2012年高考数学二轮复习精品资料 专题2 函数与导数（教师版）

用心 爱心 专心1 20122012 年高考数学二轮精品复习资料年高考数学二轮精品复习资料 专题专题 2 2 函数与导数 教师函数与导数 教师 版 版 考纲解读 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 在实 际情景中 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 了解简单的分段函数 并能简单 应用 2 理解函数的单调性及几何意义 学会运用函数图象研究函数的性质 感受应用函数的 单调性解决问题的优越性 提高观察 分析 推理 创新的能力 3 了解函数奇偶性的含义 会判断函数的奇偶性并会应用 掌握函数的单调性 奇偶性 的综合应用 4 掌握一次函数的图象和性质 掌握二次函数的对称性 增减性 最值公式及图象与性 质的关系 理解 三个二次 的内在联系 讨论二次方程区间根的分布问题 5 了解指数函数模型的实际背景 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握 幂的运算 理解指数函数的概念 单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 知道指数函数 是一类重要的函数模型 6 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数 了解对数在简化运算中的作用 理解对数函数的概念 单调性 掌握指数函数图象通 过的特殊点 知道指数函数是一类重要的函数模型 了解指数函数且与 0 x yaa 1 a 对数函数且互为反函数 log 0 a yx a 1 a 7 了解幂函数的概念 结合函数的图象 了解它们 1 23 2 1 yx yxyxyyx x 的变化情况 8 掌握解函数图象的两种基本方法 描点法 图象变换法 掌握图象变换的规律 能利 用图象研究函数的性质 9 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在 性及根的个数 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 10 了解指数函数 对数函数及幂函数的境长特征 知道直线上升 指数增长 对数增 长等不同函数类型增长的含义 了解函数模型 指数函数 对数函数 幂函数 分段函数 等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 11 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则 求简单函数的导数 12 了解函数单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 多项式函数一般不超过三次 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数 求函数的极大值 极小值 多项式函数一般不超过三次 会求在闭区间函数的最大值 最 小值 多项式函数一般不超过三次 会用导数解决某些实际问题 考点预测 1 对于函数的定义域 值域 图象 一直是高考的热点和重点之一 大题 小题都会 考查 渗透面广 特别是分段函数的定义域 值域 解析式的求法是近几年高考的热点 3 由指数函数 对数函数的图象入手 推知单调性 进行相关运算 同时与导数结合 用心 爱心 专心2 在一起的题目是每年必考的内容之一 要在审题 识图上多下功夫 学会分析数与形的结 合 把常见的基本题型的解法技巧理解好 掌握好 4 函数的单调性 最值是高考考查的重点 其考查的形式是全方位 多角度 与导数 的有机结合体现了高考命题的趋势 5 函数的奇偶性 周期性是高考考查的内容之一 其考查形式比较单一 但出题形式比 较灵活 它主要出现在选择题 填空题部分 属基础类题目 复习时要立足课本 切实吃透 其含义并能准确进行知识的应用 6 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点 利用导数研究函数的 单调性 极值 最值 图象仍将是高考的主题 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高 考的热点 将导数与函数 解析几何 不等式 数列等知识结合在一起的综合应用 仍将是 高考压轴题 要点梳理 1 求定义域 值域的方法有 配方法 不等式法 换元法 分离常数法等 求函数解析式 的方法有 定义法 换元法 待定系数法 方程组法等 解决实际应用题的一般步骤是 分 析实际问题 找出自变量 写出解析式 确定定义域 计算 2 几种常见函数的数学模型 平均增长率问题 储蓄中的得利问题 通过观察与实验建立 的函数关系 根据几何与物理概念建立的函数关系 3 指数与对数函数模型是函数应用的基本模型 经常与导数在一起进行考查 