2012年高考数学一轮复习 单元能力测试卷10B

用心 爱心 专心 1 第十章第十章 单元能力测试卷单元能力测试卷 B B 版版 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 如右图所示 是一个正方体的表面展开图 A B C均为棱的中点 D是顶点 则在 正方体中 异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 A B 2 5 3 5 C D 10 5 5 5 答案 C 解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示 EGF为AB和CD所成的角 F为 正方体一棱的中点 EF GF EG 5 22 cos EGF 10 5 2 空间四点A B C D满足 3 7 11 9 则 的取 AB BC CD DA AC BD 值 A 只有一个 B 有两个 C 有四个 D 有无穷多个 答案 A 用心 爱心 专心 2 解析 注意到 32 112 72 92 130 由于 0 则 AB BC CD DA 2 2 2 DA DA AB BC CD 2 2 2 2 AB BC CD AB BC BC CD CD AB 2 2 2 2 2 AB BC CD BC AB BC BC CD CD AB 2 2 2 2 AB BC CD AB BC BC CD 即 2 2 2 2 2 0 所以 只有一个值 0 故选 A AC BD AD BC AB CD AC BD 3 在半径为 10 cm 的球面上有A B C三点 且AB 8 cm ACB 60 则球心O 3 到平面ABC的距离为 A 2 cm B 4 cm C 6 cm D 8 cm 答案 C 解析 设平面ABC对应的小圆圆心为M 即三角形ABC的外接圆的圆心 设小圆的半径 为r 根据正弦定理有 2r r 8 cm AB sin ACB 8 3 sin60 根据球体的性质OM 平面ABC 即球心O到平面ABC的距离d OM 且三角形OCM为直 角三角形 所以d d d 6 cm 选 C R2 r2102 82 4 已知直线m n l和平面 下列条件中 能推出 的是 A m n m n B m m C m n m n D 答案 B 解析 如果两个平面垂直于同一条直线 那么这两个平面平行 本题也可以通过反例否定错误选项 从而筛选出正确结论 例如 对于 A 如果 l m l n l 那么 与 不平行 对于选项 C 当 与 相交时 存在直线m n 用心 爱心 专心 3 使得m n 从而可排除 C 对于选项 D 设 为正方体相邻两个侧面 为底面 则满足 但 与 不平行 从而可剔除 D 5 如右图所示 正四棱锥P ABCD的底面积为 3 体积为 E为侧棱PC的中点 则 2 2 PA与BE所成的角为 A B 6 4 C D 3 2 答案 C 解析 连结AC BD交于点O 连结OE 易得OE PA 所求角为 BEO 由所给条件易得OB OE PA BE cos OEB OEB 60 选 6 2 1 2 2 22 1 2 C 6 已知平面 平面 m是 内一条直线 n是 内一条直线 且m n 那么 m n m 或n m 且n 这四个结论中 不正确的三个是 A B C D 答案 B 解析 对于结论 可用反证法证明其正确性 假设m 和n 都不成立 因为m n 根据三垂线定理的逆定理 m垂直于n在 上的射影 由于m和n不可能都与 的交线平行 不妨设n与 的交线不平行 从而n与它在 上的射影相交 故m 这与假设矛盾 故m 或n 7 正三棱锥P ABC中 M N是侧棱PB PC的中点 若截面AMN垂直于侧面PBC 则 棱锥的侧面积与底面积的比为 A 1 B 223 C 2 D 1 36 用心 爱心 专心 4 答案 D 解析 如右图所示 M N为正三棱锥的侧棱PB PC之中点 MN BC AM AN 设MN的中点为F 连结AF 连结PF并延长交BC于E 连结AE 则E为BC的中点 平面AMN 侧面PBC 而MN 平面AMN 平面PBC AF PE 又F为PE之中点 PA AE 设底面边长为a 斜高为h 则S侧 3a h S底 a2 1 2 3 4 又PB PA AE a BE a 3 2 1 2 h PE a PB2 BE2 2 2 1 S侧 S底 1 2 3a h 3 4 a2 1 2 3a 2 2 a 3 4 a2 6 8 位于北纬x度的A B两地经度相差 90 且A B两地间的球面距离为R R为地 3 球半径 那么x等于 A 30 B 45 C 60 D 75 答案 B 解析 记球心为点O 依题意得 AOB OA OB R 因此AB R 又A B两地经度 3 相差 90 因此A B两地所在的纬线圈的半径是R x 45 选 B 2 2 9 ABCD A1B1C1D1为正方体 点P在线段A1C1上运动 异面直线BP与AD1所成角为 则 的取值范围是 A 0 B 0 2 2 用心 爱心 专心 5 C 0 D 0 3 3 答案 D 解析 因为AD1 BC1 所以BP与AD1所成的角 C1BP 因为P在A1C1上运动 所以 0 故选 D 3 10 如右图所示的多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得 