江西省赣州市于都实验中学高三数学第三次月考试题 理（含解析）新人教A版

1 江西省赣州市于都实验中学江西省赣州市于都实验中学 20132013 届届高三 上 第三次月考高三 上 第三次月考 数学试卷 理科 数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一个选项符合题目要求 把正确选项的代号涂在答题卡上 有一个选项符合题目要求 把正确选项的代号涂在答题卡上 1 5 分 设集合 则 A B A B 3 4 C 2 1 D 4 考点 对数函数的定义域 交集及其运算 专题 函数的性质及应用 分析 集合 A 是数集 是使得对数式真数大于零的 x 的取值集合 集合 B 也是数集 是使 4 5x x2 0 的 x 的集合 两集合化简后直接取交集 解答 解 A x y ln x 3 x x 3 由 4 5x x2 0 得 1 x 4 所以 B x x 1 x 4 所以 A B x 3 x 4 即为 3 4 故选 B 点评 本题考查了函数的定义域及交集运算 考查学生发现问题解决问题的能力 是基础 题 2 5 分 已知复数 z 满足 z i 2 i i 为虚数单位 则 z A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 复数方程同除 i 右侧复数的分子 分母同乘复数 i 化简为 a bi a b R 的形 式 2 解答 解 由 z i 2 i 得 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查计算能力 是基础题 3 5 分 2013 辽宁一模 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 是 16 a 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 特称命题 专题 计算题 分析 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 等价于命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为真命题 故 a2 16a 0 由此得到 16 a 0 由 16 a 0 知 a2 16a 0 故命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为真命题 所以命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 由此得到命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 是 16 a 0 的充要条件 解答 解 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为真命题 a2 16a 0 16 a 0 即命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 16 a 0 16 a 0 a2 16a 0 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为真命题 命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 即命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 16 a 0 故命题 x R 使 x2 ax 4a 0 为假命题 是 16 a 0 的充要条件 故选 C 点评 本题考查必要条件 充分条件 充要条件的判断和应用 是基础题 解题时要认真 审题 仔细解答 4 5 分 2012 房山区一模 已知函数 则对任意 x1 x2 R 若 0 x1 x2 下列不等式成立的是 A f x1 f x2 0 B f x1 f x2 0 C f x1 f x2 0 D f x1 f x2 0 3 考点 二次函数的性质 专题 数形结合 分析 因为函数 有解析式可以知道此函数为偶函数且在 0 上单调递增 利用单调性即可 解答 解 由题意及解析式画分段函数图形 有图可以知道该函数图形关于 y 轴对称是偶函数 所以 f x1 f x1 f x2 f x2 且在 x 0 为单调递增函数 又因为对任意 x1 x2 R 若 0 x1 x2 所以必有 f x2 f x1 由于为偶函数 所以等价与 f x2 f x1 即 f x2 f x1 0 故答案为 D 点评 此题考查了由函数解析式画图 二次函数的图象偶函数 函数的单调性及数形结合 的思想 5 5 分 2009 辽宁 已知函数 f x Acos x 的图象如图所示 f 则 f 0 