2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （教师版2）

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0909 立体几何立体几何 理理 教师版 教师版 2 2 1 2011 届 江西白鹭洲中学高三期中 文 4 已知 m n 为两条不同的直线 为 两个不同的平面 下列四个命题中 错误的命题个数是 A nmnm 则 若 则且nmnm mm则若 mmm则若 A 1B 2C 3D 4 2 2011 届 温州十校联合体高三期中 理 6 设 是三个不重合的平面 nm 是不重合的直线 下列判断正确的是 D A 若 则 B 若 l 则l C 若 nm 则 mn D 若 mn 则 mn 3 2011 届 温州十校联合期中 理 12 一个五面体的三视图如下 正视图与侧视图是 等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 部分边长如图所示 则此五面体的体积为 4 2011 届 福州三中高三期中 理 m n 表示直线 表示平面 给出下列四个 命题 其中真命题为 B 1 则 mnnm 2 mnnm 则 3 mm 则 4 则 nmnm 用心 爱心 专心2 7 2011 届 安徽省河历中学高三期中 文 8 设 是两个不同的平面 l是一条直 线 以下命题正确的是 C A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 则l D 若 l 则l 8 2011 届 安徽省河历中学高三期中 文 10 如图 已知球O为棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的 内切球 则平面 1 ACD 截球O的截面面积为 A A 6 B 3 C 6 6 D 3 3 9 2011 届 台州中学高三期中 文 4 一个四面体的所有棱长都为 2 四个顶点在 同一个球面上 则此球的表面积为 D A 6 B 4 C 3 3 D 3 10 2011 届 台州中学高三期中 文 6 如下图 某几何体的正视图与侧视图都是边长 为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该几何体的俯视图可以是 答案 C 11 2011 届 嵊州一中高三期中 文 8 已知两个不同的平面 和两条不重合的 用心 爱心 专心3 直线 m n 有下列四个命题 若 mnm 则 n 若 则 mm 若 则 nnmm 若 nmnm 则 其中正确命题的个数是 D A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 12 2011 届 双鸭山一中高三期中 理 6 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 B A 若l m m 则l B 若l l m 则m OB OC两两垂直 且OAOBOC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面 平分三棱锥的体积 截面面积依次为 1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S 的 大小关系为 321 sss 15 2011 届 唐山一中高三期中 文 15 已知 S A B C 是球 O 表面上的四个点 SA 平面 ABC AB BC SA 2 AB BC 2 则球 O 的表面积为 答案 三棱锥 S ABC 是长方体的一角 它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相 同 2R 22224 R 2 16 2011 届 安徽省河历中学高三期中 文 14 一个三棱锥的三视图如图所示 其正 视图 左视图 俯视图的面积分别是 1 2 4 则这个几何体的体积为 4 3 用心 爱心 专心4 17 2011 届 安徽省河历中学高三期中 理 11 已知正四面体的俯视图如左图所示 其 中四边形是边长为 2cm 的正方形 则这个四面体的主视图的面积为 cm2 则该球的表面积为 108 若棱长为 2的正四面体的顶点都在同一球面上 则该球的 体积为 3 2 其中 正确命题的序号为 2 4 写出所有正确命的序号 20 2011 届 江西白鹭洲中学高三期中 文 8 某几何体的三视图如图所示 根据图中 标出的数据 可得这个几何体的表面积为 B A 344 B 544 C 3 8 D 12 21 2011 届 江西白鹭洲中学高三期中 文 9 已知 3 22 qp p 与q 的夹 角为 4 则以 qpbqpa 3 25 为邻边的平行四边形的长度较小的对 角线的长是 A A 15 B 15 C 4 D 14 22 2011 届 安徽省河历中学高三期中 理 12 如图 在三棱锥 PABC 中 PA PB PC两两垂直 且 3 2 1PAPBPC 设 M是底面ABC内一点 定义 f Mm n p 其中m n