次函数图象的交点问题 数形结合是 数学解题中常用的思想方法 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 因为方程的根显然 x 0 原方程等价于 x3 a 4 x 3 原方程的实根是曲线 y x3 a 与曲线 y 的交点的横坐标 而曲线 y x3 a 是由曲线 y x3向上 4 x 或向下平移 a 个单位而得到的 若交点 xi i 1 2 k 均在直线 y x 的同侧 因直 i 4 x 线 y x 与 y 交点为 2 2 2 2 所以结合图象可得 a 0 x3 a 2 x 2 或 a 0 4 x x3 a2 解得 a 6 或 a 6 故答案为 a 6 或 a 6 解决该试题的关键是将原方程等价于 x3 a 分别作出左右两边函数的图象 分 a 0 与 4 x a 0 讨论 可得答案 7 已知函数若 则实数的取值范围是 32 2 39124 1 1 1 xxxx f x xx 2 21 2 fmf m m 答案 1 3 解析 本试题主要考查了分段函数的单调性的运用 因为函数 可知 32 2 39124 1 1 1 xxxx f x xx 3222 32 39124 1 918129 1 30 39124 yxxxxyxxx yxxx 内递增 而结合二次函数性质可知也是定义域上递增函数 故该分段1 在x 2 1 1 yxx 函数在给定定义域内递增 若 则实数 22 21 2 21213 fmf mmmm 的取值范围 m 1 3 解决该试题的关键是判定函数的单调性 利用单调性的定义解决抽象不等式的解 8 在平面直角坐标系中 定义为两点 之间 1212 d P Qxxyy 11 P x y 22 Q xy 的 折线距离 则坐标原点与直线上一点的 折线距离 的最小值是O22 50 xy 圆上一点与直线上一点的 折线距离 的最小值是 22 1xy 22 50 xy 答案 5 5 2 4 解析 1 画图可知时 取 32 55 22 52 5 05 32 50 xx dxxxx xx 5x d 最小值 2 设圆上点 直线上点 cos sinP Q x y 则 sin cossincos25 2 dxyxx sin 3cossin2 55 2 sin cossin2 5 cos5 2 3cossin2 5cos xx xx xx 9 设函数 2 ln f xaxbx a bR 1 若函数在处与直线相切 xf1x 2 1 y 求实数的值 求函数上的最大值 a b 1 e e xf在 2 当时 若不等式对所有的都成立 求实数0b xmxf 2 1 2 3 0 exa 的取值范围 m 答案 解 1 1 1 2 a b max 1 1 2 f xf 2 22 1 1 xeex 2 min mxe 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 1 因为 函数在处与直线相切解 2 a fxbx x f x1x 1 2 y 1 20 1 1 2 fab fb 得 a b 的值 并且 求导数的符号与函数单调性 2 2 111 ln 2 x f xxxfxx xx 的关系得到最值 2 因为当 b 0 时 若不等式对所有的都 lnf xax f xmx 2 3 0 1 2 axe 5 成立 则对所有的都成立 lnaxmx 2 3 0 1 2 axe 即对所有的都成立转化与化归思想的运用 lnxxam 2 1 2 3 0 exa 10 已知函数 时 求的单调 x ea f x x lng xaxa 1a F xf xg x 区间 若时 函数的图象总在函数的图象的上方 求实数的取值范围 1x yf x yg x a 答案 解 1 的单增区间为 单减区间为 F x 1 0 1 2 实数a的取值范围 1 2 ae 解析 本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法 已知函数的单调区间求参数范围的 方法 体现了导数在函数单调性中的重要应用 不等式恒成立问题的解法 转化化归的思想 方法 1 先求函数的导函数 f x 并将其因式分解 便于解不等式 再由 f x 0 得 函数的单调增区间 由 f x 0 得函数的单调减区间 2 构造 即 研究最小值大 1 F xf xg x x ln 1 x ea F xaxa x x 于零即可 11 本小题满分 14 分 已知函数 xf 1lnRaxax x xexg 1 1 求函数在区间上的值域 xg 0 e 2 是否存在实数 对任意给定的 在区间上都存在两个不同的a 0 0 ex 1 e 使得成立 若存在 求出的取值范围 若不存在 请说明理由 2 1 ixi 0 xgxf i a 3 给出如下定义 对于函数图象上任意不同的两点 如果 F xy 2211 yxByxA 对于函数图象上的点 其中总能使得 F xy 00 yxM 2 21 0 xx x 成立 则称函数具备性质 试判断函数是不是具 F F F 21021 xxxxx L xf 备性质 并说明理由 L 答案 1 值域为 2 满足条件的不存在 3 函数不具备性质 1 0 a xfL 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 6 1 因为 然后分析导数的正负 然后判定单调性得到 1 111 xexeexg xxx 值域 2 令 则由 1 可得 原问题等价于 对任意的 xgm 1 0 m 1 0 m 在上总有两个不同的实根 故在不可能是单调函数 对于参数 amxf 1 e xf 1 e 讨论得到结论 3 结合导数的几何意义得到结论 1 当时 时 1 111 xexeexg xxx 1 0 x0 