2012版高考数学 3-2-1精品系列专题15 几何证明选讲（教师版）

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 1515 几何证明选讲 教师版 几何证明选讲 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 1 了解平行线截割定理 会证直角三角形射影定理 2 会证圆周角定理 圆 的切线的判定定理及性质定理 3 会证明相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定 理 切割线定理 考纲解读 几何证明选讲 是选修系列 4 的一个专题 该专题在高考中只考查 相似三角形 和 圆 这两部分平面几何内容 且与另三个选修 4 的专题一起命题 供考生选择作答 其核心 内容为 线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 对同学们 来说 几何证明选讲 是初中所学知识的深化 因而倍感亲切 试题题型为解答题 且难度 不大 题型 1 比例问题平行线分线段成比例定理 相似形 角平分线定理 直角三角形中的 射影定理 圆中的割线定理 切割线定理和相交弦定理等 都涉及线段成比例 因此比例问 题是本专题中所占比重最大的题型 解决这类问题 主要方法就是设法利用上述定理 并灵活 变形 近几年考点分布近几年考点分布 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为 相似三角形的定义与性质 平行线截割定 理 直角三角形射影定理 圆周角与圆心角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 弦切角的性质 相交弦定理 圆内接四边形的性质定理和判定定理 切割线定理 名师点睛名师点睛 平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例 另一方面 当不能直 接证明要证的比例成立时 常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比 考点二 考点二 相似三角形判定与性质 例 2 在 ABC 中 AB AC D 为腰 AB 上一点 AD DC 且 AD2 AB BD 求证 A 36 证明 过点D作DE BC 交AC于E EDC BCD BD CE AD2 AB BD AD DC AB AC AD AB BD AD CD AC CE AD 又 ECD DCA ECD DCA EDC A 又AD CD A DCE BCD ACD A BCA BCD ACD 2 A 又AB AC B BCA 2 A A B BCA 5 A 180 A 36 名师点睛名师点睛 运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比 在具体论证过程中 往往 是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用 由判定三角形相似得到角相等或对应线段 用心 爱心 专心 成比例的过程反复运用 从而达到解决问题的目的 考点考点三 直角三角形射影定理 例例 3 如图 在 Rt ABC中 BAC 90 AD BC于D DF AC于F DE AB于E 试证 明 1 AB AC BC AD 2 AD3 BC CF BE 证明 1 Rt ABC中 AD BC S ABC AB AC BC AD AB AC BC AD 1 2 1 2 2 Rt ADB中 DE AB 由射影定理可得BD2 BE AB 同理CD2 CF AC BD2 CD2 BE AB CF AC 又 Rt BAC中 AD BC AD2 BD DC AD4 BE AB CF AC 又AB AC BC AD 即AD3 BC CF BE 考点考点五 圆的切线的性质及判定 例 5 在 ABC中 C 90 BE是角平分线 DE BE交AB 于D O是 BDE的外接圆 求证 AC是 O的切线 证明 连接OE 因为OE OB 所以 OEB OBE 又因为BE平分 CBD 所以 CBE OBE 所以 OEB CBE 所以EO CB 因为 C 90 所以 AEO 90 即AC OE 因为OE为 O的半径 所以AC是 O的切 线 名师点睛名师点睛 证明直线是圆的切线的方法 若已知直线经过圆上某点 或已知直线与圆有公 共点 则连接圆心和这个公共点 设法证明直线垂直于这条半径 如果已知条件中直线与 圆的公共点不明确 或没有公共点 则应过圆心作直线的垂线 得到垂线段 设法证明这条 垂线段的长等于圆半径 考点考点六 圆周角和弦切角 例 6 如图 已知圆上的弧 过C点的圆 AC BD 用心 爱心 专心 的切线与BA 的延长线交于E点 