p 分别是 三棱锥M PAB 三棱锥M PBC 三棱锥M PCA 的体积 若 1 2 f Mx y 且 1 8 a xy 恒成立 则正实数a的最小值为 1 第 13 题 M C B A P 用心 爱心 专心5 23 2011 届 江西白鹭洲中学高三期中 文 19 本小题满分 12 分 如图所示 在正 三棱柱 ABC A1B1C1 中 底面边长是 2 D 是棱 BC 的中点 点 M 在棱 BB1 上 且 BM 1 3 B1M 又 CM AC1 求证 A1B 平面 AC1D 求三棱锥 B1 ADC1 体积 1 连接 CA1 交 1 AC 于点 E 连接DE 则DE是 BCA1 的中位线 BADE 1 又 111 ADCBA ADC面面 DE DAC 11 面BA 2 在正三棱锥 111 CBAABC 中 BC是D 的中点 则 11B BCC面 AD 从而 MCAD 又 1 ACCM 则 1 ADCCM和面 内的两条相交直线 1 ACAD 都垂直 1 ADCMC面 于是 1 DCCM 则 1 CDC 与 MCB 互余 则 1 tanCDC 与 MCB tan 互为倒数 易得 22 1 AA 连结 DB1 22 11 DCB S DCB 11 面 AD 三棱锥 11 ADC B 的体积为 2 6 3 方法2 以D为坐标原点 DADC 为x y 轴 建立空间直角坐标系 设 hBB 1 则 0 0 0 D 0 0 1 B 0 0 1 C 0 3 0 A 0 1 1 hB 0 1 1 hC 3 0 1 hA 4 0 1 h M BA1 3 1 h 3 1 0 3 0 1 hACAD 设平面 DAC1 的法 向量 zyxn 则 0 1 0 n AC nAD 1 0 hn nBA1 DAC 11 面BA 2 3 1 4 0 2 1 hAC h CM 1 ACCM 1 ACCM 0 4 2 2 h 22 h 平面 DAC1 的法向量为 1 0 22 n 22 3 1 1 AB 点 22 0 1 1 B 到平面 DAC1 的距离 3 24 1 n d n AB 2 33 ADC S 3 62 3 24 2 33 3 1 11 ADCB V 用心 爱心 专心6 24 2011 届 温州十校联合体高三期中 理 20 本小题满分 14 分 已知在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 PAD 是正三角形 平面 PAD 平面 ABCD E F G 分别是 PA PB BC 的中点 I 求证 EF 平面 PAD II 求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小 解 方法 1 I 证明 平面 PAD 平面 ABCD ADAB AB 平面 PAD 4 分 E F 为 PA PB 的中点 EF AB EF 平面 PAD 6 分 II 解 过 P 作 AD 的垂线 垂足为 O ABCDPAD平面平面 则 PO 平面 ABCD 取 AO 中点 M 连 OG EO EM EF AB OG OG 即为面 EFG 与面 ABCD 的交线 8分 又 EM OP 则 EM 平面 ABCD 且 OG AO 故 OG EO EOM 即为所求 11 分 中EOM Rt EM 3 tanEOM 3 故 EOM 60 设平面 EFG 的一个法向量为 zyx n 则 034 02 0 0 zyx x EG EF 即 n n 1 3 0 1 n得取z 11 分 平面 ABCD 的一个法向量为 1 0 0 1 n 12 分 M 用心 爱心 专心7 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是 2 1 cos 1 1 1 nn nn nn 锐二面角的 大小是 60 14 分 25 2011 届 台州中学高三期中 文 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中 90 1 0 AAABACBAC E 是 BC 的中点 1 求异面直线 AE 与 A1C 所成的角 2 若 G 为 C1C 上一点 且 EG A1C 试确定点 G 的位置 3 在 2 的条件下 求二面角 C AG E 的正切值 解 1 取 B1C1 的中点 E1 连 A1E1 E1C 则 AE A1E1 E1A1C 是异面直线 A 与 A1C 所成的角 设 aAAABAC2 1 则 22 2 111 aCAaEA 2 2 1 1111 aCBCE 6 2 1 2 111 aCCCECE CEA 11 在 中 2 1 2222 682 cos 222 11 aa aaa CAE 所以异面直线 AE 与 A1C 所成的角为 3 5 分 2 由 1 知 A1E1 B1C1 又因为三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱 11E A BCC1B1 又 EG A1C CE1 EG 11CC E GEC 11CC E GEC CC EC CE CG 1 11 即 a a