矩阵在初等几何中的应用

第 1 页 共 10 页 矩阵在初等几何中的应用 摘 要 矩阵不仅是线性代数的一个重要研究对象 而且也是数学中一个极其重要的应用广泛的概念 本文应用矩阵的知 识来探讨初等数学中的某些问题 例如 反射与旋转 伸缩与平移 投影与推移等等 通过一些例子归纳总结了矩阵方法的一 些优点 最后简述了矩阵在其他一些数学学科的应用 关键词 矩阵 初等几何 应用 引言 线性代数是大学最重要的基础课程之一 在线性代数中 矩阵是一个主要研究对象 不 但在线性方程组中运用到矩阵 还有其他各种各样的问题也都提出了矩阵的概念 并且这些 问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究 表面上完全没有联系的问题 归结成矩 阵问题以后都是相同的 1 一般而言 所谓矩阵方法是指使用 矩阵观点来看待问题 并用矩阵的语言描述并分 析相关问题 最终解决问题 2 在高中学过的一些内容如反射旋转和伸缩平移等等 本文将 用矩阵的方法来分析这些初等几何问题 并给出相关例子 最后用矩阵的方法来解决一些具 体生活实例 一 矩阵在初等几何中的简单应用 在初等几何中有一些简单的变换可以用矩阵来表示 例如 反射 旋转 伸缩 投影 推移等等 一 反射 将平面上任何一点变换到以直线为对称轴的对称点 则称此变换为平面的反射变PL 换 从中学的知识中知道 若以轴为对称轴 将点反射为点 如图 1 x P x y Pxy 若用函数来表示此变换 点为函数内的点 则可表示为fPff f 22 RR f x yxy 如果用矩阵乘法来表示 则此变换又可表示为 f 10 01 xxx yyy 第 2 页 共 10 页 此处的点以表示 P x y T x y 例 例 若将任意一点以轴为对称轴进行反射 分别用函数和矩阵的方法来表 P x yy 示 若以轴为对称轴进行反射呢 yx 解解 以轴为对称轴时 若用函数方法来表示 设为函数中的点 则可表示y P x ygg 为 g 22 RR g x yx y 若用矩阵的方法来表示 则可表示为 g 10 01 xxx yyy 其中点以表示 P x y T x y 以轴为对称轴时 用函数的方法来表示 设为函数中的点 则可表示为yx P x yhh h 22 RR h x yy x 若用矩阵的方法来表示 则可表示为 h 01 10 xxy yyx 其中点以表示 P x y T x y 二 旋转 将平面上任何一点绕原点旋转一个固定角 变换到另一点 此变换称为平面上的P P 一个旋转变换 如果将原来的点坐标设为 旋转一个角以后 将所得的点的坐标P x y P 设为 如图 2 x y P P 图 1 O x y 第 3 页 共 10 页 x y P P O 而新旧坐标的关系如下 将点变换到 好比是点不动而将坐标轴旋转一样 因此 P x y Px y P xxcosysin yxsinycos 也就是 xxcosysin yxsinycos 如果应用矩阵表示为 xcossinx ysincosy 这里的点表示为 点表示为 P T x y P T x y 如果用函数表示则为h h 22 RR h x yxcosysinxsinycos 用矩阵乘法则表示为 h 22 RR xcossinx h ysincosy 在这样的旋转变换下 所有的几何图形也都不会变形 只是位置变化而已 例例 2 2 令为将平面上任何一点绕原点旋转的旋转变换 设直线方程为fP 6 L 求直线经变换下得到的另一条直线的方程式 34xy Lf L 解解 因为该变换是将直线上的点绕原点旋转 通过上面的分析可以将该旋转变换P 6 用矩阵表示为 3131 662222 1313 66 2222 cossinxy xxx f yyy sincos xy 则我们可以取 上的任意两点和 则有L34xy 3 1 0 4 图 2 第 4 页 共 10 页 31 31 1 3 22 13 13 31 22 f 31 04 2 0 22 4 2 3 13 04 22 f 因此过及两点 通过两点式可以得到方程式为 L 1 3 2 2 3 L 2 33 2 32 2 1 yx 即 34xy 例例 3 3 已知圆锥曲线方程为 经旋转后得到另一个曲线C 22 251425288xxyy 4 求曲线的方程式 C C 解解 由题意得到 故上面的旋转分析可得 4 1 442 xx cosy sinxy 1 442 yx siny cosxy 因此新方程式为 C 22 1111 251425288 2222 xyxyxyxy 化简为 或 