1995考研数三真题与解析

WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 则 1 1 x f x x n fx 2 设 可导 则 y zxyf x f u xy xzyz 3 设 则 ln 1fxx f x 4 设 是的伴随矩阵 则 100 220 345 A A A 1 A 5 设是来自正态总体的简单随机样本 其中参数和未知 12 n XXX 2 N 2 记则假设的 检验使用统计量 22 11 1 nn ii ii XX QXX n 0 0H tt 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设为可导函数 且满足条件 则曲线在点 f x 0 1 1 lim1 2 x ffx x yf x 处的切线斜率为 1 1 f A B C D 21 1 2 2 2 下列广义积分发散的是 A B 1 1 1 sin dx x 1 21 1 1 dx x C D 2 0 x edx 2 2 1 ln dx xx 3 设矩阵的秩为 为阶单位矩阵 下述结论中正确的是 m n A r Amn m Em A 的任意个行向量必线性无关Am B 的任意一个阶子式不等于零Am C 若矩阵满足 则B0BA 0B D 通过初等行变换 必可以化为的形式A 0 m E 4 设随机变量和独立同分布 记 则随机变量与必然XY UXY VXY UV WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 A 不独立 B 独立 C 相关系数不为零 D 相关系数为零 5 设随即变量服从正态分布 则随的增大 概率 X 2 N P X A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定 三 三 本题满分本题满分 6 6 分分 设 试讨论在处的连续性和可导性 2 2 0 2 1 cos 0 1 0 1 cos 0 x xx x f xx t dtx x f x0 x 四 四 本题满分本题满分 6 6 分分 已知连续函数满足条件 求 f x 3 2 0 3 x x t f xfdte f x 五 五 本题满分本题满分 6 6 分分 将函数展成的幂级数 并指出其收敛区间 2 ln 12 yxx x 六 六 本题满分本题满分 5 5 分分 计算 22 min xy x y edxdy 七 七 本题满分本题满分 6 6 分分 设某产品的需求函数为 收益函数为 其中为产品价格 为需求 QQ p RpQ pQ 量 产品的产量 为单调减函数 如果当价格为 对应产量为时 边际收益 Q p 0 p 0 Q 收益对价格的边际效应 需求对价格的弹性 0 0 Q Q dR a dQ 0 0 pp dR c dp 1 p Eb 求和 0 p 0 Q 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 设 在区间 上连续 为偶函数 且满足条件 f x g x a a 0a g x f x 为常数 f xfxA A 1 证明 0 aa a f x g x dxAg x dx WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 2 利用 1 的结论计算定积分 2 2 sinarctan x xe dx 九 九 本题满分本题满分 9 9 分分 已知向量组 如果各向量组的 123 1234 1235 秩 分别为 I II 3rr III 4r 证明 向量组的秩为 4 12354 十 十 本题满分本题满分 1010 分分 已知二次型 22 12323121323 43448f x x xxxx xx xx x 1 写出二次型的矩阵表达式 f 2 用正交变换把二次型化为标准形 并写出相应的正交矩阵 f 十一 十一 本题满分本题满分 8 8 分分 假设一厂家生产的每台仪器 以概率 0 70 可以直接出厂 以概率 0 30 需进一步调试 经调试后以概率 0 80 可以出厂 以概率 0 20 定为不合格品不能出厂 现该厂新生产了 台仪器 假设各台仪器的生产过程相互独立 求 2 n n 1 全部能出厂的概率 2 其中恰好有两台不能出厂的概率 3 其中至少有两台不能出厂的概率 十二 十二 本题满分本题满分 8 8 分分 已知随机变量和的联合概率密度为XY 4 01 01 0 xyxy f x y 其他 求和联合分布函数 XY F x y WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 1 2 1 1 n n n x 解析 由于 1 12 12 1 1 11 x f xx xx 2 2 1 1 fxx 3 2 1 2 1 fxx 所以 1 1 2 1 2 1 1 1 nnn n n fxx n x n 2 答案 2 y xyf x 解析 根据复合函数求导法则 2 2 x yyyyyy zyfxyfyff xxxxxx 1 y yyyy zxfxyfxfyf xxxxx 所以 22 2 xy yyyyy yfy fxyfy fyf xxxxx xzyzxx 相关知识点 复合函数求导法则 的导数为 yf x yf xfx 3 答案 x xeC 解析 在中令 则 从而 ln 1fxx ln xt 1 t f te 1 ttx f tedtteCf xxeC 4 答案 100 1 220 10 345 解析 由 有 故 AAA E A AE A 1A A A WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 而 100 22010 345 A 所以 1 100 1 220 10 345 A A A 5 答案 1 X n n Q 解析 假设检验是统计推断的另一个基本问题 它是根据具体情况和问题的要求 首先 提出原假设 再由样本提供的信息 通过适当的方法来判断对总体所作的假设是否成 0 H 0 H 立 首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题 据此类 型应该选取 检验的统计量是t 0 2 1 1 1 n i i XX t S XXn n n 经过化简得 1 X tn n Q 相关知识点 假设检验的一般步骤 1 确定所要检验的基本假设 0 H 2 选择检验的统计量 并要求知道其在一定条件下的分布 3 对确定的显著性水平 查相应的概率分布 