a CG 2 2 2 得 aCG 所以 G 是 CC1 的中点 9 分 3 连结 AG 设 P 是 AC 的中点 过点 P 作 PQ AG 于 Q 连 EP EQ 则 EP AC 又 平面 ABC 平面 ACC1A1 EP 平面 ACC1A1 而 PQ AG EQ AG PQE 是二面角 C AG E 的平面角 由 EP a AP a PQ 5 a 得 5tan PQ PE PQE 所以二面角 C AG E 的平面角正切值是 5 14 分 26 2011 届 台州中学高三期中 理 19 本小题满分 14 分 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD I 求证 AO 平面 BCD II 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦值的大小 III 求点 E 到平面 ACD 的距离 方法一 I 证明 连结 OC C A D B O E 用心 爱心 专心8 BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD 在 AOC 中 由已知可得 1 3 AOCO 而2 AC 222 AOCOAC 90 o AOC 即 AOOC BDOCO AO 平面BCD II 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知ME AB O E D C 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 OME 中 121 1 222 EMABOEDC OM 是直角AOC 斜边 AC 上的中线 1 1 2 OMAC 2 cos 4 OEM 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2 arccos 4 III 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 11 33 E ACDA CDEACDCDE VVh SAO S 在 ACD 中 2 2 CACDAD 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 方法二 II 以 O 为 原点 如图建立空间直角坐标系 则 1 0 0 1 0 0 BD 13 0 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 0 22 CAEBACD 2 cos 4 BACD BA CD BA CD A B M D E O C x C A B O D y z E 用心 爱心 专心9 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为 2 arccos 4 III 解 设平面 ACD 的法向量为 nx y z 则 1 0 1 0 0 3 1 0 n ADx y z n ACx y z 0 30 xz yz 令1 y 得 3 1 3 n 是平面 ACD 的一个法向量 又 13 0 1 22 EC 点 E 到平面 ACD 的距离 321 77 EC n h n 27 2011 届 嵊州一中高三期中 文 19 本题 14 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA ABCD 四边形 ABCD 是矩形 E F 分别是 AB PD 的中点 若 PA AD 3 CD 6 I 求证 AF 平面 PCE II 求点 F 到平面 PCE 的距离 III 求直线 FC 与平面 PCE 所成角的大小 解法一 I 取 PC 的中点 G 连结 EG FG 又由 F 为 PD 中点 则 FG 1 2 CD 又由已知有 1 2 AECDFGAE 四边形 AEGF 是平行四边形 EGAF AF又 平面 PCE EG PCE 平面 PCEAF平面 5 分 II PAABCD 平面 3 PADABCDABCDCDAD CDPADAFCDPAADFPD AFPDPDCDDAFPCDEGAF 平面平面由是矩形有 平面又是的中点 平面由 EGPCDPCDFFHPCH PCDPCEPCFHFPCE 平面平面内过作于 由于平面平面则的长就是点到平面的距离 3 3 2 2 2 6 2 13 30 2 24 PDPFPC CDPADCPDFHPF 由已知可得 由于平面 3 2 4 FPCE 点到平面的距离为 10 分 III 由 II 知 FCHFCPCE 为直线与平面所成的角 3 6 2 2 Rt CDFCDFD 在中 用心 爱心 专心10 22 4221 sin 214 FH FCCDFDFCH FC 14 21 arcsin所成角的大小为与平面直线PCEFC 14 分 33 0 22 PFFPCE 又故点到平面的距离为 4 23 22 2 3 2 3 n nPF d 10 分 III 33 6 22 FC 321 cos 14 21 2 2 2 FC n FC