应引起我们 的高度重视 4 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式是中学数学的重要内容 应熟练掌握 函 数的零点 二分法 函数模型的应用是高考的常考点和热点 应认真研究 熟练掌握 5 理解函数的单调性 奇偶性 最值及其几何意义 会运用函数图象理解和研究函数的 单调性 最值 常与导数结合在一起考查 是高考的常考点 6 对于幂指对函数的性质 只需立足课本 抓好基础 掌握其单调性 奇偶性 通过图象 进行判断和应用 常与导数结合在一起考查 7 导数的概念及运算是导数的基本内容 每年必考 一般不单独考查 它主要结合导数的 应用进行考查 8 导数的几何意义是高考考查的重点内容之一 经常与解析几何结合在一起考查 9 利用导数研究函数的单调性 极值 最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考 的内容之一 10 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数定义域 2 求导数 3 令导数 大于 0 解得增区间 令导数小于 0 解得减区间 11 求可导函数极值的一般步骤和方法 1 求导数 2 判断函数单调性 3 确定极值 点 4 求出极值 12 求可导函数最值的一般步骤和方法 1 求函数极值 2 计算区间端点函数值 3 比 较极值与端点函数值 最大者为最大值 最小者为最小值 考点在线 考点一 函数的定义域 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 这里主要帮助考生灵活掌握 求定义域的各种方法 并会应用用函数的定义域解决有关问题 例 1 已知函数的定义域为 M g x 的定义域为 N 则 M N 1 1 f x x ln 1 x 用心 爱心 专心3 A B C D 1 x x 1 x x 11 xx 答案 C 解析 要使原函数有意义 只须 即 解得 故 1 2 log 21 0 x 021 1x x 选 A 考点二 函数的性质 单调性 奇偶性和周期性 函数的单调性 奇偶性和周期性是高考的重点内容之一 考查内容灵活多样 这里主 要帮助读者深刻理解奇偶性 单调性和周期性的定义 掌握判定方法 正确认识单调函数 与奇偶函数的图象 例 2 2011 年高考全国新课标卷理科 2 下列函数中 既是偶函数又是区间上 0 的增函数的是 A B C D 3 xy 1 xy1 2 xy x y 2 答案 B 解析 由偶函数可排除 A 再由增函数排除 C D 故选 B 名师点睛 此题考查复合函数的奇偶性和单调性 因为函数都xyxy 和 是偶函数 所以 内层有它们的就是偶函数 但是 它们在的单调性相反 0 再加上外层函数的单调性就可以确定 备考提示 熟练函数的单调性 奇偶性方法是解答好本题的关键 练习 2 2011 年高考江苏卷 2 函数的单调增区间是 12 log 5 xxf 答案 1 2 用心 爱心 专心4 解析 本题考察函数性质 属容易题 因为 所以定义域为 由复合210 x 1 2 函数的单调性知 函数的单调增区间是 12 log 5 xxf 1 2 例 3 2009 年高考山东卷文科 12 已知定义在 R 上的奇函数满足 f x 4 f xf x 且在区间上是增函数 则 0 2 A B 25 11 80 fff 80 11 25 fff C D 11 80 25 fff 25 80 11 fff 答案 D 解析 因为 所以 8 是该函数的周期 又因为 8 4 f xf xf xf x 所以是该函数的对称轴 又因为此函数为奇函数 定义 4 f xf xfx 2x 域为 R 所以 且函数的图象关于对称 因为函数在区间上是增 0 0f 2x f x 0 2 函数 所以在上的函数值非负 故 所以 0 2 1 0f 25 25 1 0fff 所以 故选 D 80 0 0ff 11 3 0ff 25 80 11 fff 名师点睛 本小题考查函数的奇偶性 单调性 周期性 利用函数性质比较函数值的大 小 备考提示 函数的奇偶性 单调性 周期性 是高考的重点和热点 年年必考 必须熟练掌握 练习 3 2011 年高考全国卷文科 10 设是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x 则 f x2 1 xx 5 2 f A B C D 1 2 1 4 1 4 1 2 答案 A 解析 先利用周期性 再利用奇偶性得 5111 2222 fff 考点三 函数的图象 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一 它是研究和记忆函数性质的直观工具 利用它的直观性解题 可以起到化繁为简 化难为易的作用 因此 读者要掌握绘制函数图 象的一般方法 掌握函数图象变化的一般规律 能利用函数的图象研究函数的性质 此类题 目还很好的考查了数形结合的解题思想 用心 