证明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 证明 1 因为 所以 BCD ABC AC BD 又因为EC与圆相切于点C 故 ACE ABC 所以 ACE BCD 2 因为 ECB CDB EBC BCD 所以 BDC ECB 故 即BC2 BE CD BC BE CD BC 名师点睛名师点睛 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证 明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 名师点睛名师点睛 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角证明三角 形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比 例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到 割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 一 填空题选择题 1 2012 年高考 天津文 如图 已知和是圆的两条ABAC 弦 过点作圆的切线与的延长线相交于 过点BACD 作的平行线与圆交于点 与相交于点 CBDEABF 则线段的长为3AF 1FB 3 2 EF CD 解析 如图连结 BC BE 则 1 2 2 A 又 B B 1A CBF ABC 代入数值得 BC 2 AC 4 又由平 AC CF AB CB BC BF AB CB F E C D B A 用心 爱心 专心 行线等分线段定理得 解得 CD FB AF CD AC 3 4 2 2012 年高考 陕西文 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂 足为 E 垂足为 F 若 则EFDB 6AB 1AE DF DB 解析 5BE 2 5DEAE EB 5DE 在中 RtDEBD 2 5DF DBDE 4 2012 年高考 江西理 在直角三角形 ABC 中 点 D 是斜边 AB 的中点 点 P 为线段 CD 的中点 则 22 2 PAPB PC A 2B 4C 5D 10 解析 特殊的等腰直角三角形 不妨令 则 4ACBC 4 2AB CD 1 2 2 2 AB 1 2 2 PCPDCD 22 PAPBADPD 所以 22 2 2210 22 2 10 10 10 2 PAPB PC 5 2012 年高考 北京理 如图 ACB 90 CD AB 于点 D 以 用心 爱心 专心 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E 则 A CE CB AD DBB CE CB AD AB C AD AB D CE EB 2 CD 2 CD 解析 由切割线定理可知 在直角中 2 CE CBCD ABC 则由射影定理可知 所以90 ACBCDAB 2 CDAD DB CE CBAD DB 3 2012 年高考 陕西理 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂足为 E EFDB 垂足为 F 若 则 6AB 1AE DF DB 解析 2 5DEAE EB 5DE 在中 RtDEBD 2 5DF DBDE MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 湖北理 选修 4 1 几何证 明选讲 如图 点D在O 的弦AB上移动 4AB 连接OD 过 点D 作OD的垂线交O 于点C 则CD的最大值为 解析 由于 CDOD 因此 22 ODOCCD 线段 OC长为定值 即需求解线段OD长度的最小值 根据弦中点到圆心的距离最短 此 时D为AB的中点 点C与点B重合 因此2 2 1 ABCD 4 2012 年高考 广东理 几何证明选讲 如图 3 圆的O 半径为 1 是圆周上的三点 满足ABC 过点作圆的切线与的延长线交于30ABC AOOC 点 则 PPA 解析 连接 则 因为OA60AOC 90OAP 所以 1OA 3PA 二 解答题 C B A D O 用心 爱心 专心 5 2012 年高考 辽宁文 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O和 O相交于 A B两点 过A 作两圆的切线分别交两圆于C D两点 连 接DB并延长交 O于点E 证明 AC BDAD AB ACAE 命题意图 本题主要考查圆的切线的性 质 三角形相似的判断与性质 考查推理 论证能力和数形结合思想 重在考查对平面几何基础知识 基本方法的掌握 难度较小 证明 1 由AC与O 相切于A 得 CABADB 同理 ACBDAB 所以 ACBDAB 从而 ACAB