n FCn 直线 FC 与平面 PCE 所成角的大小为 21 arcsin 14 14 分 28 2011 届 唐山一中高三期中 文 本题满分 12 分 已知四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD 异面直线 PB 与 CD 所成的角为 45 求 1 二面角 B PC D 的大小 2 直线 PB 与平面 PCD 所成 的角的大小 解 1 AB CD PBA 就是 PB 与 CD 所成的角 即 PBA 45 于是 PA AB 作 BE PC 于 E 连接 ED 在 ECB 和 ECD 中 BC CD CE CE 用心 爱心 专心11 ECB ECD ECB ECD CED CEB 90 BED 就是二面角 B PC D 的 平面角 4 分 注 也可不还原成正方体 利用体积求出点 B 到平面 PCD 的距离 或用向量法解答 一年原创一年原创 一 选择题 1 正三棱锥的底面周长为 6 侧面都是直角三角形 则此棱锥的体积为 A 3 24 B 2 C 3 22 D 3 2 解析 选 D 由正三棱锥的性质 它的侧棱长为2 且两两垂直 所以其体积为 3 2 22 2 1 3 1 2 V 故选 D 2 一个圆柱的轴截面为正方形 其体积与一个球的体积比是 3 2 则这个圆柱的侧面积与 这个球的表面积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 解析 选 A 设圆柱的底面半径为r 球的半径为R 由于圆柱的轴截面为正方形 因此圆 柱的母线长为r2 所以 2 3 3 4 2 3 2 R rr V V 球 圆柱 即Rr 侧 侧 侧侧侧 1 4 22 2 R rr S S 故选 A 3 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 A 若 m n 则mn B 若 m n 则mn C 若m n 则m n 用心 爱心 专心12 D 若m n 则m n 解析 选 A A 对 在 B 中有 m 与 n 不垂直的情况 在 C 中 还 有 m 与 n 相交 异面的情况 在 D 中 还有 m 与 n 相交 异面 的情况 故选 A 4 圆锥的母线长为 6 轴截面的顶角为 120度 过两条母线作 截面 则截面面积的最大值为 A 39 B 18 C 318 D 9 解析 选 B 设截面等腰三角形的顶角为 则截面面积为 sin18sin6 2 1 2 S 因为 1200 所以18sin18 S 故选 B 5 某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆 DC 的高度 在旗杆的正西方向的点 A 测得旗杆顶端 D 的仰角为30 度 沿点 A 向北偏东 60 度前进 18 米到达 B 点 测得旗杆顶端 D 的仰角为 45 度 经目测 AB 小于 AC 则旗杆的高度为 A 9 米 B 16 米 C 18 米 D 9 米或 18 米 解析 选 C 如图 设hDC 则hACDAC3 30 hBCDBC 45 所以在BAC 中 18 30 ABBAC 应用余弦定理得 30cos3182318 2 22 hhh 解这个方程得 9h18 或h 当9 h时 ABhAC 393 与已知矛盾 故舍去 当18 h时符合题意 所以选 C 6 如图是一个六棱柱的三视图 俯视图是一个周长为 3 的正六边形 该六棱柱的顶点都 在同一个球面上 那么这个球的体积为 A 2 B 3 4 C 3 5 D 3 解析 选 B 这是一个正六棱柱 上下两个底面的中心连线的中点就是球 心 因为六棱柱的高为3 所以球心到底面的距离为 2 3 d 因为底面 正六边形的周长为 3 所以底面正六边形的边长为 2 1 即底面外接圆的半 径为 2 1 r 由球的截面性质得球半径1 22 drR 所以这个球的体积为 4 3 故选 B 7 等边三角形ABC的边长为 4 M N分别为AB AC的中点 沿MN将 AMN折起 使得面 AMN与面MNCB所成的二面角为 30 则四棱锥A MNCB的体积为 用心 爱心 专心13 A 2 3 B 2 3 C 3 D 3 解析 选 A 在平面图中 过A作AL BC 交MN于K 交BC于L 则AK MN KL MN AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平面角 即有 AKL 30 则四棱锥A MNCB的高h 30sinAK 2 3 KL 2 42 S MNCB 四边形 33 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 故选 A 8 由棱长为 2 的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为 A 2 B 4 C 3 2 D 3 4 解析 选 D 构成的几何体是两个有公共底面的正四棱锥 它的底面边长为2 高为 1 所以一个正四棱锥的体积为 3 2 12 3 1 2 新几何体的体积为 3 4 2 3 2 故选 D 