放缩法在不等式的应用

生涯教育 高二数学 1 放缩法在不等式的应用放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的 过程 在使用放缩法证题时要注意放和缩的 度 否则就不能同向传递了 此法既可 以单独用来证明不等式 也可以是其他方法证题时的一个重要步骤 证明数列型不等式 因其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性 能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题 的极好素材 这类问题的求解策略往往是 通过多角度观察所给数列通项的结构 深入 剖析其特征 抓住其规律进行恰当地放缩 其放缩技巧主要有以下几种 一 添舍 放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的 这是常规思路 例 1 设a b为不相等的两正数 且a3 b3 a2 b2 求证 1 4 3 ab 例 2 已知a b c不全为零 求证 aabbbbcccacaabc 2222 22 3 2 二 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大 若分母变大则分式值变小 一个真分式 分子 分母同时加 上同一个正数则分式值变大 利用这些性质 可达到证题目的 例 3 已知a b c为三角形的三边 求证 12 a bc b ac c ab 三 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和 可采用数列中裂项求和等方法来解 题 例 4 已知 n N 求 n2 n 1 3 1 2 1 1 例 5 已知且 Nn 1n n3221an 求证 对所有正整数 n 都成立 2 1 2 1 2 n a nn n 例 6 设数列满足 证明对一切正 n a 2 1 1 2 11 n a aaa n nn 12 nan 生涯教育 高二数学 2 整数成立 令 判定与的大小 04 年重庆卷理科第 22 题 n 2 1 n n a b n n n b 1 n b 四四 利用重要不等式放缩 1 均值不等式 利用已知的公式或恒不等式 把欲证不等式变形后再放缩 可获简解 例 7 设求证 1 3221 nnSn 2 1 2 1 2 n S nn n 例 8 已知为正数 且 试证 对每一个 ba 1 11 ba Nn 88 年全国联赛题 12 22 nnnnn baba 2 利用有用结论 例 9 求证 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 例 10 已知函数 2 1 0 1 321 lg nNna n nan xf xxxx 给定 求证 对任意且恒成立 90 年全国卷压轴题 0 2 2 xxfxf Nn2 n 例 11 已知用数学归纳法证明 对 11 2 11 1 1 2 nn n aaa nn I2 2 n an II 对都成立 证明 无理数 05 年辽宁卷第 22 题 ln 1 xx 0 x 2 n ae 2 71828e 例 12 已知不等式表示不超过 的 log2 log 2 11 3 1 2 1 22 nnNnn n n 2 log 最大整数 设正数数列满足 n a 2 0 1 1 1 n an na abba n n n 求证 05 年湖北卷第 22 题 3 log2 2 2 n nb b an 例 13 设 求证 数列单调递增且 n n n a 1 1 n a 4 n a 例 14 设数列满足 当时证明对所有 有 n a Nnnaaa nnn 1 2 1 3 1 a 1 n 02 年全国高考题 2 nai n 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa ii 五 利用单调性放缩 生涯教育 高二数学 3 1 构造数列 如对上述例 7 令则 2 1 2 n ST nn 0 2 32 2 1 1 n nnTT nn 递减 有 故 1nnn TTT 022 1 TTn 2 1 2 n Sn 再如例 9 令则 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n Tn 1 3212 22 1 nn n T T n n 即递增 有 得证 1nnn TTT 1 3 2 1 TTn 2 构造函数 例 15 已知函数的最大值不大于 又当时 2 2 3 xaxxf 6 1 2 1 4 1 x 求的值 设 证明 04 年辽宁 8 1 xfa Nnafaa nn 2 1 0 11 1 1 n an 卷第 21 题 例 16 数列由下列条件确定 I 证 n x0 1 ax 2 1 1 n nn x a xxNn 明 对总有 II 证明 对总有 02 年北京卷第 19 题 2 naxn 2 n 1 nn xx 六 换元放缩 例 17 求证 2 1 2 11 nNn n n n 例 18 设 求证 1 aNnn 2 4 1 22 an a n 七 递推放缩 递推放缩的典型例子 可参考上述例 14 中利用部分放缩所得结论 i 进行递推放缩来证明 同理例 11中所得12 1 kk aa ii II 和 例 12 中 n nn nn aa 2 11 lnln 2 1 1 1 1ln 1ln 1 nn aa nn 例 13 之法 2 所得都是进行递推放缩的关键式 naa nn 111 