2012年高考数学二轮复习精品资料 专题07 立体几何（理）（教师版）

1 20122012 届高考数学二轮复习资料届高考数学二轮复习资料 专题七专题七 立体几何 理 立体几何 理 教师版 教师版 考纲解读考纲解读 1 平面的概念及平面的表示法 理解三个公理及三个推论的内容及作用 初步掌握性质与 推论的简单应用 2 空间两条直线的三种位置关系 并会判定 3 平行公理 等角定理及其推论 了解它们的作用 会用它们来证明简单的几何问题 掌 握证明空间两直线平行及角相等的方法 4 异面直线所成角的定义 异面直线垂直的概念 会用图形来表示两条异面直线 掌握异 面直线所成角的范围 会求异面直线的所成角 5 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 了解空间向量的基本定理 理 解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式 6 了解多面体 凸多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球的概念 掌握棱柱 棱锥的性质 并会灵 活应用 掌握球的表面积 体积公式 能画出简单空间图形的三视图 能识别上述的三视图所 表示的立体模型 会用斜二测法画出它们的直观图 7 空间平行与垂直关系的论证 8 掌握直线与平面所成角 二面角的计算方法 掌握三垂线定理及其逆定理 并能熟练解 决有关问题 进一步掌握异面直线所成角的求解方法 熟练解决有关问题 9 理解点到平面 直线和直线 直线和平面 平面和平面距离的概念会用求距离的常用方 法 如 直接法 转化法 向量法 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用 向量表示的情况 和距离公式计算距离 考点预测考点预测 在 2012 年高考中立体几何命题有如下特点 1 线面位置关系突出平行和垂直 将侧重于垂直关系 2 多面体中线面关系论证 空间 角 与 距离 的计算常在解答题中综合出现 3 多面体及简单多面体的概念 性质 三视图多在选择题 填空题出现 4 有关三棱柱 四棱柱 三棱锥的问题 特别是与球有关的问题将是高考命题的热点 此类题目分值一般在 17 22 分之间 题型一般为 1 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 2 要点梳理要点梳理 1 三视图 正俯视图长对正 正侧视图高平齐 俯侧视图宽相等 2 直观图 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于 y 轴 的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半 3 体积与表面积公式 1 柱体的体积公式 锥体的体积公式 V 柱 ShV 锥 1 3 Sh 台体的体积公式 球的体积公式 V 棱台 1 3 h SSSS V 球 3 4 3 r 2 球的表面积公式 2 4SR 球 4 有关球与正方体 长方体 圆柱 圆锥 圆台的结合体问题 要抓住球的直径与这些 几何体的有关元素的关系 5 平行与垂直关系的证明 熟练判定与性质定理 6 利用空间向量解决空间角与空间距离 考点在线考点在线 考点一考点一 三视图三视图 例例 1 1 20112011 年高考海南卷文科第年高考海南卷文科第 8 8 题 题 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图 解析解析 由主视图和府视图可知 原几何体是由后面是半个圆锥 前面是三棱锥的组合体 所以 左视图是 D 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的基础知识 备考提示备考提示 三视图是高考的热点之一 年年必考 所以必须熟练立体几何中的有关定理是 解答好本题的关键 3 练习练习 1 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 9 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如右图所示 则该几何体的左视图为 解析解析 左视图即是从正左方看 找特殊位置的可视点 连起来就可以得到答案 考点二考点二 表面积与体积表面积与体积 例例 2 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 8 8 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积 为 答案答案 C 解析解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底 为 4 高为 4 两底面积和为 四个侧面的面积为 1 224424 2 所以几何体的表面积为 故选 C 4 422 17248 17 488 17 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 备考提示备考提示 表面积与体积的求解也是高考的热点之一 年年必考 大多以三视图为载 体 在选择与填空题中考查 难度不大 也可能在解答题的一个问号上 4 练习练习 2 2 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 4 4 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 3618 9 12 2 9 18 2 答案答案 D 解析解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体 其 体积 3 439 3 3 2 18 322 V 考点三考点三 球的组合体球的组合体 例例 3 3 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 10 10 己知球的直径 SC 4 A B 是该 球球面上的两点 AB 2 则棱锥的体积为 45ASC SABC A B C D 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 答案答案 C 解析解析 取 SC 的中点 D 则 D 为球心 则 AD BD DS 2 因为 ASC BSC 45 所以 SDB SDA 900 即 