9 设 为两两不重合的平面 nml 为两两不重合的直线 给出下列四个命题 若 则 若 nmnm 则 若 l 则 l 若 lnml 则nm 其中真命题的个数 是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 B 也有相交的情况 要保证nm 相交 才有 由面面平行的 性质定理可知正确 因mllml 同样nl 从而nm 故 对 故选 B 10 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 2 E F 分别为 AB CD 的中点 沿 EF 把 BCFE 折 起后与 ADFE 垂直 P 为矩形 ADFE 内一动点 P 到面 BCFE 的距离与它到点 A 的 距离相等 设动点 P 的轨迹是曲线 L 则曲线 L 是 A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 抛物线的一部分 D 双曲线的一部分 解析 选 C 如图 过点 P 作 PQ 垂直于 FE 则 PQ 垂直于平面 BCFE 所以 PQ PA 所以动点 P 的轨迹 即曲线 L 为以 A 为焦点 以 FE 为准线的抛物线在矩形内 的部分 故选 C 二 填空题 11 如图是一个几何体的三视图 俯视图是顶角为 120 度的等腰三角形 则这个几何体的表面积为 解析 根据三视图的知识 这个几何体是底面边长分别为32 2 2的等腰三角形 用心 爱心 专心14 高为 2 的直三棱柱 它的侧面积是 34823222 为 30 轴截面为正三角形 故圆锥的最高点离桌面的距离为3560sin l厘米 答案 35厘米 13 在一个棱长为 6 厘米的密封正方体盒子中 放一个半径为 1 厘米的小球 任意摇动盒子 小球在盒子中不能达到的空间为 G 则这个正方体盒子中的一点属于 G 的概率为 解析 在正方体盒子中 不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能 到达的空间 其体积为 3 4 8 3 4 23 小球沿每条棱运动不能到达的空间 除去两端 的两个角 的体积 即为高为 4 的一个正四棱柱的体积与其内接圆柱体积差的四分之一 如图二 即 44142 4 1 22 正方体有 12 条棱 所以在盒子中小球不能到达的空间 G 的体积为 3 4 8 3 40 56412 又正方体盒子的体积为 63 216 所这以个正 方体盒子中的一点属于 G 的概率为 81 521 216 3 40 56 答案 81 521 14 等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB 二面角CABD 的余弦值为 3 3 MN 分别是ACBC 的中点 则EMAN 所成角的余弦值等于 解 设2AB 作COABDE 面 OHAB 则CHAB CHO 为二面角 CABD 的 平面角3 cos1CHOHCHCHO 结合等边三角形ABC与正方形ABDE可 用心 爱心 专心15 知 15 直角三角形 ABC 中 AD 是斜边 BC 上的高 则 AB 是 BD 与 BC 的等比中项 请利用类比推 理给出 三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA PB PC 两两垂直 点 P 在底面上的射影为 O 则 解析 连接 CO 并延长交 AB 于 D 连接 PD 则 PD PC CD AB 所以 PD2 DO DC 所以 ABCAOBPAB SSS 2 即三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等 比中项 答案 三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等比中项 三 解答题 16 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD PC AD 底面 ABCD 为梯形 AB DC AB BC PA AB BC 点 E 在棱 PB 上 且 PE 2EB 1 求证 平面 PAB 平面 PCB 2 求证 PD 平面 EAC 证明 1 PA 平面 ABCD PA BC 又 AB BC PA AB A BC 平面 PAB 又 BC 平面 PCB 所以平面 PAB 平面 PCB 2 PA 底面 ABCD PA AD 又 PC AD PA PC P AD 平面 PAC AC AD 在梯形 ABCD 中 由 AB BC AB BC 得 BAC 45 DCA BAC 45 又 AC AD 故 DAC 为等腰直角三角形 DC 2AC 2 2AB 2AB 连结 BD 交 AC 于点 M 则2 AB DC MB DM 连结 EM 在 BPD 中 2 MB DM EB PE PD EM 又 EM 在平面 EAC 内 PD 平面 EAC 17 在 ABC 中 AB CA 6 BC 8 点 D E F 分别是 BC AB CA 的中点 以三条中位线为 折痕 折成一个三棱锥 P DEF 