2016年陕西省中考数学专题复习复习试题四

复习说明：圆这部分内容在陕西省中考试卷中是必考内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题 3 分，解答题 8 分，共 11 分。 2016 年考试说明中三套样题中选择题部分增加了对圆知识的 3 分考查，但是填空题均未出现与圆有关的题型，而是改为以四边形为背景来进行考查，第 23 题解答题 8 分依然存在。在这部分的复习中，应重视学生逻辑思维能力的培养和书写的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出现，学生在这部分最容易逻辑混乱，次序颠倒，甚至书写随意。在复习中要注意随时纠正。 圆专题复习 一 1 (2015湖南株洲 ,第 6 题 3 分 )如图，圆 O 是 外接圆， A 68，则 大小是 ( ) A 22 B 26 C 32 D 68 【试题分析】 本题考点为：通过圆心角 2 A 136，再利用等腰三角形 出 度数 答案为： A 第6 题图 2015湖南省常德市，第 6 题 3 分）如图，四边形 O 的内接四边形，已知 100，则 度数为： A、 50 B、 80 C、 100 D、 130 【解答与分析】圆 周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ：答案为 D 3, （ 2015四川南充 ,第 8 题 3 分）如图， O 的切线，点 A 和 B 是切点， O 的直径，已知 P 40，则 大小是（ ） （ A） 60 （ B） 65 （ C） 70 （ D） 75 【答案】 C 100 0第6题图线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质 . 4、（ 2015四川自贡 ,第 9 题 4 分）如图， O 的直径，弦,C D A B C D B 3 0 C D 2 3 o ，,则 阴影部分的面积为 （ ） B. 点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等 . 分析：本题抓 住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求 用题中条件可知 E 是弦 中点 ,B 是弧 中点；此时解法有三： 解法一，在弓形 ，被 开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形 求；解法二，连接 证 所以阴影部分的面积之和转化到扇形 求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形 略解： O 的直径， D E 是弦 中点 ,B 是弧 中点（垂径定理） 在弓形 ，被 开的上下两部分的面积是相等的 (轴对称的性质 ) 阴影部分的面积之和等于扇形 面积 . E 是弦 中点， 3 11C E C D 2 3 322 D 0o 0o , 1 在 ，根据勾股定理可知： 2 2 2O C O E C E 即 2 22 1O C O C 32. 解得 : ;S 扇形 226 0 O C 6 0 2 233 6 0 3 6 0 阴影部分的面积之和为 23. 5. （ 2015浙江滨州 ,第 11 题 3 分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为 ( ) B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 试题分析：如图，等腰直角三角形 ， D 为外接圆，可知 D 为 中点，因此 ，根据勾股定理可求得 ，根据内切圆可 知四边形 D,因此 C= 2. 故选 B 考点：三角形的外接圆与内切圆 6、（ 2015 湖南邵阳第 7 题 3 分）如图，四边形 接于 O，已知 40，则 ） A 80 B 100 C 60 D 40 考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理 . 分析： 根据圆内接四边形的性质求得 0，利用圆周角定理，得 B=80 解答： 解： 四边形 O 的内接四边形， 80， 80 140=40 0 故选 B 点评： 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出 B 的度数是解题关键 7 , （ 2015 上海 ,第 6 题 4 分）如图，已知在 O 中， 弦，半径 足为点 D，要使四边形 菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 B 【解析】因 垂径定理，知 对角线互相垂直且平分，所以， 菱形。 8 .（ 2015 湖北荆州第 5 题 3 分）如图， A， B， C 是 O 上三点， 5，则 度数是（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 考点： 圆周角定理 分析： 连接 求 度数，只要在等腰三角形 求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 0，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得 解答： 解：连接 5， 25=50， 由 B， （ 180 50） =65 故选 C 点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键 9 . （ 2015浙江杭州 ,第 5 题 3 分）圆内接四边形 ，已知 A=70，则 C=( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 【考点】圆内接四边形的性质 . 