AD SC BD SC ABD 是等边三角形 故棱锥 S ABC 的体积等于棱 锥 S ABD 和棱锥 C ABD 的体积和 即 2 134 3 24 343 名师点睛名师点睛 本小题考查三棱锥的外接球体积的求解 关键是找出球的半径 备考提示备考提示 球的组合体 在高考中 经常考查球与长方体 正方体 三棱锥 四棱锥 圆锥 圆柱等的组合 熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 5 练习练习 3 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 16 16 已知两个圆锥有公共底面 且两圆锥的顶点和底面的 圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小 3 16 者的高与体积较大者的高的比值为 答案答案 1 3 解析解析 设圆锥的底面半径为 球半径为 则 解得 所以对rR 22 3 4 16 rR 3 2 rR 应球心距为 故小圆锥的高为 大圆锥的高为 所以之比为 1 2 R 11 22 RRR 3 2 R 1 3 考点四考点四 空间中平行与垂直关系的证明空间中平行与垂直关系的证明 例例 4 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 19 19 如图 在四棱台中 平面 1111 ABCDABC D 1 D D 底面是平行四边形 60 ABCDABCDAB 2AD 11 AD A BBAD 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 解析解析 证明 因为 所以设AB 2AD AD a 则 AB 2a 又因为60 所以在中 由余弦定理得 BAD ABD 所以 BD 所以 故 2222 2 22cos603BDaaaaa 3a 222 ADBDAB BD AD 又因为 平面 所以BD 又因为 所以平面 1 D D ABCD 1 D D 1 ADD DD BD 11 ADD A 故 1 AABD 2 连结 AC 设 ACBD 0 连结 由底面是平行四边形得 O 是 AC 的中点 由四 1 AOABCD 6 棱台知 平面 ABCD 平面 因为这两个平面同时都和平面 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 相交 交线分别为 AC 故 又因为 AB 2a BC a 11 ACAC 11 AC 11 ACACAABC 120 所以可由余弦定理计算得 AC 又因为 A1B1 2a B1C1 所以 7a 3 2 a 111 A B C 120 可由余弦定理计算得 A1C1 所以 A1C1 OC 且 A1C1 OC 故四边形 OCC1A1是平行四边 7 2 a 形 所以 CC1 A1O 又 CC1平面 A1BD A1O平面 A1BD 所以 11 CCA BD 平面 名师点睛名师点睛 本题以四棱台为载体 考查空间中平行与垂直关系的论证 考查空间想 象能力 逻辑思维能力 分析问题与解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键 练习练习 4 4 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 16 16 如图 在四棱锥中 平面 PAD 平面ABCDP ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 解析 证明 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 所以 EF PD 又因为 EF平面 PCD PD平面 PCD 所以直线 EF 平面 PCD 2 设 AB AD 则 AF 又因为 BAD 60 2aa 所以在中 由余弦定理得 BF ABF 3a 所以 所以 BF AF 2222 4AFBFaAB 因为平面 PAD 平面 ABCD 交线为 AD 平面 ABCD 所以 BF 平面 PAD 因为BF 7 平面 BEF 所以平面 BEF 平面 PAD BF 考点五考点五 空间角与距离的求解空间角与距离的求解 例例 5 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20 20 如图 在三棱锥中 D 为 BC 的PABC ABAC 中点 PO 平面 ABC 垂足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明理由 解析解析 法一 证明 如图 以为原点 以射线为轴的正半轴 建立空间OOPx 直角坐标系 则 oxyz 0 0 0 O 0 3 0 A 4 2 0 B 4 2 0 C 0 0 4 P 由此可得 所以 即 0 3 4 AP 8 0 0 BC 0AP BC APBC APBC 解 设 则 1PMPA 0 3 4 PM BMBPPMBPPA 4 2 4 0 3 4 4 23 44 4 5 0 AC 8 0 0 BC 设平面的法向量 BMC 1111 nx y z 平面的法向量APC 2222 nxyz 由 得 1 2 0 0 BM n BC n 111 1 4 23 44 0 80 xyz x 即 可取 由即得 1 11 0 23 44 x zy 1 23 0 1 44 n 2 2 0 0 AP n AC n 22 22 340 450 yz xy 8 22 22 5 4 3 4 xy zy 可取 由得解得 故 2 5 4 3 n 12 0n n 23 430 44 4 5 3AM 综上所述 存在点 M 符合题意 3AM 法二 证明 ABAC DBC 为中点 ADBC 又因为所以平面故 POABC 平面POBC POADO BC PADBCPA 如图 在平面内作PAB BMAPM 于连结C M 由 知得平面 P BCA P ABMC 又平面所以平面平面P APAC BMC PAC 在中 得Rt ADBA 222 41ABADBD 41AB 在中 Rt PODA 222 PDPOOD 在中 所以得 Rt PDBA 222 PBPDBD 2222 36PBPOODBD 6PB 在中 得又Rt POAA 222 25PAAOOP 5PA 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 从而 