爱心 专心5 例 4 2011 年高考山东卷理科 9 文科 10 函数的图象大致是 2sin 2 x yx 解析 因为 所以令 得 此时原函数是增 1 2cos 2 yx 1 2cos0 2 yx 1 cos 4 x 函数 令 得 此时原函数是减函数 结合余弦函数图象 可得 1 2cos0 2 yx 1 cos 4 x 选 C 正确 名师点睛 本题考查函数的图象 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 的思维能力 备考提示 函数的图象 高考年年必考 熟练其图象的解决办法 特值排除法 函数性质 判断法等 是答好这类问题的关键 练习 4 2010 年高考山东卷文科 11 函数的图像大致是 2 2xyx 解析 因为当 x 2 或 4 时 2x 0 所以排除 B C 当 x 2 时 2x 2 x 2 x 1 4 0 4 故排除 D 所以选 A 考点四 导数的概念 运算及几何意义 了解导数概念的实际背景 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义 理解导函数 的概念 例 5 2011 年高考山东卷文科 4 曲线在点 P 1 12 处的切线与 y 轴交点的纵 2 11yx 坐标是 A 9 B 3 C 9 D 15 答案 C 解析 因为 切点为 P 1 12 所以切线的斜率为 3 故切线方程为 3x y 9 0 2 3yx 用心 爱心 专心6 令 x 0 得 y 9 故选 C 名师点睛 本题考查导数的运算及其几何意义 备考提示 导数的运算及几何意义是高考的热点 年年必考 熟练导数的运算法则及导 数的几何意义是解答好本类题目的关键 练习 5 2011 年高考江西卷文科 4 曲线在点 A 0 1 处的切线斜率为 x ye A 1 B 2 C D e 1 e 答案 A 解析 1 0 0 exey x 考点五 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数 导数是研究函数性质的重要 而有力的工具 特别是对于函数的单调性 以 导数 为工具 能对其进行全面的分析 为我们解决求函数的极值 最值提供了一种简明易行的方法 进而与不等式的证明 讨论 方程解的情况等问题结合起来 极大地丰富了中学数学思想方法 复习时 应高度重视以下 问题 1 求函数的解析式 2 求函数的值域 3 解决单调性问题 4 求函数的极值 最值 5 构造函数证明不等式 例 6 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 求a b的值 若对于任意的 都有成立 求c的取值范围 0 3 x 2 f xc 解析 2 663fxxaxb 因为函数在及取得极值 则有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得 3a 4b 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当时 01 x 0fx 当时 12 x 0fx 当时 2 3 x 0fx 用心 爱心 专心7 所以 当时 取得极大值 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 则当时 的最大值为 0 3x f x 3 98fc 因为对于任意的 有恒成立 0 3x 2 f xc 所以 2 98cc 解得 或 1c 9c 因此的取值范围为 c 1 9 名师点睛 利用函数在及时取得极值构造方程组求 32 2338f xxaxbxc 1x 2x a b的值 备考提示 导数的应用是导数的主要内容 是高考的重点和热点 年年必考 必须熟练掌 握 练习 6 设函数f x ax a 1 ln x 1 其中a 1 求f x 的单调区间 解析 由已知得函数的定义域为 且 f x 1 1 1 1 ax fxa x 1 当时 函数在上单调递减 10a 0 fx f x 1 2 当时 由解得0a 0 fx 1 x a 随的变化情况如下表 fx f xx x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x A 极小值A 从上表可知 当时 函数在上单调递减 1 1 x a 0 fx f x 1 1 a 当时 函数在上单调递增 1 x a 0 fx f x 1 a 综上所述 当时 函数在上单调递减 10a f x 1 当时 函数在上单调递减 函数在上单调递增 0a f x 1 1 a f x 1 a 考点六 函数的应用 建立函数模型 利用数学知识解决实际问题 例 7 2011 年高考山东卷文科 21 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱 用心 爱心 专心8 形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 且 