ADBD 即 AC BD AD AB 4 分 2 由AD与O 相切于A 得 AEDBAD 又 ADEBDA 得 EADABD 从而 AEAD ABBD 即 AE BD AD AB 综合 1 的结论 AC AE 10 分 6 2012 年高考 新课标理 选修 4 1 几何证明选讲 如图 分别为边的中点 直线交 D EABC AB ACDE 的外接圆于两点 若 证明 1 ABC F G CFAB 2 CDBC BCDGBD 解析 1 CFAB DFBCCFBDADCDBF CFABAFBCBCCD 2 BCGFBGFCBD BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD F G D E A BC 用心 爱心 专心 7 2012 年高考 辽宁理 选修 4 1 几 何证明选讲 如图 O和 O相交于 A B两点 过A作两圆的切线分别交两圆 于C D两点 连接DB并延长交 O于点E 证明 AC BDAD AB ACAE 命题意图 本题主要考查圆的切线的性质 三角形相似的判断与性质 考查推理论证能 力和数形结合思想 重在考查对平面几何基础知识 基本方法的掌握 难度较小 证明 1 由AC与O 相切于A 得 CABADB 同理 ACBDAB 所以 ACBDAB 从而 ACAB ADBD 即 AC BD AD AB 4 分 2 由AD与O 相切于A 得 AEDBAD 又 ADEBDA 得 EADABD 从而 AEAD ABBD 即 AE BD AD AB 综合 1 的结论 AC AE 10 分 点评 本题主要考查圆的切线的性质 三角形相似的判断与性质 考查推理论证能力和数 形结合思想 重在考查对平面几何基础知识 基本方法的掌握 难度较小 1111年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题一 选择题 20112011 北京理北京理 5 5 如图 AD AE BC 分别与圆 O 切于点 D E F 延长 AF 与圆 O 交于另一 点 G 给出下列三个结论 AD AE AB BC CA AF AG AD AE 用心 爱心 专心 AFB ADG 其中正确结论的序号是 A B C D 答案 A 二 填空题 1 1 天津理 天津理 1212 如图 已知圆中两条弦与相ABCD 交于点 是延长线上一点 且FEAB 若与圆相切 则线段2 4 2 1 DFCFAF FB BE CE 的长为 CE 答案 7 2 5 5 广东理 广东理 1515 几何证明选讲选做题 如图 4 过圆 O外一点p分别作 圆的切线和割线交圆于A B 且PB 7 C是圆上一点 使得BC 5 BAC APB 则AB 答案 35 6 6 辽宁理 辽宁理 2222 如图 A B C D 四点在同一圆上 AD 的延长线 与 BC 的延长线交于 E 点 且 EC ED I 证明 CD AB II 延 长 CD 到 F 延长 DC 到 G 使得 EF EG 证明 A B G F 四点共 圆 证明 I 因为 EC ED 所以 EDC ECD 因为 A B C D 四点在同一圆上 所以 EDC EBA 故 ECD EBA 所以 CD AB 5 分 II 由 I 知 AE BE 因为 EF FG 故 EFD EGC 从而 FED GEC 连结 AF BG 则 EFA EGB 故 FAE GBE 用心 爱心 专心 又 CD AB EDC ECD 所以 FAB GBA 所以 AFG GBA 180 故 A B G F 四点共圆 10 分 x2 12 故 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两 垂线相交于 H 点 连接 DH 因为 C B D E 四点共圆 所以 C B D E 四点所在圆的圆 心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC HF AG 5 DF 12 2 5 故 C B D E 四点所在圆的半 2 1 径为5 2 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 填空题一 填空题 1 1 20102010 北京理 北京理 如图 O 的弦 ED CB 的延长线交于点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 答案 5 2 7 2 2 20102010 天津文 天津文 11 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内 接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD 的值为 用心 爱心 专心 答案 1 3 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质 