所以综上所述 存在点 M 符合题意 cos2PMPBBPA 3AMPAPM 9 3AM 名师点睛名师点睛 本题主要考查空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向 量的应用 同时考查空间想象能力和运算求解能力 备考提示备考提示 空间角与距离是高考的一个热点 年年必考 熟练三种角及距离的求法 是解答本类题目的关键 练习练习 5 5 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 16 己知点 E F 分别在正方体 ABCD A1B2C3D4的棱 BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 答案答案 2 3 解析解析 延长 CB FE 交于 M 连结 AM 过 B 作 BNAM 于 N 连结 EN 则ENB 为平 面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角 AM AB 2 1 22 3 tan 232 2 AB EB BNABRt EBNENB BN AB A在中 易错专区易错专区 问题 三视图与表面积 体积问题 三视图与表面积 体积 例例 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 5 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A B 2 8 3 8 3 C D 82 2 3 答案答案 A 解析解析 由三视图可知该几何体为立方体与圆锥 立方体棱长为 2 圆锥底面半径为 1 高 为 2 所以体积为故选 A 32 1 212 3 2 8 3 名师点睛名师点睛 本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解 备考提示备考提示 由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题 的关键所在 考题回放考题回放 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 4 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 平面 10 B 如果平面不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 那么 平面 平面 l l 平面 D 如果平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 平面 答案 D 解析 两个平面垂直 两个平面上的所有直线都不是垂直了 比如 平面垂直 平面 垂线为 AB 直线 CD 属于 与 AB 交与 E 点 角度为 60 不垂直平面 故选 D 2 2 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 11 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如 下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 A 3 B 2 B 2 C 1 C 1 D 0 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 3 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 3 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以 是 解析 A B 与正视图不符 C 与俯视图不符 故选 D 4 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 8 8 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则 下列结论中不正确的是 11 A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 答案 D 解析 对于 A 因为 SD 平面 ABCD 所以 DS AC 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 AC BD 故 AC 平面 ABD 因为 SB平面 ABD 所以 AC SB 正确 对于 B 因为 AB CD 所 以 AB 平面 SCD 对于 C 设 因为 AC 平面 ABD 所以 SA 和 SC 在平面 SBD 内ACBDO 的射影为 SO 则 ASO 和 CSO 就是 SA 与平面 SBD 所成的角和 SC 与平面 SBD 所成的角 二者相等 正确 故选 D 5 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 8 已知 是三个相互平行的平面 平面 之 1 2 3 1 2 间的距离为 平面 之间的距离为 直线 与 分别相交于 1 d 2 3 2 dl 1 2 3 1 P 那么 是 的 2 P 3 P 12 PP 23 P P 12 dd A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 过点作平面的垂线 g 交平面 分别于点 A B 两点 由两个平面平行的 1 P 2 2 3 性质可知 所以 故选 C 2 P A 3 PB 121 122 PPd PPd 6 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 9 高为的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点 2 4 S A B C D 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A B 2 4 2 2 C 1 D 2 答案 C 12 解析 设底面中心为 G 球心为 O 则易得 于是 用一个与 ABCD 2 2 AG 2 2 OG 所在平面距离等于的平面去截球 S 便为其中一个交点 此平面的中心设为 H 则 2 4 故 故 222 244 OH 2 22 27 1 48 SH 2 22 72 1 84 SGSHHG 