假设该容 80 3 2lr 器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分 每平方米建造费用为 设该容器的建造费用为千元 3 c c y 写出关于的函数表达式 并求该函数的定义域 yr 求该容器的建造费用最小时的 r 解析 I 设容器的容积为 V 由题意知 23 480 33 Vr lrV 又 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于2lr 因此02 r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02 ycrr r II 由 I 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于3 20 cc 所以 当 3 3 2020 0 22 rr cc 时 令3 20 2 m c 则0m 所以 22 2 8 2 c yrm rrmm r 1 当时 9 02 2 mc 即 当r m 时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以是函数 y 的极小值点 也是最小值点 rm 2 当即时 2m 9 3 2 c 用心 爱心 专心9 当函数单调递减 0 2 0 ry 时 所以 r 2 是函数 y 的最小值点 综上所述 当时 建造费用最小时 9 3 2 c 2 r 当时 建造费用最小时 9 2 c 3 20 2 r c 名师点睛 本题以立体几何为背景 考查函数的实际应用 题目新颖 考查函数与方程 分 类讨论等数学思想方法 考查同学们的计算能力 分析问题 解决问题的能力 备考提示 近几年的高考 函数与导数的综合应用一直是解答题中的较难题 导数在实 际问题中的优化问题是导数的重点内容 注重基础知识的落实是根本 练习 7 2011 年高考江苏卷 17 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正 方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得 四个点重合于图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上是ABCD 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设 AE FB cm x 1 若广告商要求包装盒侧面积 S cm 最大 试问应取何值 2 x 2 若广告商要求包装盒容积 V cm 最大 试问应取何值 并求出此时包装盒的高 3 x 与底面边长的比值 解析 1 由题意知 包装盒的底面边长为 高为 所以包装盒侧面积2x2 30 x 为 S 当且仅当 即4 2x 2 30 x 2 30 8 30 8 8 225 2 xx xx 30 xx 时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积 S cm 最大 应 15cm 15x 2 x 用心 爱心 专心10 2 包装盒容积 V 2 2x 2 30 x 32 2 260 2xx 030 x 所以 令得 令得 V 2 6 2120 2xx 6 2 20 x x 0V 020 x 0V 2030 x 所以当时 包装盒容积 V 取得最大值 此时的底面边长为 高为 20 x 20 2cm10 2cm 包装盒的高与底面边长的比值为 1 2 考点七 理科 定积分 例 8 2011 年高考全国新课标卷理科 9 由曲线 直线及轴所围成的yx 2yx y 图形的面积为 A B 4 C D 6 10 3 16 3 答案 C 解析 因为的解为 所以两图像交点为 于是面积 2xy xy 2 4 y x 2 4 故选 C 4 0 4 0 2 dxxdxxS 3 16 0 4 2 2 1 0 4 3 2 2 2 3 xxx 名师点睛 本题考查定积分的概念 几何意义 运算及解决问题的能力 求曲线围成的 图形的面积 就是要求函数在某个区间内的定积分 备考提示 定积分在高考中一般以选择或填空题的形式考查一个题 难度不大 所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键 练习 8 2011 年高考湖南卷理科 6 由直线与曲线所围成0 3 3 yxx xycos 的封闭图形的面积为 A B 1 C D 2 1 2 3 3 答案 D 解析 由定积分的几何意义和微积分基本定理可知 S 故选 D 3 0 2 3 2 0 3 sin2cos2 3 0 xxdx 易错专区 问题 1 函数零点概念 用心 爱心 专心11 例 1 函数的零点为 2 712f xxx 解析 令 0 解得 或 所以该函数的零点为 2 2 712f xxx 2x 5x 名师点睛 函数的零点就是方程的实数根 是一个实数 而不是点 yf x 0f x 备考提示 