22 1832288xy 22 1 169 xy 三 伸缩 推移 投影 若将平面上任何一点变换成 此处 为两个正数 则此变换为伸 P x y P ax by ab 缩变换 如果用函数来表示此变换则有k k 0 0 xax yby 假设现在存在一个变换为 1 k 1 k 22 RR 1 202 01 xxx k yyy 此变换将任何一点转换成 即横坐标放大两倍但纵坐标保持不变 这种变 P x y 2 Px y 第 5 页 共 10 页 换又称为伸展 所表示的变换是将图形沿轴正方向放大两倍 如图 3 1 kx xx y y OO P x y 2 Px y 类似存在变换 2 k 2 k 22 RR 2 10 1 0 22 x xx k y yy 此变换将任何一点转换成 即横坐标不变但纵坐标缩小一半 这种变换又 P x y 2 y Px 称为收缩 所表示的变换是将图形沿轴正方向缩短为原来的一半 2 ky 若将平面上任何一点变换成 此处为一常数 则此变换称为一个推 P x y Pxay y a 移变换 设存在变换为k k 11 01 xxxy yyy 则所表示的变换为一推移变换 这一变换会将一个长方形区域向右推移成一个平行四边k 形区域 如图 4 OO xx y y P x y P xy y 图 4 若将平面上任何一点投影到一直线上 则将此变换称为投影 设变换 P x yL 1 k 图 3 第 6 页 共 10 页 1 k 10 000 xxx yy 即为点投到轴上的投影变换 而所得的点即为投影后得到的点 P x yx 0Px 同理存在变换 2 k 2 k 000 01 xx yyy 即为点投到轴上的投影变换 而所得的点即为投影后得到的点 而点 P x yy 0 Py 投到直线 上的投影则可以用变换来表示 P x yLymx 3 k 3 k 22 2 1 11 m xx mm yy mm 二 矩阵在一些复杂几何难题中的应用 在一些复杂的几何难题中 用其他办法会显得繁琐 而用线性代数的相关方法就可以 使问题得到简便地解决 例例 4 4 一条马路上有 8 个车站 设起始站为 按次序设末站为 今有一辆可载客 1 a 8 a 11 人的中巴由驶向 沿途各站可自由上下乘客 试证 在此 8 站中至少有两对 四个不 1 a 8 a 同的 车站 使得既没有乘客在站上而在站下 在前 也没有 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 1 B 1 A 1 B 乘客在站上而在站下 在之前 2 A 2 B 2 A 2 B 证明证明 考虑汽车从驶向时车上的载客情况 这时从前面站上车到后面站下车的乘 4 a 5 a 客都在车上 我们用一个四阶矩阵来表示乘客的上下车情况 则有A 15161718 25262728 35363738 45464748 aaaa aaaa A aaaa aaaa 若有乘客从 1 2 3 4 上而到 5 6 7 8 下 记为 否则 若 i ai j aj1 ij a 0 ij a 第 7 页 共 10 页 1010 0101 0000 1101 A 则表示从站上来的乘客有人要从站下的 表示从站上来的乘客没有人 15 1a 1 a 5 a 16 0a 1 a 要在站下来 6 a 由于中巴最多载客 11 人 故中其值为 1 的元素的个数不超过 11 个 亦即中A ij a ij a 的个数不少于 5 个 5 4 则他们不可能位于同一行 也不可能位于同一列上 因此至0 ij a 少有两个 0 位于不同行不同列上 则至少有两对 四个不同的 车站 1 A 1 B 2 A 2 B 使得既没有乘客在站上而在站下 在前 也没有乘客在站上而在站下 1 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 在之前 2 A 2 B 例例 5 5 已知边长为 4 的正方形纸板被画成 16 块等大小的边长为 1 的小正方形 其中最 左上角和最右下角被剪去 则还剩下如图 5 所示的 14 个正方块 试证 无论如何剪裁 均 不可能刚好裁成 7 块同大小的矩形 长为 2 宽为 1 证明证明 如图 5 的 14 个正方形 我们分别用来表示 其中 表示小正方形所 ij a1 2 3 4i 在的行 表示小正方形所在的列 如果非零表示该小正方形存在 则且1 2 3 4j ij a 11 0a 其余元素非零 在此用一个四阶矩阵代表上表的情况 则 44 0a A 121314 21222324 31323334 414243 0 0 aaa