x g 1 ex 0 x g 在区间上单调递增 在区间上单调递减 且 xg 1 0 1 e e eeggg 2 1 1 0 0 的值域为 3 分 xg 1 0 2 令 则由 1 可得 原问题等价于 对任意的 xgm 1 0 m 1 0 m 在上总有两个不同的实根 故在不可能是单调函数 5 分mxf 1 e xf 1 e 1 1 ex x axf 1 1 1 ex 当时 在区间上递减 不合题意 0 a0 1 x axf xf 1 e 当时 在区间上单调递增 不合题意 1 a0 x f xf 1 e 当时 在区间上单调递减 不合题意 e a 1 0 0 x f xf 1 e 当即时 在区间上单调递减 在区间上单递增 e a 1 11 1 a e xf 1 1 a xf 1 e a 由上可得 此时必有的最小值小于等于 0 且的最大值大于等于 1 而 1 1 ea xf xf 由可得 则 0ln2 1 min a a fxf 2 1 e a a 综上 满足条件的不存在 8 分a 3 设函数具备性质 即在点处地切线斜率等于 不妨设 xfLM AB k 21 0 xx 则 而在点处的切 21 21 21 2121 21 21 lnln ln ln xx xx a xx xxxxa xx yy kAB xfM 7 线斜率为 故有 10 分 21 21 0 2 2 xx a xx fxf 2121 21 2lnln xxxx xx 即 令 则上式化为 1 1 2 2 ln 2 1 2 1 21 21 2 1 x x x x xx xx x x 1 0 2 1 x x t02 1 4 ln t t 令 则由可得在上单调 tF2 1 4 ln t t0 1 1 1 41 2 2 tt t tt tF tF 1 0 递增 故 即方程无解 所以函数不具备性质0 1 FtF02 1 4 ln t t xf 14 分L 12 本小题共 13 分 已知函数 求时函数的最值 sincossincosyxxxx 0 3 x y 答案 max 1 2 2 y min 1y 解析 本试题主要是考查了三角函数中三角恒等变换的综合运用 1 根据已知条件可知设 那么可知 因此原式可知化 sincosxxt 2 1 sin cos 2 t xx 为 结合 t 的范围 得到二次函数的最值 2 2111 222 t yttt 解 令 则 sincosxxt 2 1 sin cos 2 t xx 2 2111 222 t yttt 0 3 x sincos2sin 1 2 4 txxx max 1 2 2 y min 1y 13 本小题满分 12 分 设 是函数图象上任意两点 11 A x y 22 B xy 32 222 x f x 且 12 1xx 求的值 12 yy 若 其中 求 12 0 n n Tffff nnn n N n T 在 的条件下 设 若不等式 2 n n a T n N 2nnnn aaaa 121 对任意的正整数 n 恒成立 求实数 a 的取值范围 1 log 12 2 a a 8 答案 2 1 n Tn 12 0 解析 本试题主要是考查了函数的性质和数列的综合运用 1 因为 通分合并得到结论 12 yy 12 3232 222222 xx 12 22 3 2222 xx 2 由 可知 当时 12 1xx 12 2yy 由得 然后倒序相加 12 0 n n Tffff nnn 21 0 n n Tffff nnn 法得到结论 3 由 得 不等式即为 22 1 n n a Tn 2 log 2 nnnna aaaaa 121 1 1 2 运用放缩法得到结论 2221 log 12 1222 a a nnn 12 yy 12 3232 222222 xx 12 22 3 2222 xx 4 分 12 1212 42 22 3 22 22 2 xx xxxx 12 12 42 22 3 22 22 2 xx xx 2 由 可知 当时 12 1xx 12 2yy 由得 12 0 n n Tffff nnn 21 0 n n Tffff nnn 11 2 0 0 2 1 n nnn Tffffffn nnnn 8 分1 n Tn 由 得 不等式即为 22 1 n n a Tn 2 log 2 nnnna aaaaa 121 1 1 2 设 2221 log 12 1222 a a nnn n H nnn2 2 2 2 1 2 则 1n H 22222 2322122nnnnn 1 22222 0 212 1 12122 nn HH nnnnn 数列是单调递增数列 10 分 n H min1 1 n HT 要使不等式恒成立 只需 即 1 log 12 1 2 a a 2 log 1 2 log aa aa 或解得 2 01 120 12 a a aa 2 1 120 12 a a aa 120 a 9 故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的的取值范围是 12 分a 12 0 14 已知数列满足递推式 其中 n a 2 12 1 naa nn 15 4 a 求 321 aaa 并求数列的通项公式 是等比数列 求证数列1 n a n a 已知数列有求数列的前 n 项和 n b 1 n n a n b n b n S 答案 7 3 a 1 3 12 aa 数列的通项公式为 n a12 n n a nn n n S 22 1 2 1 解析 把代入可求得 由 15 4 a 2 12 1 naa nn321 aaa 得 又 所以是等比数列 2 12 1 naa nn 1 21 1 nn aa21 1 a 1 n a 数列 由首项和公比可求出数列的通项公式 把代