7 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 3 3 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 12 ll 23 ll 13 ll A B 12 ll 23 llA 13 ll C 233 lllAA 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 答案 B 解析 若则有三种位置关系 可能平行 相交或异面 故 A 不对 虽 1223 ll ll 13 l l 然 或共点 但是可能共面 也可能不共面 故 C D 也不正确 123 lll 123 l l l 123 l l l 8 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 6 已知直二面角 点为垂足 l AACl C 为垂足 若则到平面的距离等于 BBDl D 2 1 ABACBD DABC A B C D 2 3 3 3 6 3 1 答案 C 解析 如图 作于 由为直二面角 得平面 DEBC El ACl AC 进而 又 ACDE BCDE BCACC 13 于是平面 故为到平面的距离 DE ABCDEDABC 在中 利用等面积法得Rt BCD 126 33 BDDC DE BC 15 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 1 11 已知平面截一球面得圆 M 过圆心 M 且与成 二面角的平面截该球面得圆 N 0 60 若该球的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A B c D 7 9 11 13 答案 D 解析 由圆的面积为得 M4 2MA 222 4212OM 在2 3OM 0 30Rt ONMOMN A中 故选 D 2 1 3 313 2 ONOM 2 r 413 N S 圆 16 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 15 15 已知矩形的ABCD 顶点都在半径为 4 的球的球面上 且 则O6 2 3ABBC 棱锥的体积为 OABCD 答案 38 解析 如图 连接矩形对角线的交点和球心 则 1 OO 四棱锥的高为 所以 体积为32 2 1 34 1 ACAOAC2 32 4 22 1 OO 382326 3 1 V 17 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 解析解析 1 证明 在三角形 ABD 中 因为 该三角形为直角三角形 所以 ADABBAD2 60 a 2a a x B DC A p y z 14 DADPDBDPDPADPDADBD 且平面 PABDPADPDPADBD 平面平面 2 建立如图的坐标系 设点的坐标分别是 0 0 0 3 0 3 0 0 0 aPaaCaBaA 则 设平面 PAB 的法向量为 0 0 0 0 3 aaAPaBCaaAB 所以 取得 同理设平面 PBC 的法向量为 zyxn 0 0 APn ABn 3 3 3 nm 取得 于是 因此二面角 0 0 BCm PCm 3 1 0 m 7 72 cos nm nm nm 的余弦值是 7 72 18 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 19 19 如图 5 在圆锥中 已知 O 的直径POPO2 是的中点 为的中点 2AB C A ABDAC 证明 平面 平面 POD PAC 求二面角的余弦值 BPAC 解法一 连结 OC 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又底面 O AC底面 O 所以 PO ACPO 因为 OD PO 是平面 POD 内的两条相交直线 所以 平面 POD AC 而平面 PAC 所以平面 POD平面 PAC AC II 在平面 POD 中 过 O 作于 H 由 I 知 OHPD 平面 PODPAC 平面 所以平面 PAC 又面 PAC 所以 OH PA PAOH 在平面 PAO 中 过 O 作于 G 连接 HG OGPA 则有平面 OGH 从而 故为二面角 B PA C 的平面角 PA PAHG OGH 15 在 2 sin45 2 Rt ODAODOA 中 在 22 2 2 10 2 51 2 2 PO OD Rt PODOH POOD 中 在 22 2 16 321 PO OA Rt POAOG POOA 中 在 10 15 5 sin 56 3 OH Rt OHGOGH OG 中 所以故 2 1510 cos1 sin1 255 OGHOGH 二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 解法二 I 如图所示 以 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 OABCP 1 1 0 2 2 D 设是平面 POD 的一个法向量 则由 得 1111 nx y z 11 0 0n ODn OP 11 1 11 0 22 20 xy z 所以设是平面 PAC 的一个法向 11111 0 1 1 1 0 zxyyn 取得 2222 nxyz 量 则由 得 22 0 0nPAnPC 22 22 20 20 xz yz 所以得 22222 2 2 1 xzyz 取z 2 2 2 1 n 16 因为 12 1 1 0 2 2 1 0 n n 所以从而平面平面 PAC 12 nn POD II 因为 y 轴平面 PAB 所以平面 PAB 的一个法向量为 3 0 1 0 n 由 I 知 平面 PAC 的一个法向量为 设向量的夹角为 2 2 2 1 n 23 nn和 则 由图可知 二面角 B PA C 的平面角与相等 23 23 210 cos 55 nn nn 所以二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 2009 年高考广东卷年高考广东卷 A 文科第文科第 6 题 题 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 解析 错 正确 错 正确 故选 D 2 20092009 