A B C D 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的周期性及其求法 专题 计算题 分析 求出函数的周期 确定 的值 利用 f 得 Asin 利用 f 4 0 求出 Acos Asin 0 然后求 f 0 解答 解 由题意可知 此函数的周期 T 2 故 3 f x Acos 3x f Acos Asin 又由题图可知 f Acos 3 Acos Acos Asin 0 f 0 Acos 故选 C 点评 本题考查由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的周期性及其求 法 考查视图能力 计算能力 是基础题 6 5 分 设 且 在 x 轴上的射影为 2 则 A B C D 考点 平面向量的综合题 专题 计算题 分析 由条件 在 x 轴上的射影为 2 即可设 再根据 即 求出 y 解答 解 由题意 可设 2 3 4y 0 解得 y 故选 B 点评 向量知识是高考中的常见内容 经常会与其他知识结合起来综合考量 比如三角函 数 数列 解析几何等 其中 对于非零向量 是经常考查 到的知识点 考生要尤为重视 5 7 5 分 2009 安徽 已知函数 f x 在 R 上满足 f 1 x 2f 1 x x2 3x 1 则 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 A x y 2 0B x y 0C 3x y 2 0D 3x y 2 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 专题 压轴题 分析 对等式两边进行求导数 通过赋值求切线斜率 对等式赋值求切点坐标 据点斜式 写出直线方程 解答 解 f 1 x 2f 1 x x2 3x 1 f 1 x 2f 1 x 2x 3 f 1 2f 1 3 f 1 1 f 1 x 2f 1 x x2 3x 1 f 1 2f 1 1 f 1 1 切线方程为 y 1 x 1 即 x y 2 0 故选 A 点评 本题考查对数的几何意义 在切点处的对数值是切线斜率 求切线方程 8 5 分 已知定义在 R 上的奇函数 f x 的图象经过点 4 0 且在 0 上单 调递减 则不等式 x2 x 6 f 1 x 0 的解集为 A 3 2 1 3 5 B 3 2 1 3 5 C 3 2 1 3 5 D 3 2 1 3 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 根据题意作出作出函数图象的示意图 如图所示 再将不等式 x2 x 6 f 1 x 0 分解成两个不等式组 分别根据图象给出相应的解集 最后再取两部 分的并集 可得本题答案 解答 解 定义在 R 上的奇函数 f x 的图象经过点 4 0 且在 0 上单调递减 f x 的图象关于原点对称 f 0 0 且经过点 4 0 并且在 0 上单调递减 因此作出函数图象的示意图 如右图所示 x2 x 6 f 1 x 0 可化为 6 或 即或 解以上不等式组 可得 x 3 2 1 3 5 故选 B 点评 本题给出函数的奇偶性与单调性 求关于 x 的不等式的解集 着重考查了函数的单 调性与奇偶性 用函数图象理解函数性质和一元二次不等式的解法等知识 属于中 档题 9 5 分 已知函数 f x lg x 1 x有两个零点 x1 x2 则有 A x1x2 1 B x1x2 x1 x2 C x1x2 x1 x2D x1x2 x1 x2 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 数形结合 分析 先将 f x lg x 1 x有两个零点转化为 y lg x 1 与 y 3 x有 两个交点 然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在 1 2 和 2 内 即可得到 3 x1 lgx1和 3 x2 lg x2 然后两式相加即可求得 x1x2的 范围 解答 解 f x lg x 1 x有两个零点 x1 x2即 y lg x 1 与 y 3 x 有两个交点 由题意 x 0 分别画 y 3 x和 y lg x 1 的图象 发现在 1 2 和 2 有两个交点 不妨设 x1在 1 2 里 x2在 2 里 那么 在 1 2 上有 3 x1 lg x1 1 即 3 x1 lg x1 1 在 2 有 3 x2 lg x2 1 相加有 3 x2 3 x1 lg x1 1 x2 1 x2 x1 3 x2 3 x1 即 3 x2 3 x1 0 7 lg x1 1 x2 1 0 0 x1 1 x2 1 1 x1x2 x1 x2 故选 B 点评 