江西省吉安县二中2013届高三数学5月第四次周考试题（文、理）

1 20132013 届江西省吉安县二中五月第四次周考数学试卷届江西省吉安县二中五月第四次周考数学试卷 文理通用文理通用 注注意意事事项项 1 本试卷共 160 分 考试用时 120 分钟 2 答题前 考生务必将自己的学校 姓名 考试号写在答题卡上 考试结束后 交回答 题卡 参参考考公公式式 样本数据x1 x2 xn的方差s2 xi 2 其中 xi 1 n x x 1 n 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 请把答案填写在答题卡相应位置分 请把答案填写在答题卡相应位置 上 上 1 记函数f x 的定义域为A 函数g x lg x 1 的定义域为B 则A B 3 x 2 已知复数z满足 z 1 i 3 5i 其中 i 为虚数单位 则 z 3 某算法的伪代码如图所示 若输出y的值为 3 则 输入x的值为 4 右图是 7 位评委给某作品打出的分数的茎叶图 那么 这组数据的方差是 5 已知函数f x 2sin x 0 的部分图象如图所示 则 6 在一个盒子中有分别标有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片 现从中一次取出 2 张卡片 则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 7 在平面直角坐标系xOy中 已知 3 1 0 2 若 0 OA OB OC AB AC OB 则实数 的值为 8 已知m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 若m m 则 若m n 则m n 若m n 则m n 若m m n 则m n 上述命题中为真命题的是 填写所有真命题的序号 Read x If x 0 Then y x 2 Else y log2x End If Print y 第 3 题 8 8 9 9 9 0 1 1 2 第 4 题 x O y 3 8 15 8 2 第 5 题 2 9 如图 在 ABC中 B 45 D是BC边上一点 AD 5 AC 7 DC 3 则AB的长为 10 记定义在 R R 上的函数y f x 的导函数为f x 如果存在x0 a b 使得f b f a f x0 b a 成立 则称x0为函数f x 在区间 a b 上的 中值点 那么函 数f x x3 3x在区间 2 2 上 中值点 的个数为 11 在平面直角坐标系xOy中 点F是双曲线C 1 a 0 b 0 的右焦点 过F作 x2 a2 y2 b2 双曲线C的一条渐近线的垂线 垂足为A 延长FA与另一条渐近线交于点B 若 2 则双曲线的离心率为 FB FA 12 在平面直角坐标系xOy中 已知圆C x2 y2 6 2m x 4my 5m2 6m 0 直线l经 过点 1 0 若对任意的实数m 定直线l被圆C截得的弦长为定值 则直线l的方程为 13 已知数列 an 的通项公式为an n p 数列 bn 的通项公式为bn 2n 5 设cn 若在数列 cn 中 c8 cn n N N n 8 则实数p的取值范围是 an an bn bn an bn 14 设点P是曲线y x2上的一个动点 曲线y x2在点P处的切线为l 过点P且与直线l 垂直的直线与曲线y x2的另一交点为Q 则PQ的最小值为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 0 且 tan 2 cos 72 10 1 求 cos2 的值 2 求 2 的值 A BDC 第 9 题 3 16 本小题满分 14 分 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 A1A AC D E F分别为线段AC A1A C1B的 2 中点 1 证明 EF 平面ABC 2 证明 C1E 平面BDE 17 本小题满分 14 分 已知函数f x m x 1 2 2x 3 lnx m R R 1 2 1 当m 0 时 求函数f x 的单调增区间 2 当m 0 时 若曲线y f x 在点P 1 1 处的切线l与曲线y f x 有且只有一个 公共点 求实数m的值 18 本小题满分 16 分 将一张长 8cm 宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠 折痕 线段 将纸片分成两部 分 面积分别为S1cm2 S2cm2 其中S1 S2 记折痕长为lcm 1 若l 4 求S1的最大值 A B C D E C1 A1 B1 F 第 16 题 4 2 若S1 S2 1 2 求l的取值范围 19 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C 1 x2 m y2 8 m 1 若椭圆C的焦点在x轴上 求实数m的取值范围 2 若m 6 P是椭圆C上的动点 M点的坐标为 1 0 求PM的最小值及对应的点P的坐 标 过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线 交椭圆C于A B两点 线段AB 的垂直平分线l交x轴于点N 证明 是定值 并求出这个定值 AB FN 20 本小题满分 16 分 记等差数列 an 的前n项和为Sn 1 求证 数列 是等差数列 Sn n 2 若a1 1 且对任意正整数n k n k 都有 2成立 求 Sn kSn kSn 数列 an 的通项公式 3 记bn a a 0 求证 an b1 b2 bn n