属于容易题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所 以 PBC PAB 所以 BCPB ADPD 1 3 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的 重要内容 也是考查的热点 3 3 20102010 天津理 天津理 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接 四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PC1 PA2 PD3 则 BC AD 的值为 4 4 20102010 广东理 广东理 几何证明选讲选做题 如图 3 AB CD 是半径 为 a 的圆 O 的两条弦 它们相交于 AB 的中点 P PD 2 3 a OAP 30 则 CP 答案 9 8 a因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OPAB 用心 爱心 专心 在Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa 由相交线定理知 BP APCP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 二 简答题 6 6 20102010 江苏卷 江苏卷 21 选做题选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应并在相应 的答题区域内作答的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 B O C A D 用心 爱心 专心 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC 5 3 3 20122012 年丰台二模理年丰台二模理 1111 如图所示 AB 是圆的直径 点 C 在圆上 过点 B C 的切线交 于点 P AP 交圆于 D 若 AB 2 AC 1 则 PC PD 答案 答案 3 3 7 7 P D C BA 用心 爱心 专心 4 4 20122012 年昌平二模理年昌平二模理 1212 如图 AB是 O的直径 CD切 O于点D CA切 O于点A CD交AB的延 长线于点E 若3AC 2ED 则BE AO 答案 答案 1 2 3 5 5 20122012 年东城二模理年东城二模理 1212 如图 直线PC与 O相切 于点C 割线PAB经过圆心O 弦CD AB于点E 4PC 8PB 则CE 答案 答案 12 5 6 6 20122012 年海淀二模理年海淀二模理 1212 如图 圆 O 的直径AB与弦CD交 于点P 7 5 1 5 CPPDAP 则 DCB 答案 答案 45 7 广东省肇庆市 2012 届高三第一次模拟理 15 几何证明选讲选做题 如图 2 点 是 O外一点 为 O的一切线 是切点 割线经过圆心O 若 PPDD 0 30 EFD 则 32 PD PE O D C E B A O P D C B A 用心 爱心 专心 8 广东省肇庆市 2012 届高三上学期期末理 14 几何证明选讲选做题 如图 3 PAB PCD 为 O 的两条割线 若 PA 5 AB 7 CD 11 则 BD 等于 2AC 9 广东省镇江一中 2012 高三 10 月模拟理 14 几何证明选讲选做题 如图 AB是圆 O的直径 直线CE和圆O相切于点于C ADCE 于D 若AD 1 30ABC 则 圆O的面积是 ED B A O C 答案 4 10 广东省肇庆市 2012 届高三第二次模拟理 15 几何证明选讲选做题 如图 3 AB的 延长线上任取一点C 过C作圆的切线CD 切点为D 的平分线交AD于E 则ACD CED 答案 45 解析 连接 与相交于点 设 BDBDECF1CED 2DFE 1AACE 2CDBECD CDBA 而 45 ECDACE 12 90ADB CED 用心 爱心 专心 11 广东省云浮中学 2012 届高三第一次模拟理 15 几何证明选讲选做题 如图 点 为的弦上的一点 连接 交圆于 若 MO ABMOMNOM MNN2MA 则 O N M B A 4MB MN 答案 2 2 12 广东省镇江二中 2012 高三第三次月考理 15 几何证明选讲 如图 圆O的直径 8 AB C为圆周上一点 4 BC 过C作圆的切线l 过A作直线l的垂线AD D为垂足 AD与圆O交于点E 则线段AE的长为 E D C l B O A 14 广东省粤西北九校 2012 届高三联考理 14 几何证明选讲选做题 如图 已知 ABC 内接于O圆 点D在OC的延长线上 AD是 O的切线 若 30B 2 AC 则OD的长为 用心 