1 2 22 1 kk aa 八 分项讨论 生涯教育 高二数学 4 例 19 已知数列的前项和满足 n an n S 1 1 2 naS n nn 写出数列的前 3 项 求数列的通项公式 证明 对 n a 321 aaa n a 任意的整数 有 04 年全国卷 4 m 8 7111 54 m aaa 详细解析过程详细解析过程 例 1 证明 由题设得a2 ab b2 a b 于是 a b 2 a2 ab b2 a b 又a b 0 得 a b 1 又ab a b 2 而 a b 2 a b ab a b a b 2 即 a b 1 4 1 4 3 4 2 a b 所以a b 故有 1 a b 4 3 4 3 例 2 证明 因为 aabba b ba b a b a b22 2 2 2 2 3 4 222 同理 bbccb c 22 2 cacac a2 2 2 所以aabbbbcccacaabc 2222 22 3 2 例 3 证明 由于a b c为正数 所以 a bc a abc b ac b abc 所以 c ab c abc a bc b ac c ab a abc b abc c abc 1 又a b c为三角形的边 故b c a 则为真分数 则 a bc a bc a abc 2 同理 b ac b abc 2c ab c abc 2 故 a bc b ac c ab a abc b abc c abc 222 2 生涯教育 高二数学 5 综合得 12 a bc b ac c ab 例 4 证明 因为 1 2 1 221 nn nnnnn 则 1 1 2 1 3 n 1 23 2 12 21 1 2 nn 证毕 nn212 例 5 证明 因为 所以 nnnn 2 1 2 1n n n21an 又 2 1 1 nn nn 所以 综合知结论成立 2 1n 2 1n2 2 5 2 3 2 1n n 2 32 2 21 a 2 n 例 6 简析 本题有多种放缩证明方法 这里我们对 进行减项放缩 有 法 1 用数学归纳法 只考虑第二步 1 1 2212 1 2 2 2 1 2 kk a aa k k k 法 2 2 1 2 2 2 2 1 2 n n n na a aa 1 2 1 2 22 1 nkaa kk 则 1222 1 2 22 1 2 nnanaa nn 12 nan 例 7 解析 此数列的通项为 2 1 1 nkkkak 2 1 2 1 1 k kk kkk 2 1 11 n k n n k kSk 即 2 1 22 1 2 1 2 nnnn S nn n 注 应注意把握放缩的 度 上述不等式右边放缩用的是均值不等式 若 2 ba ab 放成则得 就放过 度 了 1 1 kkk 2 1 2 3 1 1 2 1 nnn kS n k n 生涯教育 高二数学 6 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式 这里 n aa n aa aa aa n nn n n n 22 11 1 1 11 其中 等的各式及其变式公式均可供选用 3 2 n 例 8 简析 由得 又 故1 11 ba baab 42 11 a b b a ba ba 而 4 baab nn n rrnr n n n n n n bCbaCbaCaCba 110 令 则 nnn babanf nf 因为 倒序相加得 1111 nn n rrnr n n n abCbaCbaC in n i n CC 2nf 111111 baabCbabaCabbaC nnn n rnrrrnr n nn n 而 则 1 2 1111 2422 n n nnnnrnrrrnnn babaabbabaabba 2nf 22 11rrnrnrnrrnrnrn n r nn babababaCCC 所以 即对每一个 22 n1 2 n nf 22 nn 2 Nn 12 22 nnnnn baba 例 9 简析 本题可以利用的有用结论主要有 法 1 利用假分数的一个性质可得 0 0 mab ma mb a b 12 2 5 6 3 4 1 2 n n n n 2 12 6 7 4 5 2 3 12 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n 即 12 12 2 5 6 3 4 1 2 2 n n n 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 法 2 利用贝努利不等式的一个特例 0 1 2 1 1 xxnNnnxx n 此处 得 12 1 21 12 1 1 2 kk12 1 2 k xn 12 1 1 12 12 12 1 1 1 kk k k n k 12 12 12 1 n k k n k 注 例 9 是 1985 年上海高考试题 以此题为主干添 枝 加 叶 而编拟成 1998 年全国高考 文科试题 进行升维处理并加参数而成理科姊妹题 如理科题的主干是 生涯教育 高二数学 7 证明 可考虑用贝努利不等式的特例 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 3 n 例 10 简析 本题可用数学归纳法证明 详参高考评分标准 这里给出运用柯西 不等Cauchy 式 的简捷证法 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 22 1 2 2 xfxf n nan