得临界值 从而确定否定域 4 由样本计算统计量 并判断其是否落入否定域 从而对假设作出拒绝还是接受的判断 0 H 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 D 解析 因 00 1 1 1 1 1 limlim xx fxffxf fxx xx 0 0 1 1 lim 1 1 2lim2 2 x x ffx x ffx x WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 所以应选 D 2 答案 A 解析 由计算知 1 1 1 21 1 arcsin 1 dxx x 2 2 2 111 lnlnln2 dx xxx 且泊松积分 2 0 2 x edx 故应选 A 注注 对于本题选项 A 由于当时 故在积分区间中是瑕点 反常0 x sin0 x 1 1 0 x 积分应分解为两个反常积分之和 1 1 1 sin dx x 101 110 111 sinsinsin dxdxdx xxx 而且收敛的充要条件是两个反常积分与都收敛 1 1 1 sin dx x 0 1 1 sin dx x 1 0 1 sin dx x 由于广义积分 1 1 0 0 1 ln tan sin2 x dx x 即发散 故发散 1 0 1 sin dx x 1 1 1 sin dx x 在此不可误以为是奇函数 于是 从而得出它是收敛的错误结论 1 sin x 1 1 1 0 sin dx x 3 答案 C 解析 表示中有个列向量线性无关 有阶子式不等于零 并不是任意 r Am Amm 的 因此 A B 均不正确 经初等变换可把化成标准形 一般应当既有初等行变换也有初等列变换 只用一种不A 一定能化为标准形 例如 只用初等行变换就不能化成的形式 故 D 不正 010 001 2 0 E 确 关于 C 由知 又 从而 按定义又有0BA r Br Am r Am 0r B 于是 即 故应选 C 0r B 0r B 0B 4 答案 D 解析 Cov U VCov XY XY Cov X XYCov Y XY WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y DXDY 由于和同分布 因此 于是有 XYDXDY 0Cov U V 由相关系数的计算公式 Cov X Y DXDY 所以与的相关系数也为零 应选 D UV 相关知识点 协方差的性质 Cov aX bYabCov X Y 1212 Cov XXYCov X YCov XY 5 答案 C 解析 由于将此正态分布标准化 故 2 XN 0 1 X N 1211 X P XP 计算看出概率的值与大小无关 所以本题应选 C P X 三 三 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题 一般要用连续性与可 导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数 2 22 000 1 2 2 1 cos 2 lim limlim1 xxx x x f x xx 2 2 0 000 cos cos lim limlim1 1 x xxx t dt x f x x 故 即在处连续 00 00 0 fff f x0 x 2 0 00 4 2 2 0 2 000 1 cos1 0 0 limlim 0 1 cos cos1 2 limlimlim0 22 x xx x xxx t dt f xf x f xx x t dtx x xxx WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 2 00 2 32 000 2 1 cos 1 0 0 limlim 0 2 1 cos 2sin22 cos1 limlimlim0 36 xx xxx x f xf x f xx xxxxx xxx 即 故在处可导 且 0 0 0ff f x0 x 0 0 f 四 四 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 首先 在变上限定积分中引入新变量 于是 3 t s 3 00 3 3 xx t fdtf s ds 代入题设函数所满足的关系式 得 f x 2 0 3 x x f xf s dse 在上式中令得 将上式两端对求导数得0 x 0 1f x 2 3 2 x fxf xe 由此可见是一阶线性方程满足初始条件的特解 f x 2 3 2 x fxf xe 0 1f 用同乘方程两端 得 积分即得 3x e 3 2 xx f x ee 32 2 xx f xCee 由可确定常数 于是 所求的函数是 0 1f 3C 32 32 xx f xee 五 五 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 由知 2 12 1 2 1 xxxx 2 ln 12 ln 1 2 ln 1 xxxx 因为 23 1 ln 1 1 23 n n xxx xx n 其收敛区间为 1 1 又 23 1 2 2 2 ln 1 2 2 1 23 n n xxx xx n 其收敛区间为 1 1 2 2 WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 于是有 1 211 11 2 1 2 ln 12 1 1 nnnn nnn nn xx xxx nnn 其收敛区间为 1 1 2 2 相关知识点 收敛区间 若幂级数的收敛半径是正数 则其收敛区间是开区间 0 n n n a x R 若其收敛半径是 则收敛区间是 R R 六 六 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 方法一方法一 本题中二重积分的积分区域是全平面 设 D0a a Dx yaxaaya 则当时 有 从而a a DD 2222 min limmin a xyxy a D Ix y edxdyx y edxdy 注意当时 当时 于是xy min x yx xy min x yy 222222 min a ayax xyxyxy aaaa D x y edxdydyxedxdxyedy 且 2222222 222 22 2 2 11 22 11 22 axaxa xyxyxax aaaaa aa axx aa dxyedydxed