爱心 专心 答案 4 15 广东省深圳市松岗中学 2012 届高三理科模拟 4 14 几何证明选讲 选做题 如图 在 中 是 的边上的高 ABC60A 70ACB CFABCAB 于点 于点 则 的大小为 FPBC PFQAC QCQP 17 广东省深圳高级中学 2012 届高三上学期期末理 15 几何证明选讲选做题 如图 AB是圆O的直径 直线CE和圆O相切于点C 于 D 若AD 1 ADCE 30ABC 则圆O的面积是 答案 4 解析 因为直线CE和圆O相切于点C 连接 OC 则 又 所以DEOC ADCE 用心 爱心 专心 OC AD 又 在直角三角形 ACB 中 三角形 AOC 为正三角形 30ABC 0 60 AOC 所以 所以 所以 所以圆的面积为 0 60 ACDACO 0 30 ACD2 RAC 4 20 广东省茂名市 2012 年第二次高考模拟理 15 几何证明 选做题 如图 已知是 O 外一点 为 O 的切线 为PPDD 切点 割线经过圆心 若 PEFO12PF 4 3PD 则 O 的半径长为 答案 4 21 广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理 15 几何证 明选讲选做题 如图 已知 内接于 点在的延长线上 ABC O DOC 是的切线 ADO 若 则的长为 30B 1AC AD 答案 3 22 广东省韶关市 2012 届高三模拟理 14 几何证明选讲选做题 如图 是圆的ABO 用心 爱心 专心 直径 则 DEAD 6 8 BDAB AD AC 24 广东省江门市 2012 届高三调研测试 理 几何证 明选讲选做题 如图 3 圆是的外接圆 过点OABC 的切线交的延长线于点 CABD72 CD 则 3 BCAB AC 答案 2 73 25 广东省惠州市 2012 届高三一模 四调 考试 理数 15 几何证明选讲选做题 如 图 已知直角三角形中 以为直径作圆ABC90ACB 4BC 3AC AC 交于 则 OABDCD A B C D O 第 15 题图 O D C B A 图 3 用心 爱心 专心 答案 5 12 解析 ADC 为直径AC所对的圆周角 则90ADC 在Rt ACB 中 CDAB 由等面积法有AB CDCA CB 故得 12 5 CD 26 广东省佛山一中 2012 届高三上学期期中理 15 如图 EB EC 是 O 的两条切线 B C 是切点 A D 是 O 上两 点 如果 E 460 DCF 320 则 A 的大小为 答案 99 28 广东省佛山市 2012 届高三第二次模拟理科二 15 几何证明选做题 如图 已知圆 中两条弦与相交于点 是延长线上一点 且 ABCDFEAB2DFCF 若 4 2 1AF FB BECE 与圆相切 则线段的长为 CE 答案 7 2 29 2012 届广东韶关市高三第一次调研考试理 15 几何证明选讲选做题 已知圆O的半径为3 从圆O外一点A引切线AD和割线ABC 圆心O到AC的距离为 22 3AB 则切线AD的长为 用心 爱心 专心 第 15 小题 O D C B A 答案 15 30 2012 广东高三第二学期两校联考理 15 几何证明选做题 如图 四边形 ABCD 内接 于 BC 是直径 MN 切 于 A 则 OO 0 25MAB D A B D C O M N 答案 1150 32 2012广州一模理 14 几何证明选讲选做题 如图3 圆O的半径为5cm 点P是 弦AB的中点 3OP cm 弦CD过点P 且 1 3 CP CD 则CD的长为 cm 用心 爱心 专心 P O A B C D 图 3 答案 6 2 33 广东省执信中学 2012 届高三上学期期末理 14 几何证明选讲选做题 如图 与圆相切点 为圆的割线 并且不过圆心 已知 PAOAPCBOO30BPA 则 圆的半径等于 C O P A B 2 3PA 1PC PB O 34 广东省执信中学 2012 届高三 3 月测试理 15 如图 圆是的外接圆 过点OABC 的切线交的延长线于点 则的长为 CABD2 7 3CDABBC AC O D C B A 答案 3 7 2 35 2012 年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 已知AD是 ABC 的外角 EAC的平分线 交BC的延长线于点D 延长DA交 ABC的外接圆 于点F 连结FB FC 1 求证 FB FC 2 若AB是 ABC外接圆的直径 EAC 120 BC 6 求AD的长 用心 爱心 专心 36 2012 河南豫南九校 2012 届高三第四次联考试题 已知 ABC 中 AB AC D是 ABC 外接圆劣弧 AC 弧上的点 不与点 A C 重合 延长 BD 至 E 37 陕西省高新一中 2012 届高三第十一次大练习 题 几何证明选讲选做题 如图 O的直径AB的 