2011高考数学萃取精华30套（12）

1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1212 1 1 鹰潭一模鹰潭一模 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 W 2 yax 经过点A 2 1 过A作倾斜角互补的两条不同直线 12 l l 求抛物线W的方程及准线方程 当直线 1 l 与抛物线W相切时 求直线 2 l 的方程 设直线 12 l l 分别交抛物线W于B C两点 均不与A重合 若以线段BC为直径的 圆与抛物线的准线相切 求直线BC的方程 解 由于A 2 1 在抛物线 2 yax 上 所以 14a 即 1 4 a 2 分 故所求抛物线的方程为 2 1 4 yx 其准线方程为1y 3 分 当直线 1 l 与抛物线相切时 由 2 1 x y 可知直线 1 l 的斜率为 1 其倾斜角为45 所以直线 2 l 的倾斜角为135 故直线 2 l 的斜率为1 所以 2 l 的方程为3yx 6 分 不妨设直线AB的方程为1 2 0 yk xk 8 分 由 2 1 2 1 4 yk x yx 得 2 4840 xkxk 10 分 易知该方程有一个根为 2 所以另一个根为42k 所以点B的坐标为 2 42 441 kkk 同理可得C点坐标为 2 42 441 kkk 11 分 所以 2222 42 42 441 441 BCkkkkkk 22 8 8 kk 8 2k 9 分 线段BC的中点为 2 2 41 k 因为以BC为直径的圆与准线1y 相切 所以 2 41 1 4 2kk 由于0k 解得 2 2 k 10 分 此时 点B的坐标为 2 22 32 2 点C的坐标为 2 22 32 2 直线BC的斜率为 32 2 32 2 1 2 22 2 22 A C BO y x 1y 2 所以 BC的方程为 32 2 2 22 yx 即10 xy 12 分 21 本小题满分 12 分 文科 文科 已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称 且 2 2f xxx 求函数 g x的解析式 解不等式 1g xf xx 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 解 设函数 yf x 的图象上任意一点 00 Q xy关于原点的对称点为 P x y 则 0 0 00 0 2 0 2 xx xx yyyy 即 点 00 Q xy在函数 yf x 的图象上 222 22 2yxxyxxg xxx 即 故 由 2 1210g xf xxxx 可得 当1x 时 2 210 xx 此时不等式无解 当1x 时 2 210 xx 解得 1 1 2 x 因此 原不等式的解集为 1 1 2 2 12 11h xxx 1411 1h xx 当时 在上是增函数 1 1 1 1 x 当时 对称轴的方程为 1 11 1 1 当时 解得 1 11 10 1 当时 解得 0 综上 理科 理科 设函数x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 1 求正实数a的取值范围 2 设1 0 ab 求证 ln 1 b ba b ba ba 解 1 0 1 2 ax ax xf对 1 x恒成立 x a 1 对 1 x恒成立 又1 1 x 1 a为所求 5 分 2 取 b ba x 1 0 1 b ba ba 3 一方面 由 1 知x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 0 1 f b ba f 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 bab ba 1 ln 8 分 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xG xG在 1 上是增函数且在 0 xx 处连续 又01 1 G 当1 x时 0 1 GxG xxln 即 b ba b ba ln 综上所述 ln 1 b ba b ba ba 12 分 22 本小题满分 14 分 文科 文科 在数列 2 2 1 11 Nnaaa n nn 中 1 求证 数列 2 n n a 为等差数列 2 若 m 为正整数 当 m m a n nmmn m n n 1 3 1 2 2 1 求证时 解 I 由 1 1 22 n nn aa变形得 1 22 1 22 1 1 1 1 n n n n n n n n aaaa 即 故数列 2 n n a 是以1 2 1 a 为首项 1 为公差的等差数列 5 分 II 法一 由 I 得 n n na2 m m nm m m a n nm m n m n n 1 2 3 1 1 3 1 22 1 即 7 分 令 m n m n nmnfnmnf 1 2 3 1 2 3 1 则 当 m nm nm nf nf nm 1 3 2 1 1 2 时 mm mnm 11 3 2 2 1 1 3 2 1 1 4 又 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 m m m C m m m m m 1 2 3 2 1 1 则 1 1 nf nf nf 则 为递减数列 当 m n 时 1 nfnf 2nfnm时当 递减数列 9 分 m m mmfxf mm 1 1 4 9 1 4 9 2 11 max 故只需证 要证 2 1 1 1 4 91 2 3 1 2 m mm m m m nm mm m n 而即证时 4 9 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 11 1 1 22 010 mm m mm mm C m CC m mmm m 故原不等式成立 14 分 法二 由 I 得 n n na2 m m nm m m a n nm m n m n n 1 2 3 1 1 3 1 22 1 即 7 分 令 1 2 3 ln 1 2 3 2 2 3 1 m xm xfmxxmxf m x m x 则 2 0 1 1 2mxfxf m xm mx在即 上单调递减 9 分 也即证时而2 1 1 1 4 9 m m m 4 9 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 11 1 1 22 210 m m mmm mm C m CC m mmm m 故原不等式成立 14 分 5 理科 理科 已知数列 n a中 1 1 3 a 当2n 时 其前n项和 n S满足 2 2 21 n n n S a S 1 求 n S的表达式及 2 lim n n n a S 的值 2 求数列 n a的通项公式 3 设 33 11 21 21 n b nn 求证 当nN 且2n 时 nn ab 解 1 2 111 1 211 22 2 21 n nnnnnnn nnn S aSSSSS Sn SSS 所以 1 n S 是等差数列 则 1 21 n S n 2 22 limlim2 212lim1 n nn nnn n a SSS 2 当2n 时 1 2 112 212141 nnn aSS nnn 综上 2 1 1 3 2 2 1 4 n n a n n 3 令 11 2121 ab nn 当2n 时 有 1 0 3 ba 1 法 1 等价于求证 33 1111 2121 2121 nn nn 当2n 时 11 0 213n 令 23 1 0 3 f xxxx 2 3313 232 1 2 1 2 1 0 2223 fxxxxxxx 则 f x在 1 0 3 递增 又 111 0 21213nn 所以 33 11 2121 gg nn 即 nn ab 法 2 2233 33 1111 2121 21 21 nn abbaba nn nn 6 22 ab ababab 2 22 22 abab abaabb 1 1 22 ba ab a ab b 3 因 333 111110 22222 3 aba ba 所以 1 1 0 22 ba a ab b 由 1 3 4 知 nn ab 法 3 令 22 g bababab 则 1 210 2 a g bbab 所以 22 0 32g bmax gg amax aaaa 因 1 0 3 a 则 2 10aaa a 2 214 323 3 0 339 aaa aa 所以 22 0g bababab 5 由 1 2 5 知 nn ab 2 2 石室一模石室一模 20 12 分 已知 2 x f xxa e 21 世纪教育网 I 若3a 求 f x的单调区间和极值 II 已知 12 x x是 f x的两个不同的极值点 且 1212 xxx x 若 32 3 3 3 2 f aaaab 恒成立 求实数 b 的取值范围 21 12 分 已知 1 F 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y 的左 右焦点 I 若 P 是第一象限内该椭圆上的一点 12 5 4 PF PF A 求点 P 的坐标 II 设过定点 M 0 2 的直