【分析】 圆内接四边形 ，已知 A=70， 根据圆内接四边形互补的性质，得 C=110. 故选 D 10. （ 2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 小圆于点 C， 小圆于点 D，若 ， ，则 长是 ( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】 C. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理 . 11. （ 2015浙江宁波，第 8 题 4 分）如图， O 为 外接圆， A=72，则 度数为【 】 A. 15 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】 B. 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理 . 【分析】如答图，连接 A 和 同圆中同弧 对的圆周角和圆心角， 2 . A=72， 44. C， C B O B C O . 1 8 0 1 4 4 182C B O . 故选 B. 12 . （ 2015山东威海，第 9 题 3 分）如图，已知 C= 4，则 度数为（ ） A 68 B 88 C 90 D 112 考点： 圆周角定理 . 分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明 合已知条件 到 可解决问题 解答： 解：如图， C= 点 B、 C、 D 在以点 A 为圆心， 以 长为半径的圆上； 4， 8， 故选 B 点评： 该题 主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答 13（ 2015甘肃兰州 ,第 9 题， 4 分）如图，经过原点 O 的 P 与 x 、 y 轴分别交于 A、 B 两点，点 C 是劣弧 上一点，则 A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 【 答 案 】 B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。 【解答过程】 是 P 中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结 有可能需要说明 直径，或者点 P 在 。 【题目星级】 14.（ 2015山东临沂 ,第 8 题 3 分）如图 A， B， C 是 上的三个点，若 ，则等于（ ） (A) 50. (B) 80. (C) 100. (D) 130. 【答案】 D 【解析】 试题分析：根据圆周的度数为 360，可知优弧 度数为 360 100=260，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得 B=130. 故选 D 考点：圆周角定理 15 (2015深圳，第 9 题 分 )如图， O 直径，已知为 0o,则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【解析】 O 直径，所以， 0o， 16 (2015南宁，第 11 题 3 分 )如图 6， O 的直径， ，点 M 在 O 上， 0,B 的中点 ,P 是直径 的一动点，若 ，则 长的最小值为（ ） . （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 考点：轴对称最短路线问题；圆周角定理 . 分析：作 N 关于 对称点 N，连接 两点之间线段最短可知 交点 P即为 长的最小时的点，根据 N 是弧 中点可知 A= 0，故可得出 60，故 等边三角形，由此可得出结论 解答：解：作 N 关于 对称点 N，连接 N 关于 对称点 N， 交点 P即为 长的最小时的点， N 是弧 中点， A= 0， 60， 等边三角形， ， 长的最小值为 4+1=5 故选 B 图 6 点评：本题考查的是轴对称最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 17. （ 2015四川凉山州 ,第 10 题 4 分）如图， 接于 O， 0，则 A 的度数为（ ） A 80 B 100 C 110 D 130 【答案】 D 考点：圆周角定理 18、 （ 2015四川泸州 ,第 8 题 3 分）如图， 别与 O 相切于 A、 B 两点，若 C=65，则 P 的度数为 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考点：切线的性质 . 分析：由 为圆 O 的切线， 利用切线的性质得到 直于 直于 得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知 C 的度数求出 度数，在四边形 ，根据四边形的内角和定理即可求出 P 的度数 解答：解： O 的切线， 0， 又 C=130， 则 P=360（ 90+90+130） =50 故选 C 点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关 键 19. （ 2015四川眉山，第 11 题 3 分）如图， O 是 外接圆， 5，则 ） A 30 B 35 C 40 D 45 考点： 圆周角定理 . 