延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 弧ACAE弧 DE交AB于F 且 42 BPAB 则 PF 3 38 东北三校 辽宁省实验中学 东北师大附中 哈师大附中 2012 届高三下学期第二 次模拟 如图 O的半径 OB 垂直于直径 AC M 为 AO 上一点 BM 的 延长线交 O于 N 过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P 1 求证 PM2 PA PC A C P D O E F B 用心 爱心 专心 2 若 O 的半径为 OA OM求 MN 的长2 33 解 连结 ON 则PNON 且OBN 为等腰三角形 则 ONBOBN OBNOMBPMN 90 ONBPNM 90 PNMPMN PNPM 3 分 由条件 根据切割线定理 有 PCPAPN 2 所以PCPAPM 2 5 分 2 OM 在BOMRt 中 4 22 OMOBBM 延长 BO 交 O于点 D 连结 DN 由条件易知 BOM BND 于是 BD BM BN BO 即 34 432 BN 得 6 BN 8 分 所以246 BMBNMN 10 分 2011 模拟试题及答案 1 2011 朝阳二模理 13 如图 与圆相切点 为圆的PAOAPCBO 割线 并且不过圆心 已知 O30BPA 2 3PA 1PC 则 12 圆的 半径等于 7 PB O 2 2011 昌平二模理 12 如图 中的弦与直OCD 径相交于 AB 点 为延长线上一点 为 的切线 EMABMDO 为切点 若 D2AE 则 4 4DE 3CE 4DM OB MB 424 C O P A B M E O D C B A 用心 爱心 专心 P o B A D C 4 2011 丰台二模理丰台二模理 10 如图所示 DB DC 是 O 的两条切线 A 是圆上一点 已知 D 46 则 A 67 5 2011 海淀二模理 12 如图 已知的弦O 交半径于点 ABOCD 若 且为的中点 则的长为 3AD 2BD DOCCD 2 6 2011 顺义二模理 11 如图 AB CD 是半径的圆 O 的两条弦 a它 们相交于 AB 的中点 P 则aCP 8 9 60AOP PDa 3 2 7 20112011 西城二模理西城二模理 1111 如图 是圆的直径 在ABOP 的延长线上 切圆于点 已知圆半径为 ABPDOCO3 则2OP 的大小为 PC 1ACD 75 8 广东省深圳市广东省深圳市 20112011 年年 3 3 月高三第一次调研理科 月高三第一次调研理科 几何证 A B C D O O A BP D C 用心 爱心 专心 明选讲 如图 割线PBC经过圆心 O 1PBOB PB绕点O逆时针旋 120 到OD 连 PD交圆O于点E 则PE 解析 在POD 中 222 2cos1207PDPOODPO OD 又因为PB PCPE PD 所以 1 33 7 77 PE 9 广东省深圳市广东省深圳市 20112011 年年 3 3 月高三第一次调研文科 月高三第一次调研文科 几何 证明选讲 如图 AB 是半圆O的直径 C是半圆O上异于 A B 的点 CDAB 垂足为 D 已知2AD 4 3CB 则CD 15 2 3 解析 根据射影定理得 222 4 3 2 6 12 CBBDBABD BDBDCDADBD 10 广东省江门市广东省江门市 2011 年高考一模文科年高考一模文科 几何证明 选讲选做题 如 图 3 是圆的切线 是圆的割线 若PTOPABO 2 PT1 PA o 60 P 则圆的半径 O r3 AB C DO 用心 爱心 专心 13 广东省广雅金山佛一中广东省广雅金山佛一中 20112011 年年 2 2 月高三联考理科月高三联考理科 几何证明选讲 如图所示 AC 和AB分别是圆O的切线 B C 为切点 且OC 3 AB 4 延长OA到 D点 则 ABD的面积是 5 48 14 广东省东莞市广东省东莞市 20112011 年高三一模理科年高三一模理科 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 已知从圆外一点O 作直线交圆于两点 且 则此圆的半径为 2 AO B C60AB AC 8OA 15 广东省东莞市广东省东莞市 20112011 年高三一模文科年高三一模文科 几何证明选讲选做题 如图 的割线O 过PBA 圆心 弦交于点 且 OCDPAFCOF PDF 则 3 2PBOA PF 16 广东省揭阳一中广东省揭阳一中 2011 年高三一模理科 年高三一模理科 几何证明选做题 如右图所示 AC 和 AB 分别是圆 O 的切线 且 OC 3 AB 4 延长 AO 到 D 点 则 ABD 的面积是 48 5 17 广东执信中学广东执信中学 20112011 年年 2 2 月高三考试文科月高三考试文科 几何证明选做题 