b1 bn 2 5 注注意意事事项项 1 附加题供选考物理的考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 3 答题前 考生务必将自己的学校 姓名 考试号写在答题卡上 考试结束后 交回 答题卡 2121 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题 每小题题 每小题 1010 分 共分 共 2020 分 分 请在答题卡请在答题卡 指定区域内指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 PA PB是 O的切线 切点分别为A B 线段OP交 O于点C 若 PA 12 PC 6 求AB的长 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵M M 对应的变换将点A 1 1 变为A 0 2 将曲线C xy 1 变为 1 a b 1 曲线C 1 求实数a b的值 2 求曲线C 的方程 C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已知圆C的极坐标方程为 4cos 点M的极坐标为 6 直线l过点 6 6 M 且与圆C相切 求l的极坐标方程 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解不等式x x 4 3 0 A B P O C 第 21 题 A 6 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共分 共 2020 分 分 请在答题卡指定区域内请在答题卡指定区域内作答 解答应作答 解答应 写出文字说明 证明过程或演算步骤 写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 三棱锥P ABC中 已知PA 平面ABC ABC是边长为 2 的正三角形 D E分 别为PB PC中点 1 若PA 2 求直线AE与PB所成角的余弦值 2 若平面ADE 平面PBC 求PA的长 23 本小题满分 10 分 如图 一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为 刚开始 1 3 时 棋子在上底面点A处 若移了n次后 棋子落在上底面顶点的概率记为pn 1 求p1 p2的值 2 求证 1 4Pi 1 n2 n 1 AB C D E F 第 23 题 A B B C B E B D B P B 第 22 题 7 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2013 052013 05 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果 后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 分 1 1 3 2 5 3 8 4 5 12 7 2 3 6 7 2 8 9 10 2 7 10 11 2 12 2x y 2 0 13 12 17 14 Error Error NoNo bookmarkbookmark namename given given 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 解解 1 方法一 因为 tan 2 所以 2 即sin 2cos sin cos 2 分 又 sin2 cos2 1 解得sin2 cos2 4 5 1 5 4 分 所以 cos2 cos2 sin2 3 5 6 分 方法二 因为 cos2 cos2 sin2 2 分 cos2 sin2 sin2 cos2 1 tan2 tan2 1 4 分 又 tan 2 所以cos2 6 1 22 22 1 3 5 8 分 2 方法一 因为 0 且 tan 2 所以 0 2 又 cos2 0 故2 sin2 3 5 2 4 5 8 分 由 cos 0 得 sin 72 10 2 10 2 10 分 所以 sin 2 sin2 cos cos2 sin 4 5 72 10 3 5 2 10 2 2 12 分 又 2 所以2 2 2 4 14 分 方法二 因为 0 且 tan 2 所以 0 tan2 2 2tan 1 tan2 4 3 从而2 2 8 分 由 cos 0 得 sin 72 10 2 10 2 因此tan 10 1 7 分 所以 tan 2 1 12 分 tan2 tan 1 tan2 tan 又 2 所以2 2 2 4 14 分 16 证明证明 1 如图 取BC的中点G 连结AG FG 因为F为C1B的中点 所以FGC1C 1 2 在三棱柱ABC A1B1C1中 A1AC1C 且E为A1A的中点 第 16 题 A B C D E C1 A1 B1 F G 9 所以FGEA 所以四边形AEFG是平行四边形 所以EF AG 4 分 因为EF 平面ABC AG 平面ABC 所以EF 平面ABC 6 分 2 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中 A1A 平面ABC BD 平面ABC 所以A1A BD 因为D为AC的中点 BA BC 所以BD AC 因为A1A AC A A1A 平面A1ACC1 AC 平面A1ACC1 所以BD 平面A1ACC1 因为C1E 平面A1ACC1 所以BD C1E 9 分 根据题意 可得EB C1E AB C1B