aaaa A aaaa aaa 图 5 第 8 页 共 10 页 由于长为 2 宽为 1 的矩形是由两个相连的小正方形组成 则仅有下面两种情况 1 可由同行相连的和组成 ij a 1ij a 2 可由同列的相连的两行和组成 ij a 1ij a 考虑两种情况下两元素的下标和 1 为 2 为 均为奇数 则若221ij 221ij 能让能够剪裁成 7 块同大小的长为 2 宽为 1 的矩形 其下标和应该仍为奇数 而 2217ij 中非零的 14 个元素下标和为 是偶数 故无论如何剪裁均不可能A 44 11 442870 ij ij 刚好裁成 7 块同大小的长为 2 宽为 1 的矩形 例例 6 某省对城乡人口流动做年度调查 发现每年农村居民的移居城镇 而城镇居 00 20 民的流入农村 假如城乡总人口保持不变 并且人口流动的这种趋势继续下去 那么最 00 10 终该省的城镇人口与农村人口的分布是否会趋于一个 稳定状态 解解 设该省人口总数为 令第 年城镇人口为 农村人口为 则一年以后设城镇mi i x i y 人口为 农村人口为 且 1 x 1 y 00 00 100 9020 xxy 00 00 100 9020yxy 写成矩阵形式为 01 01 0 90 2 0 10 8 xx yy 则两年以后有 2 021 021 0 90 20 90 2 0 10 80 10 8 xxx yyy 十年以后有 10 100 100 0 90 2 0 10 8 xx yy 那么年以后有k 0 0 0 90 2 0 10 8 k k k xx yy 事实上 它给出了一个差分方程 现在来解这个差分方程 首先 0 90 2 0 10 8 A 年之后的分布 即k 第 9 页 共 10 页 00 00 11 10 21 33 111200 7 33 kk k k xxx A yyy 可化简为 00 00 21 20 7 33 11 20 7 33 k k k k mxy x y mxy 注意到 2 lim 3 k k xm 1 lim 3 k k ym 则最终在总人口不变的情况下城镇人口与农村人口的分布会趋于一个 稳定状态 上面几个例子用初等数学的方法并不容易解决 而用矩阵的方法则显得简便易懂 三 矩阵在其他方面的应用 矩阵的应用牵涉无尽 比如纯粹数学的泛函分析 群表示论 线性微分差分方程 运 筹学的线性规划 图论以及概率论中的多元分析等 可以说矩阵在数学的各个方面都有精 彩的表现 3 4 下面举一个用矩阵求解线性方程组的例子 例例 7 7 解该线性方程组 1234 234 124 234 2344 3 31 733 xxxx xxx xxx xxx 解解 12 34 4 0 11 13 1 3011 07 313 A 31 rr 12 34 4 0 11 13 0 53 53 0 7313 12 32 42 2 5 7 rr rr rr 1 0 122 0 11 13 0 0 2012 0 04 824 13 23 43 3 1 2 1 2 2 1 2 rr rr rr r 1 0 028 0 1 0 13 0 0 1 06 0 0 0 80 4 14 24 1 8 2 r rr rr 1 0 0 08 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0 故原方程组有惟一解 4rankArankA 1 8x 2 3x 3 6x 4 0 x 在初等数学中解这个线性方程组会用消元法 这里用矩阵表示出该线性方程组 再 第 10 页 共 10 页 利用矩阵的转换来解出这个线性方程组 结束语 随着科学的发展 我们不仅要研究单个变量之间的关系 还要进一步研究多个变量之间 的关系 各种实际问题在很多情况下可以线性化 而由于计算机的发展 线性化了的问题又可 以计算出来 矩阵正是解决这些问题的有力工具 5 矩阵所体现的几何观念与代数方法之间 的联系 从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证 巧妙的归纳综合等 对于 强化人们的数学训练 增益科学智能是非常重要的 参考文献 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 第三版 北京 高等教育出版社 2007 162 162 2 王林生 关于线性代数的核心内容 方法和能力 湖北大学成人教育学院学报 2005 23 2 75 80 3 李治 孙逊 线性代数方法在概率论问题中的渗透 科教文汇 2008 3 197 19