几何证明选做题 如图 已知 内ABC 接于圆 O 点在的延长线上 是圆的切线 若 DOCADO o 30 B 则的长为 4 2 ACOD 18 广东省遂溪县广东省遂溪县 2011 年高考第一次模拟数学文科年高考第一次模拟数学文科 几何证明选讲选做题 一个等腰三 角形 ABC 的底边 AC 的长为 6 ABC 的外接圆的半径长为 5 则 ABC 的面积是 3 或 27 A C D B O 用心 爱心 专心 20 湖南省怀化市湖南省怀化市 20112011 年高三第一次模拟理科年高三第一次模拟理科 如图 PA 切于点 A 割线 PBC 经过 O OB PB 1 OB PB 1 0A 绕着点 0 逆时针旋转 600到 0D PD 交于点 E 则 PE 的长为 3 3 7 21 黑龙江省哈三中等四校 黑龙江省哈三中等四校 2011 年高三第一次高考模拟联考文科 年高三第一次高考模拟联考文科 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲如图 直线经过 上的点 并且 ABOC CBCAOBOA 交直线于 连接 求证 OOBEDCDEC 直线是 的切线 ABO 若 的半径为 求的 2 1 tan CEDO3OA 长 用心 爱心 专心 22 辽宁省锦州市 辽宁省锦州市 20112011 年年 1 1 月高三考试理科 月高三考试理科 本小题 10 分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 设为 O 的任一条不与直线 l 垂直的直径 是 O 与 l 的公共点 ABP l l 垂足分别为 且 求证 ACBDCDPCPD I l 是 O 的切线 II 平分 ABD PB 证明 连结 OP 因为 AC l BD l 所以 AC BD 又 OA OB PC PD 所以 OP BD 从而 OP l 因为 P 在 O 上 所以 l 是 O 的切线 5 分 连结 AP 因为 l 是 O 的切线 所以 BPD BAP 又 BPD PBD 90 BAP PBA 90 所以 PBA PBD 即 PB 平分 ABD 10 分 第二问的证明也可 第二问的证明也可 连结 OP 角 OPB 等于角 DBP 而等腰三角形 OPB 中 角 OPB 等于 角 OBP 故 PB 平分角 ABD 23 辽宁省沈阳市辽宁省沈阳市 20112011 年高三第二次模拟理科年高三第二次模拟理科 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 6 直线 AB 过圆心 O 交圆 O 于 A B 直线 AF 交圆 O 于 F 不与 B 重合 直线 与圆 O 相切于 C 交AB 于 E 且l 与 AF 垂直 垂足为 G 连接 AC 求证 CAGBAC AFAEAC 2 证明 连结 是直径 BC AB 用心 爱心 专心 一年原创一年原创 1 如图所示 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A B 两点 已知 PA 2 点 P 到 O 的 切线长 PT 4 则弦 AB 的长为 答案 6 2 如图 在四边形 ABCD 中 EF BC FG AD 则的值为 EFFG BCAD 解析 由已知得答案 1 EFFGAFCFAFCF 1 BCADACACAC 3 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB D 为垂足 若 CD 6 cm AD DB 1 2 则 AD 的值是 解析 设 AD x cm DB 2x cm 36 2x2 x2 18 x AD cm 3 23 2 答案 3 2 用心 爱心 专心 6 如图 ABC 是 O 的内接正三角形 弦 EF 经过 BC 的中点 D 且 EF AB 若 AB 2 则 DE 的长是 解析 由图知 DE DF BD CD 1 同理 EG FG 1 又 DG AB 1 DE 1 FG 1 2 1 FG 1 DE 1 答案 51 DEFG 2 51 2 7 如图 已知P 是 O 外一点 PD 为 O 的切线 D 为切点 割线 PEF 经过圆心 O 若 PF 12 PD 则 EFD 4 3 用心 爱心 专心 9 如图 已知四边形 ABCD 内接于圆 延长 AB 和 DC 相交于 E EG 平分 AED 且与 BC AD 分别相交于 F G 若 AED 40 CFG 80 则 A 解析 EG 平分 AED FEC 20 FCE CFG FEC 60 四边形 ABCD 内接于圆 A FCE 60 答案 60 10 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PA2 则的值为 PC1 PD3 BC AD 用心 爱心 专心 11 已知 如图 AE EC CE 平分 ACB DE BC BC 10 AC