xyeedx eedxedx 由于 从而可得 2 x edx 222 2 1 lim0lim 2 axa xyx aaaaa dxyedyedx 22 2 1 2lim 2 22 2 a t aa txedt 同理可得 22 lim 2 2 ay xy aaa dyxedx 于是 2 22 I WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 方法二方法二 设 则圆域当时也趋于全平面 从而0R 222 R Dx yxyR R 2222 min limmin R xyxy R D Ix y edxdyx y edxdy 引入极坐标系 则cos sinxryr 当与时 0 4 5 2 4 min sinx yyr 当时 5 44 min cosx yxr 于是 22 min R xy D x y edxdy 222 5 2 222 44 5 0000 44 sincossin RRR rrr dr edrdr edrdr edr 22 5 2 22 44 5 000 44 sincossin2 2 RR rr r edrdddr edr 由此可得 22 2 00 2 2 lim2 lim RR rr RR Ir edrrd e 222 00 0 2 2 lim22 22 R R rrr R reedredr 七 七 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 本题的关键在于和之间存在函数关系 因此既可看作的函数 也可pQRpQ p 看作的函数 由此分别求出及 并将它们与弹性联系起来 进而求得Q dR dp dR dQ p p dQ E Q dp 问题的解 由是单调减函数知 从而需求对价格的弹性 这表明 QQ p 0 dQ dp 0 p p dQ E Q dp 题设应理解为 又由是单调减函数知存在反函数1 p Eb 1 pp EEb QQ p 且 由收益对求导 有 pp Q 1dp dQ dQ dp RpQ Q WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 1 1 p dRdpp pQpp p dQ dQdQE Q dp 从而 得 0 0 1 1 Q Q dR pa dQb 0 1 ab p b 由收益对求导 有RpQ p 1 1 p dRdQp dQ QpQQE dpdpQ dp 从而 于是 0 0 1 pp dR Qbc dp 0 1 c Q b 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 1 由要证的结论可知 应将左端积分化成上的积分 即 0 a 0 0 aa aa f x g x dxf x g x dxf x g x dx 再将作适当的变量代换化为在上的定积分 0 a f x g x dx 0 a 方法一方法一 由于 0 0 aa aa f x g x dxf x g x dxf x g x dx 在中令 则由 得 且 0 a f x g x dx xt 0 xa 0t a 00 00 aa aa f x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx 所以 00 aaa a f x g x dxf xfxg x dxAg x dx 方法二方法二 在中令 则由 得 且 a a f x g x dx xt xaa t aa 0 aaaa aaa f x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx 所以 1 2 aaa aaa f x g x dxf x g x dxfx g x dx 0 1 22 aaa aa A f xfxg x dxg x dxAg x dx 2 令 可以验证和符合 1 中条件 从而可以用 arctan x f xe sing xx f x g x 1 中结果计算题目中的定积分 方法一方法一 取 arctan x f xe sing xx 2 a WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 由于满足 arctanarctan xx f xfxee 22 arctanarctan0 11 xx xx xx ee ee ee 故 arctanarctan xx eeA 令 得 即 于是有0 x 2arctan1 2 AA 2 f xfx 222 00 2 sinarctansinsin 222 x xe dxx dxxdx 方法二方法二 取 于是 arctan x f xe sing xx 2 a 1 arctanarctan 2 x x f xfxe e 这里利用了对任何 有 0 x 1 arctanarctan 2 x x 以下同方法一 九 九 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 因为 所以线性无关 而线性相关 I II 3rr 123 1234 因此可由线性表出 设为 4 123 4112233 lll 若 112233454 0kkkk 即 11412242334345 0kl kkl kkl kk 由于 所以线性无关 故必有 III 4r 1235 114 224 334 4 0 0 0 0 kl k kl k kl k k 解出 4321 0 0 0 0kkkk 于是线性无关 即其秩为 4 12354 十 十 本题满分本题满分 1010 分分 解析 1 因为对应的矩阵为 123 f x x x WORD 格式 专业学习资料 可编辑 学习资料分享 022 244 243 A 故的矩阵表示为 123 f x x x 1 1231232 3 022 244 243 T x f x x xx Axx x xx x 2 由的特征方程A 22222 244240 243241 EA 2 4100 240 1 36 0 241 得到的特征值为 A 123 1 6 6 由得基础解系 即属于的特征向量 0EA x 1 2 0 1 TX 1 由得基础解系 即属于的特征向量 6 0EA x 2 1 5 2 TX 6 由得基础解系 即属于的特征向量 6 0EA x 3 1 1 2 TX 6 对于实对称矩阵 特征值不同特征向量已正交 故只须单位化 有 312 123 123 211 111 0 5 1 5306 122 XXX XXX 那么令 12