点 M N 分别是 PD EF 的中点 1 求证 MN PD MN EF 2 求这个三棱锥 P DEF 的体积 解析 1 连接 DN NM PN 用心 爱心 专心16 因为 DF DE PF PE 所以 PN EF DN EF PN DN 5 又 PN DN N 所以 EF 平面 PDN 所以 EF MN PD MN 2 由 1 知 EF 平面 PDN 在直角三角形 PMN 中 PM 2 PN 5 由勾股定理得 MN 1 所以 PDN 的面积为214 2 1 2 1 MNPDS 所以这个三棱锥 P DEF 的体积 3 8 42 3 1 3 1 EFSV 18 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 1 点 E F G 分别是棱 AA1 C1D1 BC 的中点 1 在直线 A1D1上是否存在点 Q 使得 EQ 平面 FB1G 2 求四面体 EFGB1的体积 解析 1 如图取 AD 的中点 M 连接 A1M 则 A1M B1G 所以 EQ 平面 FB1G 的充要条件是 A1M EQ 延长 QE 交 AD 于点 N 因为 E 为 AA1中点 所 以 N 为 AM 的中点 所以 4A1Q AD 所以在线段 D1A1延长线上存在点 Q 使得 EQ 平面 FB1G 2 由 1 知 1 1111 3 1 AASVVV QFBQFBGGFBQGFBE 如图 8 9 1111111 CFBFQDBCQDQFB SSSS 梯形 所以 8 3 1 8 9 3 1 1 GFBE V 19 如图是三棱柱 ABC A1B1C1的三视图 正 主 视图和俯视 图都是矩形 侧 左 视图为等边三角形 D 为 AC 的中点 1 求证 AB1 平面 BDC1 2 设AB1垂直于 BC1 BC 2 求这 个三棱柱的表面积 解析 1 由三视图画出直观图 如图 这是一个正三棱柱 连接 BC1和 B1C 交点为 O 则 O 为 B1C 的中点 连接 OD 因为 D 为中点 所以 OD AB1 又 OD 在平面 BDC1内 AB1不在平面 BDC1内 所以 AB1 平面 BDC1 2 过 A 作 AF BC 垂足为 F 连接 B1F 因为侧面垂直于底面 所以 AF 侧面 BCC1B1 所 以 AB1在侧面 BCC1B1内的射影为 B1F 因为 AB1垂直于 BC1 所以 BC1 B1F Rt B1BF Rt BCC1 B1B BC BF C1C 所以 B1B2 BC BF 2 所以侧棱2 1 BB 所以表面积为 用心 爱心 专心17 32262 4 3 2223 2 20 如图 平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB 1 AD 2 ADC 60 AF 3 1 求证 AC BF 2 求四面体 BDEF 的体积 解析 1 如图 在 ABC 中 AB 1 BC 2 ABC 60 由余弦定理得 60cos2 22 BCABBCABAC 3 2 1 21241 222 BCACAB BAC 90 即 AC AB 又在矩形 ACEF 中 AC AF 且 AF AB A AC 平面 ABF 又 BF 平面 ABF AC BF 2 设 AC BD 交于点 O 连接 EO FO ED EB 平面 ACEF 平面 ABCD 平面 ACEF 平面 ABCD AC FA AC FA 平面 ABCD 又 BA AC 所以 BA 平面 ACEF 所以 3 3 1 22 BASVV EOFEOFBBDEF四面体 21 如图 AB 为圆 O 的直径 点 E F 在圆上 已知 AB EF AB BC 4 AE EF BF 2 AD 2 直角梯形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的 平面互相垂直 1 求证 平面 CBE 平面 DAE 2 在 DB 上是否存在一点 G 使 GF 平面 DAE 若不存在 请说明理由 若存在 请找出这一点 并证明之 20 解析 1 如图 连结 BE 因为四边形 ABCD 是直角梯形 所以 AD AB 又平面 ABCD 平面 ABFE 所以 AD 平面 ABFE 所以 AD BE 因为 AB 为圆 O 的直径 所以 AE BE 又 AE AD A 所以 BE 平面 DAE 又 BE 平面 CBE 所以平面 CBE 平面 DAE 2 存在 点 G 是 BD 的中点 证明 连结 OG OF GF 则 OG AD 又因为 OG 平面 DAE 所以 OG 平面 DAE 因为 AB EF AO 2 1 AB 2 EF 2 所以四边形 AOFE 是平行四边形 所以 OF AE 又 OF 平面 DAE 所以 OF 平面 DAE 又 OG OF O 所以平面 OGF 平面 DAE 所以 GF 平面 DAE 用心 爱心 专心18 1 题目多出一些选择 填空题 经常出一些考察空间想象能力的试题 解答题的考 察位置关系 夹角距离的载体使空间几何体 我们要想像的出其中的点线面间的位置关系 2 研究立体几何问题时要重视多面体的应用 才能发现隐含条件 