AB 3 所以EB C1E C1B2 从而 C1EB 90 即C1E EB 12 分 2 2 因为BD EB B BD 平面BDE EB 平面BDE 所以C1E 平面BDE 14 分 17 解解 1 由题意知 f x 2x 3 lnx 所以f x 2 x 0 2 1 x 2x 1 x 分 由f x 0 得x 0 1 2 所以函数f x 的单调增区间为 0 4 分 1 2 2 由f x mx m 2 得f 1 1 1 x 所以曲线y f x 在点P 1 1 处的切线l的方程为y x 2 6 分 由题意得 关于x的方程f x x 2 有且只有一个解 即关于x的方程m x 1 2 x 1 lnx 0 有且只有一个解 1 2 令g x m x 1 2 x 1 lnx x 0 1 2 10 则g x m x 1 1 x 0 1 x mx2 m 1 x 1 x x 1 mx 1 x 8 分 当 0 m 1 时 由g x 0 得 0 x 1 或x 由g x 0 得 1 x 1 m 1 m 所以函数g x 在 0 1 为增函数 在 1 上为减函数 在 上为增函数 1 m 1 m 又g 1 0 且当x 时 g x 此时曲线y g x 与x轴有两个交点 故 0 m 1 不合题意 10 分 当m 1 时 g x 0 g x 在 0 上为增函数 且g 1 0 故m 1 符合题 意 当m 1 时 由g x 0 得 0 x 或x 1 由g x 0 得 x 1 1 m 1 m 所以函数g x 在 0 为增函数 在 1 上为减函数 在 1 上为增函数 1 m 1 m 又g 1 0 且当x 0 时 g x 此时曲线y g x 与x轴有两个交点 故m 1 不合题意 综上 实数m的值为m 1 14 分 18 解解 如图所示 不妨设纸片为长方形ABCD AB 8cm AD 6cm 其中点A在面积为S1 的部分内 折痕有下列三种情形 折痕的端点M N分别在边AB AD上 折痕的端点M N分别在边AB CD上 折痕的端点M N分别在边AD BC上 1 在情形 中MN 6 故当l 4 时 折痕必定是情形 设AM xcm AN ycm 则x2 y2 16 2 分 因为x2 y2 2xy 当且仅当x y时取等号 AB C D 情形 M N AB C D 情形 M N AB C D 情形 M N 11 所以S1 xy 4 当且仅当x y 2时取等号 1 22 即S1的最大值为 4 5 分 2 由题意知 长方形的面积为S 6 8 48 因为S1 S2 1 2 S1 S2 所以S1 16 S2 32 当折痕是情形 时 设AM xcm AN ycm 则xy 16 即y 1 2 32 x 由得 x 8 16 3 所以l x 8 8 分 x2 y2 16 3 设f x x2 x 0 则f x 2x x 0 故 322 x2 2 322 x3 x 16 3 4 16 32 4 2 4 8 2 8 f x 0 f x 64 4 9 64 80 所以f x 的取值范围为 64 80 从而l的范围是 8 4 11 分 5 当折痕是情形 时 设AM xcm DN ycm 则 x y 6 16 即y x 1 2 16 3 由得 0 x 16 3 所以l 0 x 62 x y 2 16 3 所以l的范围为 6 13 分 2145 3 当折痕是情形 时 设BN xcm AM ycm 则 x y 8 16 即y 4 x 1 2 由得 0 x 4 0 x 6 0 4 x 6 所以l 0 x 4 82 x y 282 4 x 2 2 所以l的取值范围为 8 4 5 综上 l的取值范围为 6 4 16 分 5 19 解解 1 由题意得 m 8 m 0 解得 4 m 8 即实数m的取值范围是 4 8 2 分 12 2 因为m 6 所以椭圆C的方程为 1 x2 6 y2 2 设点P坐标为 x y 则 1 x2 6 y2 2 因为点M的坐标为 1 0 所以 PM2 x 1 2 y2 x2 2x 1 2 2x 3 x2 3 2x2 3 x 2 x 4 2 3 3 2 3 266 分 所以当x 时 PM的最小值为 此时对应的点P坐标为 3 2 3 2 6 分 由a2 6 b2 2 得c2 4 即c 2 从而椭圆C的右焦点F的坐标为 2 0 右准线方程为x 3 离心率e 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点H x0 y0 则 1 1 x12 6 y12 2 x22 6 y22 2 所以 0 即kAB x12 x22 6 y12 y22 2 y1 y2 x1 x2 x0 3y0 9 分 令k kAB 则线段AB的垂直平分线l的方程为y y0 x x0 1 k 令y 0 则xN ky0 x0 x0 2 3 因为F 2 0 所以FN xN 2 x0 3 12 分 2 3 因为AB AF BF e 3 x1 e 3 x2 x0 3 故 AB FN 3 26 即为定值 16 分 AB FN6 20 解解 1 设等差数列 an 的公差为d 则Sn na1 d 从而 a1 d n n 1 2 Sn n n 1 2 所以当n 2 时 a1 d a1 d Sn n Sn 1 n 1 n 1 2 n 2 2 d 2 即数列 是等差数列 2 分 Sn n 13 2 因为对任意正整数n k n k 都有 2成立 Sn kSn kSn 所以 2 即数列 是等差数列 Sn 1Sn 1SnSn 4 分 设数列 的公差为d1 则 n 1 d1 1 n 1 d1 SnSnS1 所以Sn 1 n 1 d1 2 所以当n 2 时 an Sn Sn 1 1 n 1 d1 2 1 n 2 d1 2 