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法 转化为两个函数的交点问题 函数 的零点等价于函数与 x 轴的交点的横坐标 等价于对应方程的根 10 5 分 已知数列 an 满足 a1 1 an logn n 1 n 2 n N 定义 使乘积 a1 a2 a3 ak为正整数的 k k N 叫做 和谐数 则在区间 1 2010 内所有的 和谐 数 的和为 A 2048B 4096C 2026D 4083 考点 数列的求和 对数的运算性质 专题 新定义 分析 利用 an logn 1 n 2 化简 a1 a2 a3 ak 得 k 2m 2 给 m 依次取值 可得区间 1 2010 内所有和谐数 然后求和 解答 解 an logn 1 n 2 由 a1 a2 ak为整数得 1 log23 log34 log k 1 k 2 log2 k 2 为整数 设 log2 k 2 m 则 k 2 2m k 2m 2 因为 211 2048 2010 区间 1 2010 内所有和谐数为 22 2 23 2 24 2 210 2 其和 M 22 2 23 2 24 2 210 2 2026 故选 C 点评 本题以新定义 和谐数 为切入点 主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质 的应用 属于中档试题 二 填空题二 填空题 本大题共有本大题共有 5 5 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 把正确答案填在答题卡的相应位把正确答案填在答题卡的相应位 置置 11 5 分 如果 f tanx sin2x 5sinx cosx 那么 f 5 0 考点 二倍角的余弦 两角和与差的正弦函数 二倍角的正弦 8 专题 计算题 分析 把已知函数解析式的分母 1 化为 sin2x cos2x 然后分子分母同时除以 cos2x 利用 同角三角函数间的基本关系弦化切后 可确定出 f x 的解析式 把 x 5 代入即可 求出 f 5 的值 解答 解 f tanx sin2x 5sinx cosx f x 则 f 5 0 故答案为 0 点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的应用 以及函数解析式的确定 灵活运用基 本关系 sin2x cos2x 1 及 tanx 是解本题的关键 12 5 分 已知圆 C x2 y2 bx ay 3 0 a b 为正实数 上任意一点关于直线 l x y 2 o 的对称点都在圆 C 上 则 的最小值为 1 考点 关于点 直线对称的圆的方程 基本不等式 专题 计算题 分析 求出圆的圆心坐标 由题意可知圆心在直线上 得到 a b 的方程 然后利用基本不 等式求出 的最小值 解答 解 圆 C x2 y2 bx ay 3 0 a b 为正实数 所以圆的圆心坐标 因为圆 C x2 y2 bx ay 3 0 a b 为正实数 上任意一点关于直线 l x y 2 o 的 对称点都在圆 C 上 所以直线经过圆心 即 a b 4 9 1 2 1 当且仅当且 a b 4 时取等号 故答案为 1 点评 本题考查直线与圆的位置关系 基本不等式的应用 考查转化思想 计算能力 13 5 分 设 P 为 ABC 内一点 且 则 ABP 的面积与 ABC 面积之比为 考点 向量在几何中的应用 专题 计算题 分析 本题考查的知识点是向量在几何中的应用 及三角形面积的性质 由 ABP 与 ABC 为同底不等高的三角形 故高之比即为两个三角面积之间 连接 CP 并延长后 我们 易得到 CP 与 CD 长度的关系 进行得到 ABP 的面积与 ABC 面积之比 解答 解 连接 CP 并延长 交 AB 于 D 则 即 故 则 ABP 的面积与 ABC 面积之比为 故答案为 点评 三角形面积性质 同 等 底同 等 高的三角形面积相等 同 等 底三角形面 积这比等于高之比 同 等 高三角形面积之比等于底之比 14 5 分 定义在 R 上的函数 f x 为奇函数 且 f x 3 为偶函数 记 f 2009 a 若 f 7 1 则 a 的取值范围为 1 考点 奇偶性与单调性的综合 10 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 根据函数 f x 为奇函数且 f x 3 为偶函数 利用奇偶性定义证出 f x 12 f x 得到函数的周期为 12 从而算出 a f 2009 f 7 f 7 再根据 7 1 即可得到实数 a 的取值范围 解答 解 由题意 可得 f x f x 且 f x 3 f x 3 两式加以对照 可得 f x 3 f x 3 f x 3 以 x 3 代替 x 可得 f x f x 6 再以 x 