xxxx2222 1 321 lg n nan xxxx 1 321 lg2 2 1 321 xxxx nan 1 321 2222xxxx nann 而由不等式得Cauchy 2 1 1312111 xxxx nan 时取等号 11 22 1 321 22222xxxx nan 0 x 得证 1 321 2222xxxx nann 10 a 例 11 解析 结合第问结论及所给题设条件 的结构特征 可得放 II Iln 1 xx 0 x 缩思路 n n n a nn a 2 11 1 2 1 n n n a nn aln 2 11 1ln ln 2 1 于是 n n nn a 2 11 ln 2 n nn nn aa 2 11 lnln 2 1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 1 1 1lnln 2 11 ln ln 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n i n i ii n i nn aa ii aa 即 2lnln 2 1 eaaa nn 注 题目所给条件 为一有用结论 可以起到提醒思路与探索放缩方ln 1 xx 0 x 向的作用 当然 本题还可用结论来放缩 2 1 2 nnn n 1 1 1 1 1 1 nn a nn a nn 1 1 1 1 1 1nn a nn a 1 1 1 1 1ln 1ln 1ln 1 nnnn aa nn 生涯教育 高二数学 8 1 1 1 1ln 1ln 1 1 1ln 1ln 2 1 2 1 1 2 n aa ii aa n n i ii n i 即 133ln1 1ln 2 eeaa nn 例 12 简析 当时 即2 n naa an aan na a nn n nn n n 111 11 1 1 1 naa nn 111 1 1 11 2 1 2 kaa n k kk n k 于是当时有3 n log 2 111 2 1 n aan log2 2 2n b b an 注 本题涉及的和式为调和级数 是发散的 不能求和 但是可以利用所 n 1 3 1 2 1 给题设结论来进行有效地放缩 log 2 11 3 1 2 1 2n n 引入有用结论在解题中即时应用 是近年来高考创新型试题的一个显著特点 有利于培养 学生的学习能力与创新意识 例 13 解析 引入一个结论 若则 证略 0 ab 1 11 abbnab nnn 整理上式得 1 1 nbanba nn 以代入 式得 n b n a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 1 n n 即单调递增 n a 以代入 式得 n ba 2 1 1 1 4 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 nn nn 此式对一切正整数都成立 即对一切偶数有 又因为数列单调递n 4 1 1 n n n a 增 所以对一切正整数有 n 4 1 1 n n 注 上述不等式可加强为简证如下 3 1 1 2 n n 利用二项展开式进行部分放缩 111 1 1 1 2 21 n n nnn n n n C n C n C n a 只取前两项有对通项作如下放缩 2 1 1 1 n Ca nn 2 1 221 1 111 11 1 kk k n kn kn n n n n kn C 生涯教育 高二数学 9 故有 3 2 11 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 11 1 12 n n n a 上述数列的极限存在 为无理数 同时是下述试题的背景 n ae 已知是正整数 且 1 证明 2 证明 nmi 1nmi i n ii m i AmAn 01 年全国卷理科第 20 题 1 1 mn nm 简析 对第 2 问 用代替得数列是递减数列 借鉴此结论可n 1n n nn nbb 1 1 有如下简捷证法 数列递减 且故即 1 1 n n 1nmi 1 1 11 nm nm mn nm 1 1 例 14 解析 用数学归纳法 当时显然成立 假设当时成立即 则当 i1 nkn 2 kak 时 成立 1 kn312 2 1 2 1 1 kkkkakaaa kkkk 利用上述部分放缩的结论来放缩通项 可得 ii12 1 kk aa 1 21 1kk aa 2 1 1 1 242 1 21 1 11 1 1 k k kkk k a aa 2 1 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 1 1 11 n i n i i n i a 注 上述证明用到部分放缩 当然根据不等式的性质也可以整体放缩 i 证明就直接使用了部分放缩的结论 31 2 2 1 kkkkak ii12 1 kk aa 例 15 解析 1 由得a 1nn afa 6 1 6 1 3 1 2 3 2 3 22 1 nnnn aaaa 且用数学归纳法 只看第二步 在是增函数 则得 0 n a 1kk afa 1 1 0 k ak 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 1 kkkk fafa kk 例 16 解析 构造函数易知在是增函数 2 1 x a xxf xf a 生涯教育 高二数学 10 当时在递增故1 kn k kk x a xx 2 1 1 a 1 a