第2章《圆锥曲线与方程-2-1-2

第第2章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2 3 1 导学案导学案 教学过程教学过程 一 问题情境 问题1 前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题 解 椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法 并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的 几何性质 问题2 下面我们来学习双曲线 应该先研究什么问题呢 解 先研究双曲线的标准方程 如何求双曲线的标准方程呢 如何建立直角坐标系 二 数学建构 1 标准方程的推导 设双曲线的焦距为2c 双曲线上任意一点到焦点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2 a c a 0 类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系 以直线F1F2为x轴 线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系 则F1 c 0 F2 c 0 设 P x y 为双曲线上任意一点 由双曲线定义知 PF1 PF2 2a 即 2a 1 在化简到 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 时 结合双曲线定义中2a0 b 0 c2 a2 b2 若焦点在y轴上 则焦点是F1 0 c F2 0 c 由双曲线定义得 2a 与焦点在x轴上的双曲线方程 2a比较 它们的结构有什么异 同点 解 结构相同 只是字母x y交换了位置 故求焦点在y轴上的双曲线方程时 只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x y互换即 可 易得 1 其中a 0 b 0 c2 a2 b2 2 双曲线标准方程的特点 1 双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种 当焦点在x轴上时 双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 当焦点在y轴上时 双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 2 a b c有关系式c2 a2 b2成立 且a 0 b 0 c 0 其中a与b的大小关系可以为a b ab 3 根据双曲线的标准方程判断焦点的位置 从椭圆的标准方程不难看出 椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2 y2项的分母的大 小来确定 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负 来判断焦点所在的位置 即x2项的系数是正的 那么焦点在x轴上 y2项的系数是正的 那 么焦点在y轴上 三 数学运用 例 1 讨论表示何种圆锥曲线 它们有何共同特征 1 925 22 k y k x 分析 由于 则的取值范围为 分别进行9 k25 kk9 k259 k25 k 讨论 解 1 当时 所给方程表示椭圆 此时 9 k025 k09 kka 25 2 这些椭圆有共同的焦点 4 0 4 0 kb 9 2 16 222 bac 2 当时 所给方程表示双曲线 此时 259 k025 k09 k 这些双曲线也有共同的焦点ka 25 2 kb 9 2 16 222 bac 4 0 4 0 3 k 25 时 所给方程没有轨迹 9 k25 k 例 2 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 过点 且焦点 4 15 3 P 5 3 16 Q 在坐标轴上 2 经过点 5 2 焦点在轴上 3 与双曲线有相同焦6 cx1 416 22 yx 点 且经过点 223 解 1 设双曲线方程为 两点在双曲线上 解1 22 n y m x PQ 1 25 9 256 1 16 2259 nm nm 得 9 16 n m 所求双曲线方程为 1 916 22 yx 2 焦点在轴上 设所求双曲线方程为 其中x6 c1 6 22 yx 60 双曲线经过点 5 2 或 舍去 所1 6 425 5 30 求双曲线方程是 1 5 2 2 y x 3 设所求双曲线方程为 双曲线过点 1601 416 22 yx 223 1 4 4 16 18 或 舍 所求双曲线方程为4 14 1 812 22 yx 例3 已知A B两地相距800 m 一炮弹在某处爆炸 在A处听到爆炸声的时间 比在B处晚2 s 设声速为340 m s 1 爆炸点应在什么样的曲线上 2 求曲线的方程 5 处理建议 引导学生联想双曲线的定义 并建立合适的直角坐标系 例3 规范板书 解 1 由声速及A B两处听到爆炸声的时间差 可知A B两处与爆炸 点的距离的差 因此爆炸点应位于以A B为焦点的双曲线上 因为爆炸点离A处比离B处更远 所以爆炸点应在靠近B处的一支上 2 如图 建立直角坐标系xOy 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 设爆炸点P的坐标为 x y 则PA PB 340 2 680 即2a 680 a 340 又AB 800 所以2c 800 c 400 b2 c2 a2 44 400 因为PA PB 680 0 所以x 0 故所求曲线的方程为 1 x 0 题后反思 解此类实际问题的关键是 能根据条件联想 构造出合适的数学模型 这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的 对圆锥曲线而言 必须熟悉其相关定义 定义 既是建构数学知识的基石 也是解答数学问题的重要工具 因此 在研究某些几何或实际问 题时 若能活用双曲线的定义 则不仅可深化学生对双曲线概念的理解 还能提高其分析 问题 解决问题的能力 本例亦可扩展为 确定爆炸点的位置 参见本课时学生用书 课后练 习本 第12题 四 课堂练习 1 已知双曲线的右焦点分别为 点在双曲线上的左支上且1 169 22 yx 1 F 2 FP 求 32 21 PFPF 21PF F 解 点在双曲线的左支上 P 6 21 PFPF362 21 2 2 2 1 PFPFPFPF100 2 2 2 1 PFPF 10044 1222 2 21 bacFF 90 21 PFF 说明 点在双曲线的左支上 这个条件非常关键 若将这一条件改为 点在双曲线上 PP 结论如何改变呢 2 已知 是双曲线的两个焦点 点在双曲线上且满足 1 F 2 F1 4 2 2 y x P 90 21 PFF 求的面积 21PF F 解 为双曲线上的一个点且 为焦点 P1 4 2 2 y x 1 F 2 F42 21 aPFPF 522 21 cFF 在中 90 21 PFF 21F PFRt 20 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 162 21 2 2 2 1