6 代替 x f x 6 f x 12 对照 两式 可得 f x 12 f x 因此 函数的最小正周期为 T 12 故 a f 2009 f 12 168 7 f 7 f 7 f 7 1 a f 7 1 即实数 a 的取值范围为 1 故答案为 1 点评 本题给出函数的奇偶性 求函数的最小正周期并解决实数 a 的取值范围问题 着重 考查函数奇偶性 周期性和不等式的等价变形等知识 属于中档题 15 5 分 2012 奉贤区二模 操作变换记为 P1 x y 其规则为 P1 x y x y x y 且规定 Pn x y P1 Pn 1 x y n 是大于 1 的整数 如 P1 1 2 3 1 P2 1 2 P1 P1 1 2 P1 3 1 2 4 则 P2012 1 1 21006 21006 考点 函数的对应法则 专题 新定义 函数的性质及应用 分析 计算 P1 1 1 P2 1 1 P3 1 1 P4 1 1 得出结论 当 n 为奇 数时 Pn 1 1 0 当 n 为偶数时 Pn 1 1 由此求得 P2012 1 1 的值 解答 解 P1 x y x y x y 且规定 Pn x y P1 Pn 1 x y P1 1 1 0 2 P2 1 1 P1 P1 1 1 P1 0 2 2 2 P3 1 1 P1 P2 1 1 P1 2 2 0 4 P4 1 1 P1 P3 1 1 P1 0 4 4 4 可见 当 n 为奇数时 Pn 1 1 0 当 n 为偶数时 Pn 1 1 P2012 1 1 21006 21006 故答案为 21006 21006 点评 本题主要考查函数的对应法则的应用 属于基础题 11 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 7575 分分 解答时要求写出必要的文字说明 证明过程或推解答时要求写出必要的文字说明 证明过程或推 理步骤理步骤 16 12 分 2012 绍兴模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 当 c 1 且 ABC 的面积为的值 2 当的值 考点 解三角形 两角和与差的余弦函数 专题 计算题 分析 1 利用三角形的面积公式把表示出三角形 ABC 的面积 将已知的面积及 b a 代入 表示出 sinC 再由 c 及 b a 利用余弦定理表示出 cosC 利用同角三角函 数间的基本关系得到 sin2C cos2C 1 将表示出的 sinC 和 cosC 代入 列出关于 a 的 方程 求出方程的解即可得到 a 的值 2 由 b a 及 cosC 的值 利用余弦定理得到 c a 可得出 b2 a2 c2 根据勾 股定理的逆定理可得出三角形为直角三角形 B 为直角 进而确定出 sinB 1 再利 用正弦定理化简 b a 将 sinB 的值代入求出 sinA 的值 将 B 的度数代入所求的 式子中 利用诱导公式化简得到所求式子等于 sinA 的值 由 sinA 的值即可得到所 求式子的值 解答 解 1 ABC 的面积为 b a absinC a a sinC a2sinC sinC 2 分 又 c 1 b a 由余弦定理得 c2 1 a2 b2 2abcosC a2 3a2 2a acosC 即 cosC 4 分 sin2C cos2C 1 2 2 1 6 分 整理得 a2 1 2 0 即 a2 1 0 解得 a 1 7 分 2 b a cosC 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC a2 3a2 2a2 2a2 即 c a 9 分 又 b a b2 a2 c2 B 90 11 分 12 由 b a sinB 1 利用正弦定理得 sinB sinA 即 sinA 13 分 则 cos B A cos 90 A sinA 14 分 点评 此题属于解三角形的题型 涉及的知识有 正弦 余弦定理 三角形的面积公式 同角三角函数间的基本关系 勾股定理的逆定理 以及诱导公式的运用 熟练掌握 定理及公式是解本题的关键 17 12 分 2010 烟台一模 某大学开设甲 乙 丙三门选修课 学生是否选修哪门课 互不影响 已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0 08 选修甲和乙而不选修丙的概 率是 0 12 至少选修一门的概率是 0 88 用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的 课程门数的乘积 1 记 函数 f x x2 x 为 R 上的偶函数 为事件 A 求事件 A 的概率 2 求 的分布列和数学期望 考点 离散型随机变量及其分布列 等可能事件的概率 离散型随机变量的期望与方差 专题 计算题 