2d n 3d 2d1 2 1 2 1 因为 an 是等差数列 所以a2 a1 a3 a2 即 4d 3d 2d1 1 6d 3d 2d1 4d 3d 2d1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 所以d1 1 即an 2n 1 又当an 2n 1 时 Sn n2 2对任意正整数n k n k 都成立 Sn kSn kSn 因此an 2n 1 7 分 3 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d bn a an 所以 a ad bn bn 1 an an 1 即数列 bn 是公比大于 0 首项大于 0 的等比数列 9 分 记公比为q q 0 以下证明 b1 bn bp bk 其中p k为正整数 且p k 1 n 因为 b1 bn bp bk b1 b1qn 1 b1qp 1 b1qk 1 b1 qp 1 1 qk 1 1 当q 1 时 因为y qx为增函数 p 1 0 k 1 0 所以qp 1 1 0 qk 1 1 0 所以b1 bn bp bk 当q 1 时 b1 bn bp bk 当 0 q 1 时 因为y qx为减函数 p 1 0 k 1 0 所以qp 1 1 0 qk 1 1 0 所以b1 bn bp bk 综上 b1 bn bp bk 其中p k为正整数 且p k 1 n 14 分 所以n b1 bn b1 bn b1 bn b1 bn b1 bn b2 bn 1 b3 bn 2 bn b1 b1 b2 bn bn bn 1 b1 即 16 分 b1 b2 bn n b1 bn 2 14 南京市 盐城市南京市 盐城市 20132013 届高三第三次模拟考试届高三第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 2013 052013 05 2121 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题 每小题题 每小题 1010 分 共分 共 2020 分 分 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 证明证明 如图 延长PO交 O于D 连结AO BO AB交OP于点E 因为PA与 O 相切 所以PA2 PC PD 设 O的半径为R 因为PA 12 PC 6 所以 122 6 2R 6 解得R 9 4 分 因为PA PB与 O均相切 所以PA PB 又OA OB 所以OP是线段AB的垂直平分线 7 分 即AB OP 且AB 2AE 在 Rt OAP中 AE OA PA OP 36 5 所以AB 10 分 72 5 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解解 1 由题知 即 1 a b 1 1 1 0 2 1 a 0 b 1 2 解得 4 分 a 1 b 1 2 设P x y 是曲线C 上任意一点 P 由曲线C上的点P x0 y0 经矩阵M M所表示的 变换得到 所以 即解得 7 分 1 1 1 1 x0 y0 x y x0 y0 x x0 y0 y 因为x0y0 1 所以 1 即 1 y x 2 y x 2 y2 4 x2 4 即曲线C 的方程为 1 10 y2 4 x2 4 分 C C 选修 选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解解 以极点为原点 极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 则圆C的直角坐标方程为 x 2 y 1 2 4 3 A B P O C 第 21 题 A DE 15 点M的直角坐标为 3 3 3 3 分 当直线l的斜率不存在时 不合题意 设直线l的方程为y 3 k x 3 3 由圆心C 1 到直线l的距离等于半径 2 3 故 2 6 分 解得k 0 或k 3 所以所求的直线l的直角坐标方程为y 3 或x y 6 0 8 3 分 所以所求直线l的极坐标方程为 sin 3 或 sin 3 3 10 分 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解解 原不等式等价于 或 x 4 x2 4x 3 0 x 4 x2 4x 3 0 5 分 解得 或 x 4 x 1或x 3 即 4 x 2 或 3 x 4 或x 1 7 综上 原不等式的解集为 x x 1 或 3 x 2 10 7 分 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共分 共 2020 分 分 22 解解 1 如图 取AC的中点F 连接BF 则BF AC 以A为坐标原点 过A且与FB平 行的直线为x轴 AC为y轴 AP为z轴 建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 3 C 0 2 0 P 0 0 2 E 0 1 1 从而 1 2 0 1 1 PB 3 AE 设直线AE与PB所成角为 则 cos 1 4 即直线AE与PB所成角的余弦值为 4 分 1 4 A B B C B E B D B P B 第 22 题 y x z F 16 2 设PA的长为a 则P 0 0 a 从而 1 a 0 2 a PB 3 PC 设平面PBC的法向量为n n1 1 x y z 则n n1 1 0 n n1 0 PB PC 所以x y az 0 2y az 0 3 令z 2