年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第 6 6 题 题 平面六面体 1111 ABCDABC D 中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱 的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 如图 用列举法知合要求的棱为 BC CD 11 C D 1 BB 1 AA 故选 C 17 3 山东省青岛市山东省青岛市 20112011 年年 3 3 月高考第一次模拟月高考第一次模拟 已知直线 l m 平面 且l m 则 是lm 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 4 山东省济宁市山东省济宁市 2011 年年 3 月高三第一次模拟月高三第一次模拟 已知 a b 为直线 为平面 在下列四 个命题中 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a a 则 若 b b 则 正确命题的个数是 A 1 B 3 C 2 D 0 答案 C 解析 由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平行或 异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 选 C 5 山东省泰安市 山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科 届高三上学期期末文科 设 l m n 为不同的直线 为不 同的平面 有如下四个命题 若 若 l l则 l l则 若 若nlnmml 则 nmnm 则且 A 0B 1C 2D 3 答案 B 6 山东省济南一中 山东省济南一中 20122012 届高三上学期期末文科 届高三上学期期末文科 已知正三棱锥的主视图 俯视图如下图所示 VABC 其中 VA 4 AC 则该三棱锥的左视图的面积 32 A 9 B 6 C D 3339 答案 B 7 山东省烟台市山东省烟台市 20122012 届高三上学期期末文科届高三上学期期末文科 已 18 知空间两条不同的直线和两个不同的平面 则下列命题中正确的是 nm A 若 B 若 mnmn 则 m mnn 则 C 若 D 若 mnmn 则 mmnmn 则 答案 D 8 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 9 已知正四棱锥中 那么当该棱SABCD 2 3SA 锥的体积最大时 它的高为 A 1 B C 2 D 33 9 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 11 与正方体的三条棱 1111 ABCDABC D AB 1 CC 所在直线的距离相等的点 11 AD A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 19 10 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 10 10 到两互相垂直的异面的距离相等的点 在过其中一条直线 且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 11 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1010 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为 顶点都a 在一个球面上 则该球的表面积为 A B C D 2 a 2 7 3 a 2 11 3 a 2 5 a 答案 B 解析 如图 P 为三棱柱底面中心 O 为球心 易知 所以球的半径满足 2331 3232 APaa OPa R 故 2222 317 3212 Raaa 22 7 4 3 SRa 球 12 20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 二 填空题 二 填空题 13 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 7 7 若圆锥的侧面积为 底面积为 则该圆锥的体积为 2 答案 3 3 14 2009 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 12 题 题 设和为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线 则平行于 20 2 若外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和平行 3 设和相交于直线l 若内有一条直线垂直于l 则和垂直 4 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 答案 1 2 15 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 月高三教学质量调研文科月高三教学质量调研文科 已知右上图是一个空间 几何体的三视图 则该几何体的外接球的表面积为 答案 8 16 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 15 15 已知正方体中 E 为的中点 则 1111 ABCDABC D 11 C D 异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 答案 2 3 解析 取的中点 为所求角 设棱长为 2 则 11 ABFAEF 3 5 2AEAFEF 222 2 cos 23 AEEFAF AEF AEEF 三 解答题 三 解答题 17 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 19 19 在如图所示的 几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 平面90 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大小 解析解析 连结 AF 因为 EF 