2013届高考数学 总复习阶段性测试题八 立体几何初步 北师大版

用心 爱心 专心 1 阶段性测试题八阶段性测试题八 立体几何初步立体几何初步 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2012 南宁模拟 在空间中 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 在空间中 两条直线没有公共点 可能是两条直线平行 也可能是两条直线异 面 两条直线平行则两条直线没有公共点 所以 两条直线没有公共点 是 这两条直线平 行 的必要不充分条件 2 文 2012 太原一模 已知m n l1 l2表示直线 表示平面 若 m n l1 l2 l1 l2 M 则 的一个充分条件是 A m 且l1 B m 且n C m 且n l2 D m l1且n l2 答案 D 解析 对选项 A B C 都有 与 相交的情况只有选项 D 是两平面平行的判定 故 选 D 理 2012 锦州一模 如图 空间四边形OABC中 a a b b c c 点M在OA上 OA OB OC 且OM 2MA N为BC中点 则 MN 用心 爱心 专心 2 A a a b b c c 1 2 2 3 1 2 B a a b b c c 2 3 1 2 1 2 C a a b b c c 1 2 1 2 1 2 D a a b b c c 2 3 2 3 1 2 答案 B 解析 由向量加法法则可知 MN MO ON 2 3OA 1 2 OB OC a a b b c c 2 3 1 2 a a b b c c 2 3 1 2 1 2 3 2012 洛阳调研 三条直线两两垂直 那么在下列四个结论中 正确的结论共有 这三条直线必共点 其中必有两条是异面直线 三条直线不可能共面 其中必 有两条在同一平面内 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 答案 D 解析 三条直线两两垂直时 它们可能共点 如正方体同一个顶点上的三条棱 也可 能不共点 如正方体ABCD A1B1C1D1中的棱AA1 AB BC 故结论 不正确 也说明必有结论 不正确 如果三条直线在同一个平面内 根据平面几何中的垂直同一条直线的两条直线平 用心 爱心 专心 3 行 就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论 故三条直线不可能在同一个平面内 结论 正确 三条直线两两垂直 这三条直线可能任何两条都不相交 即任意两条都异面 如正方体ABCD A1B1C1D1中的棱AA1 BC和C1D1 故结论 不正确 4 2012 厦门一模 设a b c是空间的三条直线 是空间的两个平面 则下 列命题的逆命题不成立的是 A 当c 时 若c 则 B 当b 且c 时 若c 则b c C 当b 且c是a在 内的射影时 若b a 则c b D 当b 时 若b 则 答案 D 解析 D 的逆命题是b 则b 显然不成立 5 2012 南昌一模 圆柱的侧面展开图是长 12cm 宽 8cm 的矩形 则这个圆柱的体积 为 A cm3 B cm3 288 192 C cm3或cm3 D 192 cm3 288 192 答案 C 解析 分两种情况 1 12 为底面圆周长 则 2 r 12 r 6 V 2 8 cm3 6 288 2 8 为底面圆周长 则 2 r 8 r 4 V 2 12 cm3 故选 C 4 192 6 文 2011 江西文 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几何体的左视图为 用心 爱心 专心 4 答案 D 解析 如图所示 点D1的投影为C1 点D的投影为C 点A的投影为B 故选 D 理 2011 安徽理 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 17 C 48 8 D 80 17 答案 C 解析 由三视图知该几何体的直观图如下图所示 用心 爱心 专心 5 该几何体的下底面是边长为 4 的正方形 上底面是长为 4 宽为 2 的矩形 两个梯形侧面垂直于底面 上底长为 2 下底长为 4 高为 4 另两个侧面是矩形宽为 4 长为 42 1217 S表 42 2 4 2 4 4 2 4 2 1 217 48 8 17 7 文 2012 烟台市模拟 设b c表示两条直线 表示两个平面 下列命题中 是真命题的为 A Error b c B Error c C Error D Error c 答案 C 解析 结合线面位置关系选 C 理 2012 焦作一模 已知直线AB CD是异面直线 AC AB AC CD BD CD 且 AB 2 CD 1 则异面直线AB与CD所成角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 75 答案 C 解析 设AB与CD所成的角为 则 cos cos AB CD AB CD AB CD 由于 2 0 12 0 1 AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD 用心 爱心 专心 6 cos AB CD AB CD 1 2 1 1 2 由于 0 90 60 故异面直线AB与CD所成角的大小为 60 8 如下图 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 A 4 B 4 3 C 2 D 2 3 答案 C 解析 由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥 根据三视图所提供的数据可得几 何体的体积为 用心 爱心 专心 7 V 2 2 1 3 1 23 2 3 2 3 2 2 3 点评 本题考查空间几何体的结构 三视图 几何体的体积计算 空间想象能力及运 算求解能力 属中档题 9 文 2011 大纲全国卷文 已知直二面角 l 点A AC l C为垂足 点B BD l D为垂足 若AB 2 AC BD 1 则CD A 2 B 3 C D 1 2 答案 C 解析 本题考查了异面直线的距离的求法 正确画出图形 熟练掌握线面垂直的判定和性质 把问题转化到直角三角形中 利用勾股定理求解 连接AD 设CD x AD2 AC2 CD2 1 x2 由题意 ABD为 Rt BDA 90 AB2 AD2 BD2 4 1 x2 1 x 即CD 22 理 2011 大纲全国卷理 已知直二面角 l 点A AC l C为垂足 B BD l D为垂足 若AB 2 AC BD 1 则D到平面ABC的距离等于 A B 2 3 3 3 用心 爱心 专心 8 C D 1 6 3 答案 C 解析 解法 1 如图 在直二面角 l 中 AC l AC 平面ABC 平面BCD 过D作DH BC 垂足为H 则DH 平面ABC 即DH 为D到平面ABC的距离 AC BC AC BC 在 Rt ABC中 AC 1 AB 2 ACB 90 BC AB2 AC222 123 在 Rt BCD中 BC BD 1 3 CD BC2 BD23 12 由BD CD BC DH得 1 DH 1 2 1 2 1 22 1 23 DH 6 3 解法 2 如下图 连接AD AB 2 AC 1 用心 爱心 专心 9 同解法 1 可得BC CD 32 SRt ACB AC BC 1 1 2 1 23 3 2 SRt BCD CD BD 1 1 2 1 22 2 2 设D到平面ABC的距离为h 则 由V三棱锥D ABC V三棱锥A BCD得S ABC h S BCD AC 1 3 1 3 即 h 1 1 3 3 2 1 3 2 2 h 6 3 点评 本题主要考查了线线垂直 线面垂直 面面垂直的有关定理和点到平面的距离 以及空间想象能力和数据处理的能力 10 文 2012 西安一模 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB E为AA1中点 则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 A B 10 10 1 5 C D 3 10 10 3 5 答案 C 用心 爱心 专心 10 解析 本题考查异面直线所成角的定义 以及空间想象能力 基本运算能力 如图所示 连接A1B ABCD A1B1C1D1为正四棱柱 A1B D1C A1BE为异面直线BE与CD1所成的角 AA1 2AB 设AB a 则AA1 2a 又 E为AA1的中点 A1E a BE a A1B a 25 在 A1BE中 由余弦定理 得 cos A1BE 2a2 5a2 a2 2 2a 5a 6a2 2 10a2 3 10 10 理 2012 咸阳调研 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为 用心 爱心 专心 11 A B 6 3 2 5 5 C D 15 5 10 5 答案 D 解析 以B为原点 直线BC BA BB1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则D 2 2 0 B1 0 0 1 C1 2 0 1 设平面BB1D1D的一个法向量n n x y z 则 Error Error 取n n 1 1 0 直线BC1的方向向量 2 0 1 BC1 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为 满足 sin BC1 n n BC1 n n 10 5 用心 爱心 专心 12 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 个小题 每小题 5 分 共 25 分 把正确答案填在题中横线上 11 长方体ABCD A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上 AB AA1 1 BC 则A B两点间的球面距离为 2 答案 3 解析 本题考查了组合体及球面距离的定义 需要有较强的空间想象能力 首先确定 