分析： 先根据 C， 5可得出 5，故可得出 度数，再由圆周角定理即可得出结论 解答： 解： C， 5， 5， 80 45 45=90， B= 5 故选 D 第 8 题图评： 本题考查 的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 20（ 2015甘肃武威 ,第 8 题 3 分） O 的内接三角形，若 60，则 ） A 80 B 160 C 100 D 80或 100 考点： 圆周角定理 分析： 首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案 度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得 度数 解答： 解：如图， 60， 160=80， =180， =180 80 80=100 度数是： 80或 100 故选 D 点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解 二 1.（ 2015福建泉州第 17 题 4 分）在以 O 为圆心 3半径的圆周上，依次有 A、 B、 C 三个点，若四边形 菱形，则该菱形的边长等于 3 对的弧长等于 2或 4 解：连接 于点 D， 四边形 菱形， B=C， O 半径为 3 C=3 B， 等边三角形， 0， 20， = =2， 优弧 = =4， 故答案为 3， 2或 4 2.（ 2015 湖北鄂州第 15 题 3 分） 已知点 P 是半径为 1 的 O 外一点， O 于点 A，且 1， O 的弦， ，连接 【答案】 1 或 . 认识； 3, （ 2015 上海 ,第 17 题 4 分）在矩形 ， 5， 12，点 A 在 B 上如果 B 相交，且点 B 在 D 内，那么 D 的半径长可以等于 _ (只需写出一个符合要求的数 ) 【答案】 15 【解析】 4 (2015江苏南昌 ,第 10 题 3 分 )如图，点 A, B, C 在 O 上， 延长线交 点D, A=50, B=30则 度数为 . 第 10题第 9题析： A=50, 00, 0, B 0 80=110 5 (2015江苏南京 ,第 15 题 3 分 )如图，在 O 的内接五边形 ， 5，则 B+ E= _ 【答案】 215 考点：圆内接四边形的性质 6、（ 2015四川自贡 ,第 13 题 4 分）已知， O 的一条直径 ，延长 C 点，使, O 相切于 D 点，若 ,则劣弧 长为 . 考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等 . 分析：本题劣弧 长关键是求出圆的半径和劣弧 对的 圆心角的度数 D 后，根据切线的性质易知 0o ,圆的半径和圆心角的度数13题13题可以通过 得解决 . 略解：连接半径 O 相切于 D 点 D 0o C 1 D 1 在 c o s O D 1 2 0o 20o 在 据勾股定理可知： 2 2 2O D D C O C 2 22O D 3 2 O D 解得： 则劣弧 长为 1 2 0 O D 1 2 0 1 231 8 0 1 8 0 故应填 237. （ 2015四川省宜宾市，第 14 题， 3 分）如图， O 的直径，延长 点 D，使B， O 于点 C，点 B 是 的中点，弦 点 F 若 O 的半径为 2，则 .（ 2015江苏泰州 ,第 12 题 3 分）如图， O 的内接四边形 ， A=115，则 _. 【答案】 150. 考点： 9.（ 2015江苏徐州 ,第 15 题 3 分）如图， O 的直径，弦 足为 E，连接 O 的半径为 4 考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 . 专题： 计算题 分析： 连接 图所示，由直径 直于 用垂径定理得到 E 为 中点，即 E，由 C，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 等腰直角三角形，求出 长，即为圆的半径 解答： 解：连接 如图所示： O 的直径，弦 E= C， A= 外角 ， 5， 等腰直角三角形 ， 故答案为： 4 点评： 此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键 10（ 2015四川甘孜、阿坝，第 23 题 4 分）如图， O 的直径，弦 直平分半径 大小为 30 度 考点： 垂径定理 ；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理 . 分析： 根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解 解答： 解：连接 弦 直平分半径 0， 0， 0 故答案为： 30 点评： 本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出 0， 0然后再圆周角定理，从而求出 0 11（ 2015四川广安，第 12 题 3 分）如图， A、 B、 C 三点在 O 上，且 0，则 C= 35 度 考点： 圆周角定理 . 分析： 由 A， B， C 三点在 O 上，且 0，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案 解答： 解： 0， C= 5 故答案为： 35 点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 12（ 2015甘肃兰州 ,第 20 题， 4 分）已知 边 O 是其外接 圆，且半径也为 4 A 的度数是 _ 【 答 案 】 30 【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半， 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。 【思路点拔】 径，那么 对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。 【解答过程】分别连结 为 B=以 O=60， 则在 O 中， A=21 B=30. 【题目星级】 三 1.