21 EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证 所以 即EFG ABC 1 2 FGEF BCAB 即 又 M 为 AD 1 2 FGBC 1 2 FGAD 的中点 所以 又因为 D 所 1 2 AMAD 以 M 所以四边形 AMGF 是平行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA平面 所以 平面 取 AB 的中点 O 连结 CO 因为 所以 CO AB 又因为 平面 CO平面 所以 CO 又 AB A 所以 CO 平面 在平面 ABEF 内 过点 O 作 OH BF 于 H 连结 CH 由三垂 线定理知 CH BF 所以为二面角 CHO 的平面角 设 因为2a ACB CO 90 2aa 连结 FO 容易证得 FO EA 且 2 2 AEa 所以 所以 OH 所以在中 2 2 FOa 6 2 BFa 22 26 a 3 3 aRt COH tan CHO 故 CHO 所以二面角 的大小为 CO OH 360 60 18 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 18 18 如图 四边形 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 平面 PQC 平面 DCQ 22 II 求二面角 Q BP C 的余弦值 解析解析 I 方法一 由条件知 PDAQ 是直角梯形 因为 AQ 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线是 AD 又四边形 ABCD 是正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD 则 PQ QD 2 2 所以 PQ 平面 DCQ 因为 PQ平面 PQC 所以平面 PQC 平面 DCQ 方法二 如图 以 D 为坐标原点 线段 DA 的长为单位长 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空 间之间坐标系 D xyz 依题意由 Q 1 1 0 C 0 0 1 P 0 2 0 则 1 1 0 0 0 1 1 1 0 DQ DC PQ 所以 0PQ DQ 0PQ DC 即 故平面 DCQ PQDQ PQDC PQ 又平面 PQC 所以平面 PQC平面 DCQ PQ II 依题意得 B 1 0 1 1 1 0 1 2 1 CBBP 设 n x y z 是平面 PBC 的法向量 则即 0 0 n CB n BP 0 20 x xyz 因此 取 n 0 1 2 设 m 是平面 PBQ 的法向量 则 0 0 m BP m PQ 可取 m 1 1 1 所以 15 cos 5 m n 23 故二面角 Q BP C 的余弦值为 15 5 19 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 17 17 如图 为多面体 平面与平面ABCDEFGABED 垂直 点在线段上 AGFDOAD1 2 OAOD OABVOACODE 都是正三角形 ODF 证明直线 BCEF II 求棱锥 F OBED 的体积 解析解析 1 证法一 AOBODE Q 同理可证 OBDE OCDF OBCDEF 面面 BCDEF 面 EFDEFBEFC 面面QI BCEF 证法二 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 AOBODE Q OB DE OGOD 同理设是线段 DA 与 FC 延长线的交点 有 又 G 与都在线段 G OGOD G DA 的延长线上 所以 G 与重合 G 又 和 可知 B 和 C 分别是线段 GE 和 GF 的中点 OBDE OCDF BCEF 证法三 向量法 略 2 解析 由 OB 1 OE 2 得 EOB sin EOB S V 而是边长为 2 的正三角形 故 所以OEDV OBEDOBEOED SSS VV 过点 F 作 FQ DG 交 DG 于 Q 点 由于平面 ABED 平面 ACFD 所以 FQ 平面 ABED 所以 FQ 就是棱锥 F OBED 的高 且 所以FQ 24 F OBEDOBED VSFQ 20 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 17 如图 在三棱柱中 111 ABCABC 是正方形的中心 平面 且H 11 AAB B 1 2 2AA 1 C H 11 AAB B 1 5 C H 求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值 求二面角的正弦值 111 AACB 设为棱的中点 点在平面内 且N 11 BCM 11 AAB B 平面 求线段的长 MN 11 ABCBM 解析解析 如图所示 建立空间直角坐标系 点 B 为坐标原点 依 题意得 A B 0 0 0 C 2 2 0 0 2 2 5 1 2 2 2 2 0 A 1 0 2 2 0 B 1 2 2 5 C 易得 于是 2 2 5 AC 11 2 2 0 0 AB 所以异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦 11 11 11 42 cos 3 3 2 2 AC AB AC AB ACAB 值为 2 3 易知 设平面的法向量 1 0 2 2 0 AA 11 2 2 5 AC 11 AAC 则 mx y z 即 不妨令可得 同样地 设 11 1 0 0 m AC m AA 2250 2 20 xyz y 5 x 5 0 2 m 平面的法向量 则 即 不妨令 111 ABC nx y z 11 11 0 0 n AC n AB 2250 2 20 xyz x 可得 于是 从而5 y 0 5 2 n 22 cos 7 7 7 m n m n mn 3 5 sin 7 m n 25 所以二面角的正弦值为 111 AACB 3 5 7 由 N 为棱的中点 得 设 则 11 BC 2 3 25 222 N 0 M a b 23 25 222 MNab 由平面 得 即MN 111 ABC 11 11 0 0 MN AC MN AB 23 25 2 2 50 232 2 2 2 0 2 ab a 解得 故 因此 2 2