的 且B1B D1D 已知截面AB1C1D1与底面ABCD成 30 的二面角 AB 1 则这个多面体的体 积为 A B 6 2 6 3 C D 6 4 6 6 答案 D 解析 将多面体补形 补成一个高为CC1 的正四棱柱 则V棱柱 2V多 又 截面与底面成 30 C1AC 30 在 Rt ACC1中 AC 2 C1C tan30 2 3 32 6 3 V柱 SABCD CC1 6 3 V多 V柱 1 2 6 6 11 半径为 4 的球面上有A B C D四点 且满 足 0 0 0 则 ABC ACD ADB面积之和S ABC S ACD S AB AC AD AC AB AD ADB的最大值为 A 8 B 16 C 32 D 64 答案 C 解析 设AB a AC b AD c 用心 爱心 专心 6 则S ABC S ACD S ADB ab ac bc 1 2 1 2 a2 b2 2 a2 c2 2 b2 c2 2 a2 b2 c2 1 2 4R2 4 42 32 1 2 1 2 当且仅当a b c时取 12 二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都 垂直于AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 CD 2 则该二面角的大小为 17 A 150 B 45 C 60 D 120 答案 C 解析 由条件 知 0 0 2 2 2 CA AB AB BD CD CA AB BD CD CA AB 2 2 2 2 62 42 82 2 6 8cos 2 2 cos BD CA AB AB BD CA BD CA BD 17 120 二面角的大小为 60 故选 C CA BD 1 2 CA BD 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 已知 ABC的顶点坐标为A 1 1 1 B 2 2 2 C 3 2 4 则 ABC的面积是 答案 6 2 解析 1 1 1 2 1 3 AB AC cos sinA AB AC 6 3 14 42 7 7 7 因为S ABC sinA 1 2 AB AC 1 2 3 14 7 7 6 2 14 已知正方体ABCD A1B1C1D1棱长为 1 点P在线段BD1上 当 APC最大时 三棱锥 P ABC的体积为 答案 1 18 用心 爱心 专心 7 解析 以B为坐标原点 BA为x轴 BC为y轴 BB1为z轴建立空间直角坐标系 设 可得P 再由 cos APC 可求得当 时 APC最大 BP BD1 AP CP AP CP 1 3 故VP ABC 1 1 1 3 1 2 1 3 1 18 15 已知四边形ABCD中 a 2c 5a 6b 8c 对角线AC BD的中点分别为 AB CD E F则 EF 答案 3a 3b 5c 解析 又 两式相加 得 EF EA AB BF EF EC CD DF 2 EF EA EC AB CD BF DF 因为E是AC中点 故 0 EA EC 同理 0 BF DF 所以 2 a 2c 5a 6b 8c 6a 6b 10c EF AB CD 3a 3b 5c EF 16 如图是一几何体的平面展开图 其中ABCD为正方形 E F 分别为PA PD的中点 在此几何体中 给出下面四个结论 直线BE与直线CF异面 直线BF与直线AF异面 直线EF 平面PBC 平面BCE 平面PAD 其中正确的有 个 答案 2 用心 爱心 专心 8 解析 将几何体展开拼成几何体 如图 因为E F分别为PA PD的中点 所以EF AD BC 即直线BE与CF共面 错 因为 B 平面PAD E 平面PAD E AF 所以BE与AF是异面直线 正确 因为 EF AD BC EF 平面PBC BC 平面PBC 所以EF 平面PBC 正确 平面PAD与平面 BCE不一定垂直 错 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 如右图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD PB与底面 所成的角是 30 BAD 90 AB CD AD CD a AB 2a 1 若AE PB于E 求证 DE PB 2 求异面直线AE与BC的夹角的余弦 解析 1 以A为原点 AB AD AP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 PA 平面ABCD PBA是PB与底面ABCD所成的角 PBA 30 PA a 2 3 3 A 0 0 0 B 2a 0 0 D 0 a 0 P 0 0 a 2 3 3 0 a 0 2a 0 a AD PB 2 3 3 0 a 0 2a 0 a 0 AD PB 2 3 3 又 PB AD PB AE PB 平面ADE PB DE 2 过E作EF AB于F AE a EF a AF a E a 0 a 3 2 1 2 1 2 3 2 a 0 a AE 1 2 3 2 又C a a 0 a a 0 BC 用心 爱心 专心 9 设与BC的夹角是 则 AE cos AE BC AE BC 2 4 