（ 2015山东威海，第 22 题 9 分）如图，在 ， C，以 直径的 O 交 ，交 点 E （ 1）求证： E； （ 2）若 ， ，求 长 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理 . 专题： 证明题 分析： （ 1）连结 图，根据圆周角定理，由 O 的直径得到 0，然后利用等腰三角形的性质即可得到 E； （ 2）连结 图，证明 后利用相似比可计算出 长，从而得到长 解答： （ 1）证明：连结 图， O 的直径， 0， 而 C， E； （ 2）连结 图， E=3， ， 而 = ，即 = ， ， A=9 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发 挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理 2（ 2015四川资阳 ,第 22 题 9 分）如图 11，在 ， 以 直径的 O 的切线，且 O 与 交于点 D， E 为 中点，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）连接 C=45，求 值 . 考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形 . 分析：（ 1）连接 圆周角定理就可以得出 0，可以得出 0，根据 E 为 中点可以 得出 E，就有 B 可以得出 的等式的性质就可以得出 0就可以得出结论 （ 2）作 F，设 EF=x，由 C=45，得出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 E= x， C=2 x， x，进而就可求得 值 解答：解：（ 1）连接 B 直径， 0， 0 E 为 中点， E， 即 以 直径的 O 的切线， 0， 0， O 的切线； （ 2）作 F，设 EF=x C=45， 是等腰直角三角形， F=x， E= x， C=2 x， 在 ， = x， = 点评：本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰 三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键 3, （ 2015浙江滨州 ,第 21 题 9 分） 如图 , O 的直径 长为 10，弦 长为 5， 平分线交 O 于点 D. （ 1）求弧 长； （ 2）求弦 长 . 【答案】（ 1） （ 2） （ 2）连接 分 D， 5 在 ， . 考点 :圆周角定理，解直角三角形，弧长公式 4. （ 2015浙江杭州 ,第 19 题 8 分） 如图 1， O 的半径为 r(r0)，若点 P在射线 ，满足 OP=称点 P是点 P 关于 O 的 “反演点 ”，如图 2， O 的半径为 4，点 B 在 O 上， 0， ，若点 A、B分别是点 A， B 关于 O 的反演点，求 AB的长 . 图 2图 1 案】解： O 的半径为 4，点 A、 B分别是点 A， B 关于 O 的反演点，点 B 在 ， 224 , 4O A O A O B O B ，即 228 4 , 4 4O A O B . 2 , 4O A O B . 点 B 的反演点 B与点 B 重合 . 如答图，设 O 于点 M，连接 BM， B， 0， 是等边三角形 . 2 M ， BM 在 B M 中，由勾股定理得 2 2 2 24 2 2 3A B O B O A . 【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理 . 【分析】先根据定义求出 2 , 4O A O B ，再作辅助线：连接点 B与 O 的交点 M，由已知 0判定 是等边三角形，从而在 B M 中，由勾股定理求得 AB的长 . 5（ 2015广东省 ,第 24 题， 9 分） O 是 外接圆， 直径，过 中点 P 作 O 的直径 弦 点 D，连接 （ 1）如题图 1；若 D 是线段 中点，求 度数； （ 2）如题图 2，在 取一点 k，使 P，连接 证：四边形 平行四边形； （ 3）如题图 3，取 中点 E，连接 延长 点 H，连接 证： 【答案】解：（ 1） O 直径，点 P 是 中点， 0. D 为 中点， 1122B. 12 0. O 直径， 0. 0. （ 2）证明：由（ 1）知， D， P， . P， P. K. B， 又 G= 四边形 平行四边形 . （ 3）证明： E， D， G= G， G. H. 又 P， . 0. 【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定 . 【分析】（ 1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出 0；另一方面，由证 明 0得到 据平行线的同位角相等的性质得到 0. （ 2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到 K；另一方面，证明 而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证 . （ 3）通过应用 明 得到 0，即 6. （ 2015绵阳第 22 题， 11 分）如图， O 是 内心， 延长线和 外接圆相交于点 D，连接 边形 平行四边 形 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴影部分的面积 考点： 三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算 . 