分析 1 由于学生是否选修哪门课互不影响 利用相互独立事件同时发生的概率解出学 生选修甲 乙 丙的概率 由题意得到 0 时 表示该学生选修三门功课或三门功 课都没选 根据互斥事件的概率公式得到结果 2 用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 所以变量的 取值是 0 或 2 结合第一问解出概率 写出分布列 算出期望 解答 解 设该学生选修甲 乙 丙的概率分别为 x y z 依题意得 解得 1 若函数 f x x2 x 为 R 上的偶函数 则 0 当 0 时 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 P A P 0 xyz 1 x 1 y 1 z 0 4 0 5 0 6 1 0 4 1 0 5 1 0 6 0 24 事件 A 的概率为 0 24 2 依题意知 的取值为 0 和 2 由 1 所求可知 P 0 0 24 P 2 1 P 0 0 76 则 的分布列为 的数学期望为 E 0 0 24 2 0 76 1 52 13 点评 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题 题目做起来 不难 运算量也不大 只要注意解题格式就问题不大 解题的关键是正确理解题 意 18 12 分 2012 金华模拟 已知等差数列 an 中 首项 a1 0 公差 d 0 1 若 a1 1 d 2 且成等比数列 求整数 m 的值 2 求证 对任意正整数 n 都不成等差数列 考点 等比关系的确定 等差关系的确定 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 根据 a1 1 d 2 可得 a4 7 am 2m 1 利用成等比数列 可得 从而可求 m 的值 2 根据 an 是等差数列 可得 an an 2 2an 1 再证明 即可 得到结论 解答 1 解 a1 1 d 2 a4 7 am 2m 1 成等比数列 2m 1 49 m 25 2 证明 an 是等差数列 an an 2 2an 1 对任意正整数 n 都不成等差数列 14 点评 本题考查等差数列与等比数列的综合 考查等比数列的性质 考查基本不等式的运 用 属于中档题 19 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 AA1 AC 1 BC CD AB 垂足为 D 1 求证 BC 平面 AB1C1 2 求点 B1到面 A1CD 的距离 考点 点 线 面间的距离计算 直线与平面平行的判定 专题 综合题 空间位置关系与距离 分析 1 利用线线平行证明线面平行 证明 BC B1C1即可 2 利用等体积法 即由 VB1 A1CD VC A1B1D 可求点 B1到面 A1CD 的距离 解答 1 证明 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BC B1C1 又 BC 平面 AB1C1 B1C1 平面 AB1C1 BC 平面 AB1C1 2 解 ACB 90 AA1 AC 1 BC CD AB CD AD AB A1D AA1 AC 1 A1C A1D2 CD2 A1C2 A1D CD 设点 B1到面 A1CD 的距离为 h 由 VB1 A1CD VC A1B1D 可得 h 即点 B1到面 A1CD 的距离为 点评 本题考查线面平行 考查点到面的距离的计算 考查学生的计算能力 属于中档 题 15 20 13 分 设 F1 F2分别为椭圆的左 右两个焦点 若椭 圆 C 上的点 A 1 到 F1 F2两点的距离之和等于 4 1 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 过点 P 1 的直线与椭圆交于两点 D E 若 DP PE 求直线 DE 的方程 3 过点 Q 1 0 的直线与椭圆交于两点 M N 若 OMN 面积取得最大 求直线 MN 的 方程 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 1 把已知点的坐标代入椭圆方程 再由椭圆的定义知 2a 4 从而求出椭圆的方程 由椭圆的方程求出焦点坐标 2 设出 DE 方程 代入椭圆方程 利用中点坐标公式 求出斜率 即可求直线 DE 的方程 3 3 直线 MN 不与 y 轴垂直 设 MN 方程为 my x 1 代入椭圆 C 的方程 求出 OMN 面积 利用导数 确定单调性 可得面积最大值 从而可求直线 MN 的方程 解答 解 1 椭圆 C 的焦点在 x 轴上 由椭圆上的点 A 到 F1 F2两点的距离之和是 4 得 2a 4 即 a 2 又点 A 1 在椭圆上 因此 得 b