异面直线AE与BC的夹角的余弦是 2 4 18 本小题满分 12 分 如右图所示 直三棱柱ABC A1B1C1 底面 ABC中 CA CB a BCA 90 AA1 2a M N分别是A1B1 A1A的中点 1 求BN的长 2 求 cos BA1 CB1 3 求证 A1B C1M 解析 以C为原点建立空间直角坐标系 1 B 0 a 0 N a 0 a BN a a 0 2 0 a 2 a 0 23 2 A1 a 0 2a C 0 0 0 B1 0 a 2a a a 2a 0 a 2a a 0 a a 2a 2a 3a2 BA1 CB1 BA1 CB1 a BA1 a 0 2 0 a 2 2a 0 26 a CB1 0 0 2 a 0 2 2a 0 25 cos BA1 CB1 BA1 CB1 BA1 CB1 3 6 5 30 10 3 C1 0 0 2a M 2a 0 a a 2a a 2 a 2 C1M a 2 a 2 A1B a a 2a 0 0 A1B C1M a 2 a 2 A1B C1M A1B C1M 19 本小题满分 12 分 已知M N分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱B1C1和B1B的中 用心 爱心 专心 10 点 1 求MN与A1C1所成角的大小 2 求MN与平面ACC1A1所成角的大小 解析 1 设正方体的棱长为 1 建立直角坐标系D xyz 如图 则A1 1 0 1 C1 0 1 1 M 1 1 N 1 1 1 2 1 2 0 1 1 0 MN 1 2 1 2 A1C1 cos MN A1C1 MN A1C1 MN A1C1 1 2 2 2 2 1 2 120 MN A1C1 而异面直线所成角在 0 90 内 MN与A1C1成 60 角 2 设平面ACC1A1的法向量n 1 则n 1 0 0 1 AA1 0 0 又n AC 1 1 1 0 0 a 1 n 1 1 0 cos n MN n MN n MN 1 2 n 60 MN MN与面ACC1A1成 30 角 20 本小题满分 12 分 如右图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是正方形 PA 底面 ABCD 且PA AD 2 点M N分别在棱PD PC上 且 PM MD PN 1 2NC 用心 爱心 专心 11 1 求证 PC AM 2 求证 PC 平面AMN 3 求二面角B AN M的大小 解析 1 证明 因为四棱锥P ABCD的底面是正方形 PA 底面ABCD 故建立如右图 所示的空间直角坐标系A xyz 又PA AD 2 则有P 0 0 2 D 0 2 0 M 0 1 1 C 2 2 0 2 2 2 0 1 1 PC AM 0 2 2 0 PC AM PC AM 2 证明 设N x y z 则有 PN 1 2NC x 0 2 x x 同理可得y z 即N 1 2 2 3 2 3 4 3 2 3 2 3 4 3 由 0 PC AN PC AN 4 3 4 3 8 3 又 PC AM AM AN A PC 平面AMN 3 解 连接BN 设平面BAN的法向量为n x y z 由Error 取n 0 2 1 而 2 2 2 为平面AMN的法向量 PC cos n PC n PC n PC 4 2 5 12 15 5 结合图形可知 所求二面角B AN M的大小为 arccos 15 5 21 本小题满分 12 分 2010 重庆卷 文 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩 形 PA 底面ABCD PA AB 点E是棱PB的中点 2 用心 爱心 专心 12 1 证明 AE 平面PBC 2 若AD 1 求二面角B EC D的平面角的余弦值 解析 1 如图 由PA 底面ABCD 得PA AB 又PA AB 故 PAB为等腰直角三角形 而点E是棱PB的中点 所以AE PB 由题意知BC AB 又AB是PB在平面ABCD内的射影 由三垂线定理得BC PB 从而 BC 平面PAB 故BC AE 因为AE PB AE BC 所以AE 平面PBC 2 由 1 知BC 平面PAB 又AD BC 得AD 平面PAB 故AD AE 在 Rt PAB中 PA AB AE PB 1 从而在 Rt DAE中 DE 2 1 2 1 2PA2 AB2AE2 AD22 在 Rt CBE中 CE 又CD 所以 CED为等边三角形 取CE的中 BE2 BC222 点F 连接DF 则DF CE 因为BE BC 1 且BC BE 则 EBC为等腰直角三角形 连接BF 则BF CE 所以 BFD为二面角B EC D的平面角 连接BD 在 BFD中 DF CD sin BF CE BD 3 6 2 1 2 2 2BC2 CD23 所以 cosBFD DF2 BF2 BD2 2 DF BF 3 3 故二面角B EC D的平面角的余弦值为 3 3 22 本小题满分 12 分 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1的底面是以 C为直角的 等腰直角三角形 AC BC CC1 2 M N分别在棱CC1 A1B1上 N是A1B1的中点