数学所有不等式放缩技巧及证明方法

1 7 高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法 一 裂项放缩裂项放缩 例 1 1 求的值 2 求证 n k k 1 2 14 2 3 51 1 2 n k k 例 2 1 求证 2 12 2 1 6 7 12 1 5 1 3 1 1 222 n nn 2 求证 nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 2 7 3 求证 112 2642 12 531 642 531 42 31 2 1 n n n 4 求证 112 2 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 例 3 求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 例 4 2008 年全国一卷 设函数 数列满足 设 整数 lnf xx xx n a 1 01a 1 nn af a 1 1 ba 1 1ln ab k ab 证明 1k ab 例 5 已知 求证 mmmm m nSxNmn 321 1 1 1 1 11 m n m nSmn 例 6 已知 求证 nn n a24 n n n aaa T 21 2 2 3 321 n TTTT 例 7 已知 求证 1 1 x 2 1 12 Zkknn Zkknn xn 11 2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 二 函数放缩二 函数放缩 例 8 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 例 9 求证 1 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 n n nn n n 例 10 求证 n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 例 11 求证 和 e n 1 1 3 1 1 2 1 1 e n 3 1 1 81 1 1 9 1 1 2 例 12 求证 32 1 1 321 211 n enn 3 7 例 14 已知证明 11 2 11 1 1 2 nn n aaa nn 2 n ae 例 16 2008 年福州市质检 已知函数若 ln xxxf 2ln 0 0bfbafbaafba 证明 三 分式放缩三 分式放缩 例 19 姐妹不等式 和也可以表示成为12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 12 1 2 1 1 6 1 1 4 1 1 2 1 1 n n 和12 12 531 2642 n n n 12 1 2642 12 531 nn n 例 20 证明 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 四 分类放缩四 分类放缩 例 21 求证 212 1 3 1 2 1 1 n n 例 23 2007 年泉州市高三质检 已知函数 若的定义域为 1 0 值域也为 1 2 Rcbcbxxxf xf 1 0 若数列满足 记数列的前项和为 问是否存在正常数A 使得对于任 n b 3 Nn n nf bn n b n n T 意正整数都有 并证明你的结论 nATn 例 24 2008 年中学教学参考 设不等式组表示的平面区域为 设内整数坐标点的个数为 设 nnxy y x 3 0 0 n D n Dn a 当时 求证 nnn n aaa S 221 111 2 n 36 1171111 2 321 n aaaa n 五 迭代放缩五 迭代放缩 例 25 已知 求证 当时 1 1 4 11 x x x x n n n 2 n n n i i x 1 1 22 2 4 7 例 26 设 求证 对任意的正整数k 若k n恒有 Sn k Sn 0 b 0 求证 1 2 nnn ba 例 47 设 求证 Nnn 1 2 1 8 3 2 nn n 例 49 已知函数f x 的定义域为 0 1 且满足下列条件 对于任意 0 1 总有 且 x 3f x 14f 若则有 1212 0 0 1 xxxx 1212 3 f xxf xf x 6 7 求f 0 的值 求证 f x 4 当时 试证明 1 11 1 2 3 33 nn xn 33f xx 例 50 已知 求证 12 1 0 ni aaaa 2 1 ni 2222 112 122311 1 2 nn nnn aaaa aaaaaaaa 十二 部分放缩 尾式放缩 例 55 求证 7 4 123 1 123 1 13 1 1 n 例 56 设求证 a n a 2 1 1 2 1 3 1 a na a 2 n a 例 57 设数列满足 当时证明对所有 有 n a Nnnaaa nnn 1 2 1 3 1 a 1 n 2 nai n 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa ii 1 1 添加或舍弃一些正项 或负项 添加或舍弃一些正项 或负项 例 1 已知求证 21 n n anN 12 231 1 23 n n aaan nN aaa 2 2 先放缩再求和 或先求和再放缩 先放缩再求和 或先求和再放缩 例 2 函数f x 求证 f 1 f 2 f n n x x 41 4 2 1 2 1 1 Nn n 3 3 先放缩 后裂项 或先裂项再放缩 先放缩 后裂项 或先裂项再放缩 例 3 已知 an n 求证 3 n k 1 4 4 放大或缩小 放大或缩小 因式因式 例 4 已知数列满足求证 n a 2 11 1 0 2 nn aaa 12 1 1 32 n kkk k aaa 7 7 5 5 逐项放大或缩小 逐项放大或缩小 例 5 设求证 1 433221 nnan 2 1 2 1 2 n a nn n 6 6 固定一部分项 放缩另外的项 固定一部分项 放缩另外的项 例 6 求证 2222 11117 1234n 7 7 利用基本不等式放缩 利用基本不等式放缩 例 7 已知 证明 不等式对任何正整数都成立 54 n an 51 mnmn aa a m n 构造函数法证明不等式的方法 一 一 移项法构造函数移项法构造函数 例 1 已知函数 求证 当时 恒有xxxf 1ln 1 xxx x 1ln 1 1 1 2 2 作差法构造函数证明 作差法构造函数证明 例 2 已知函数 求证 在区间上 函数的图象在函数的图象的下 ln 2 1 2 xxxf 1 xf 3 3 2 xxg 方 3 3 换元法构造函数证明 换元法构造函数证明 例 3 200