准确理解概念是解答好本题的关键 问题 2 零点定理 例 2 已知有且只有一根在区间 0 1 内 求的取值范围 2 10mxx m 解析 设 1 当 0 时方程的根为 1 不满足条件 2 1f xmxx m 2 当 0 有且只有一根在区间 0 1 内又 1 0 m 2 10mxx 0 f 有两种可能情形 得 2 或者 得不存在 1 0f m 1 1 0 2 f m 且0 ln2 时 g x 0 当 x ln2 时 g x 0 所以函数 g x 有最小值 最小值就是极小值 g ln2 2 2ln2 由 a 2 2ln2 得 a 的取值范围 2ln22 17 2011 年高考浙江卷理科 22 本题满分 14 分 设函数 若为的极值点 求实数 求实数 2 ln f xxax aR xe yf x a 的取值范围 使得对任意恒有成立 注 为自然对数的底数a 0 3 xe 2 4f xe e 当 时 由题意 首先有13xe 22 3 3 ln34feeaee 解得 由 知 22 33 ln 3 ln 3 ee eae ee 2ln1 a fxxax x 令 则 2ln1 a h xx x 1 2ln1 110haa 2ln0h aa 且 2 3 ln 3 3 2ln 3 12ln 3 1 33 e e ea heee ee 1 2 ln3 0 3 ln 3 e e 又在 内单调递增 所以函数 在内有唯一零点 记此零点为 h x 0 h x 0 0 x 则 从而 当 时 当 时 0 13xe 0 1xa 0 0 xx 0fx 0 xx a 0fx 用心 爱心 专心17 当 时 即 在内单调递增 在内单调递减 xa 0fx f x 0 0 x 0 x a 在 内单调递增 所以要使对恒成立 a 2 4f xe 1 3 xe 只要成立 由 知 22 000 22 ln4 1 3 3 ln 3 4 2 f xxaxe feeaee 00 0 2ln10 a h xx x 将 3 代入 1 得又 注意到函数 000 2ln 3 axxx 0 232 0 4ln4 xxe 0 1x 在内单调递增 故 23 lnxx 1 0 1xe 再由 3 以及函数在 内单调递增 可得 2 lnxxx 1 13ae 由 2 解得 所以 22 33 ln 3 ln 3 ee eae ee 2 33 ln 3 e eae e 综上 的取值范围为 a 2 33 ln 3 e eae e 18 2011 年高考全国新课标卷文科 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线方程为 x b x xa xf 1 ln xfy 1 1 f032 yx 1 求的值 2 证明 当时 ba 1 0 xx x x xf 1 ln 用心 爱心 专心18 高考冲策演练 一 选择题 1 2010 年高考山东卷文科 3 函数的值域为 2 log31 x f x A B C D 0 0 1 1 答案 A 解析 因为 所以 故选 A 311 x 22 log31log 10 x f x 2 2010 年高考天津卷文科 4 函数 f x 2 x ex 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 C 解析 因为 所以选 C 0 0 210fe 1 1 1 210fee 3 2010 年高考天津卷文科 6 设 5 54 alog 4blogclog 2 5 3 则 A a c b B b c a C a b c D b a0 f A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 解析 当时 令解得 0 x 2 230 xx 3x 当时 令解得 所以已知函数有两个零点 选 C 0 x 2ln0 x 100 x 5 2010 年高考山东卷文科 8 已知某生产厂家的年利润 单位 万元 与年产量y 单位 万件 的函数关系式为 则使该生产厂家获得最大年利x 3 1 81234 3 yxx 润的年产量为 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 解析 令导数 解得 令导数 解得 2 810yx 09x 2 810yx 所以函数在区间上是增函数 在区间上是减9x 3 1 81234 3 yxx 0 9 9 函数 所以在处取极大值 也是最大值 故选 C 9x 6 2010 年高考江西卷文科 4 若函数满足 则 42 f xaxbxc 1 2f 1 f A B C 2 D 01 2 答案 B 解析 则此函数为奇函数 所以 3 42 fxaxbx 1 1 2ff 7 2010 年高考辽宁卷文科 10 设 且 则 25 ab m 11 2 ab m A B 10 C 20 D 10010 解析 选 A 又 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 0 10 mm 8 20