利用隐蔽条件 解题 复习建议复习建议 1 三视图是新课标新增的内容 2010 2011 2012 年课改区的高考题都有体现 因此 三视图的内容应重点训练 2 证明空间线面平行与垂直 是必考题型 解题时要由已知想性质 由求证想判定 即分 析法与综合法相结合寻找证明思路 3 空间图形中的角与距离 先根据定义找出或作出所求的角与距离 然后通过解三角形等 方法求值 注意 作 证 算 的有机统一 解题时注意各种角的范围 异面直线所成角的 范围是 0 90 其方法是平移法和补形法 直线与平面所成角的范围是 0 90 其解法是作垂线 找射影 二面角 0 180 4 与几何体的侧面积和体积有关的计算问题 根据基本概念和公式来计算 要重视方程的 思想和割补法 等积转换法的运用 5 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 要对照翻折 或展开 前后两个图形 分清哪些元素的位置 或数量 关系改变了 哪些没 有改变 母题特供母题特供 母题一 母题一 金题引路 金题引路 如图 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 0 90 PAD 且GFE2 ADPA 分别是线段CDPDPA 的中点 求 证 PB 平面EFG 求异面直线EG与BD所成角的余弦值 解 作AB中点M 连接EM M G 1 分 MGAD ADEFMGEFMGFE 从而在同一个平面内 而 EMPBEMGF 在三角形PAB中 PB平面 5 分 用心 爱心 专心19 即得PB平面EFG 6 分 作BC 中点N 连接N G BD N G 所以EG N 就是异面直线EG 与BD 的夹角 9 分 取N G 中点O 连接AO EO 22 11 2 EAAO 由已知 可求得EO 22 2 6 2 EOOG O G EG 所以 3 6 cos EG N cos EG O 为所求 母题二 母题二 金题引路 金题引路 如图 一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O AB 是圆 O 的直径 四边形 DCBE 为平行四边形 且 DC 平面 ABC 1 证明 平面 ACD 平面ADE 2 若2AB 1BC 3 tan 2 EAB 试求该几何体的体积 V 解 证明 DC 平面 ABC BC 平面 ABC DCBC 2 分 AB 是圆 O 的直径 BCAC 且DCACC BC 平面 ADC 4 分 四边形 DCBE 为平行四边形 DE BC DE 平面 ADC 6 分 又 DE 平面 ADE 平面 ACD 平面ADE 7 分 2 解法 所求简单组合体的体积 E ABCE ADC VVV 9 分 2AB 1BC 3 tan 2 EB EAB AB 3BE 22 3ACABBC 11 分 111 362 E ADCADC VSDEAC DC DE 12 分 111 362 E ABCABC VSEBAC BC EB 13 分 该简单几何体的体积1V 14 分 解法 2 将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱 8 分 如图 2AB 1BC 3 tan 2 EB EAB AB 3BE 22 3ACABBC 10 分 用心 爱心 专心20 ACB FDEE ADF VVV 1 3 ACBADC SDCSDE 12 分 11 26 AC CB DCAC DC DE 11 3 1333 11 26 14 分 母题三 母题三 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 5 AB AA1 4 点 D 是 AB 的中点 求证 AC BC1 求二面角 1 DCBB 的平面角的正切值 证明 直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长 AC 3 BC 4 AB 5 222 ACBCAB AC BC 2 分 又 AC 1 C C 且 1 BCC CC AC 平面 BCC1 又 1 BC 平面 BCC1 4 分 AC BC1 5 分 解法一 取BC中点E 过D作 1 DFBC 于F 连 接EF 6 分 D是AB中点 DEAC 又AC 平面 11 BBC C DE 平面 11 BBC C 又 EF 平面 11 BBC C 1 BC 平面 11 BBC C DEEF 1 BCDE 又 1 DFBC 且DEDFD 1 BC 平面DEF EF 平面DEF 1 BCEF 又 1 DFBC EFD 是二面角 1 DBCB 的平面角 10 分 AC 3 BC 4 AA1 4 在DEF 中 DEEF 3 2 DE 2EF 3 3 2 2 tan 42 DE EFD EF 13 分 二面角 1 DBCB 的正切值为 3 2 4 14 分 解法二 以 1 CACBCC 分别为xyz 轴建立如图所示空间直角坐标系 6 分 AC 3 BC 4 AA1 4 3 0 0 A 00 B 4 0 0 0 C 3 2 0 2 D 1