专题： 计算题 分析： （ 1）由于 O 是 内心，也是 外心，则可判断 等边三角形，所以 20， C ， 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 20， C， A=根据 “明 （ 2）作 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定 理得到 0，根据垂径定理得到 H= ，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到H= ， ， ，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 S 行计算即可 解答： （ 1）证明： O 是 内心，也是 外心， 等边三角形， 20， C， 四边形 平行四边形， 20， C， A， B， 在 ， （ 2）作 H，如图， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 阴影部分 =S 扇形 S 2 = 点评： 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的 交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算 7. （ 2015四川省内江市，第 27 题， 12 分）如图，在 ， E， 0， ，且圆的直径 线段 （ 1）试说明 O 的切线； （ 2）若 上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 （ 3）设点 D 是线段 任意一点（不含端点），连接 D 的最小值为 6 时，求 O 的直径 长 考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与 性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值 . 专题： 综合题 分析： （ 1）连接 图 1，要证 O 的切线，只需证到 0即可； （ 2）过点 C 作 H，连接 图 2，在 运用三角函数即可解决问题； （ 3）作 分 O 于 F，连接 图 3，易证四边形 菱形，根据对称性可得 O过点 D 作 H，易得 而有D=D根据两点之间线段最短可得：当 F、 D、 H 三点共线时， D（即D）最小，然后在 运用三角函数即可解决问题 解答： 解：（ 1）连接 图 1， E， 0， E= 0， A=60， 0， O 的切线； （ 2）过点 C 作 H，连接 图 2， 由题可得 CH=h 在 ， C h=OC = h， h； （ 3）作 分 O 于 F，连接 图 3， 则 （ 180 60） =60 F= 等边三角形， O=C， 四边形 菱形， 根据对称性可得 O 过点 D 作 H， C， 0， CC D=D 根据两点之间线段最短可得： 当 F、 D、 H 三点共线时， D（即 D）最小， 此时 F， 则 ， 当 D 的最小值为 6 时， O 的直径 长为 8 点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把 D 转化为 D 是解决第（ 3）小题的关键 8. （ 2015浙江省台州市，第 22 题）如图，四边形 接于 O，点 E 在对角线 ，C= 1）若 9，求 度数 （ 2）求证： 1= 2 9. （ 2015 呼和浩特， 24， 9 分） (9 分 )如图， O 是 外接圆， P 是 O 外的一点， O 的直径， 1) 求证： O 的切线； (2) 连接 于点 D，与 O 交于点 E， F 为 的一点，若 M 为 中点，且 P，求证： 考点分析：圆 垂径定理、相切 相似三角形 逻辑推理 逆推 解析： 什 么是逆推？就是在做几何证明题时，从要证的结论出发进行推导，即假定结论成立，将该结论作为已知条件进行推理，同时从题目中的已知条件出发推理，向中间过程中的某关键步骤靠拢。 说过，在圆里证明直角有三种方法。方法一，假设该直角成立，且该直角由两个锐角组成，那么就去分别找与这两个角相等或互余的角，看看他们的关系；方法二，与一个直角是同位角或内错角的关系；方法三，用勾股逆定理算出来。 先看第一问，首先你要在草稿纸上精确地把图画一遍，否则卷面的图一会就被你的尝试标花了。做圆的题目，有相切或证相切，马上先将切点或要证的切点 连接到圆心；做圆的题目，有过直径的弦，马上把直角三角形画出来，连接了 两步在证相切时经常用到，因为前者需要一个包括两个锐角的直角，而后者能提供两个互余关系的锐角。从本题图上看，标的 1 既是要证直角中的一个锐角，也是 的一个锐角，很明显，我们找到思路了，继续往下走。 下一步就是要看 个两个角离得还不近，通常做法是，我们继续寻找与这两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个： 么要看 否能等于 相等吗？你能看出来吗？为什么？ 该第二问了。讲过，一般圆的题目中给出两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积（可能有两条是同一条）。或者给出线段的比值等于线段比值，基本上是相似问题，因为圆周角太容易相等了。如果出现的是乘积形式，就写比值形式，看他们处于那两个三角形中，这个就是解题思路，一般而言，呼市相似题目还没有出到需要倒腾线段或进行线段加减后才能参与相似线段比的运算。 先看哪些线段的比， 有哪些新的已知条件，这些已知条件的加入能推导出 什么结论，哪些结论对证明相似有利。 M 为 的中点，什么意思？垂径定理，还是等弧对着的圆周角相等？不知道，的做法是两个结论都标到图上，然后装在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一会提不出来。 等弧对着等角，但好像我们用不上这两个三角形，看看垂径定理。在考前重点突破讲过，两个等弦或两个等弧共一点，八成用垂径定理，没错，是八成，就是 80%。如果没有从共点出发的直径，你