球心及球半径 球心即长方体的中心 即体对角线交点 连接AC1 BD1交于O点 进一步求 出半径为 1 AOB 球面距离 R 1 3 3 3 3 12 2010 辽宁卷 如下图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画出了某多 面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的长为 答案 2 3 用心 爱心 专心 13 解析 由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分 四棱锥C1 ABCD 还原在正方体中 如图所示 多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线 由正方体棱长为AB 2 知最长棱长为 2 3 13 2011 天津理 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 答案 6 解析 本题主要考查几何体的三视图的还原图形 根据三视图知还原后的图形为一个 长方体上面放一个圆锥 因而V V长方体 V圆锥 又知长方体长 宽 高分别为 3 2 1 圆 锥的底面半径为 1 高为 3 从而求出体积为 6 14 文 2012 安徽宣城一模 a b c是空间中互不重合的三条直线 下面给出五个 命题 用心 爱心 专心 14 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a与b相交 b与c相交 则a与c相交 若a 平面 b 平面 则a b一定是异面直线 若a b与c成等角 则a b 上述命题中正确的是 只填序号 答案 解析 由基本性质 4 知 正确 当a b b c时 a与c可以相交 平行 也可以异面 故 不正确 当a与b相交 b与c相交时 a与c可以相交 平行 也可以异面 故 不正确 a b 并不能说明a与b不同在任何一个平面内 故 不正确 当a b与c成等角时 a与b可以相交 平行 也可以异面故 不正确 理 2012 山东日照调研 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱 AA1 BB1的中点 G为棱A1B1上的一点 且A1G 0 1 则点G到平面D1EF的距离 为 答案 5 5 解析 方法一 A1B1 平面D1EF G到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离 在 A1D1E中 过A1作A1H D1E交D1E 于H 显然A1H 平面D1EF 则A1H即为所求 在 Rt A1D1E中 用心 爱心 专心 15 A1H A1D1 A1E D1E 1 1 2 1 1 2 2 5 5 方法二 等体积法 设h为G到平面D1EF的距离 VG D1EF VA1 D1EF VF D1A1E 1 h 1 1 1 2 5 2 1 2 1 2 h 5 5 15 文 2011 福建文 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点E为AD的中点 点F在CD上 若EF 平面AB1C 则线段EF的长度等于 答案 2 解析 本题考查线面平行 由EF 平面AB1C EF 平面ABCD 平面ABCD 平面AB1C AC 知EF AC 所以由E是中 点知EF AC 1 22 理 2011 大纲全国卷 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 答案 2 3 解析 本小题考查的内容是二面角的求法 可采用几何法或向量法 方法一 几何法 如图 延长FE交CB的延长线于P 则AP为面AEF与面ABC的交线 连结AC 用心 爱心 专心 16 PB BC CAP 90 由三垂线定理 FAP 90 FAC为二面角的平面角 tan FAC FC AC 2 3 2 2 3 方法二 向量法 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 令边长为 3 A 3 0 0 E 3 3 1 F 0 3 2 平面ABC的法向量为 0 0 1 设平面AEF的法向量为n n x y z 用心 爱心 专心 17 Error Error 令x 1 z 3 y 1 n n 1 1 3 令平面夹角为 cos sin 3 1 n n 3 11 2 11 tan 2 3 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 2012 郑州模拟 如下图所示 在四棱锥P ABCD中 底面 ABCD为正方形 侧棱PD 底面ABCD E F分别是AB PC的中点 1 若AB 2 PA 4 求四棱锥P ABCD的体积 2 求证 EF 平面PAD 解析 1 解 PD 底面ABCD AD 平面ABCD PD AD AB 2 AP 4 PD 2 AP2 AD2AP2 AB23 VP ABCD SABCD PD 1 3 4 2 1 33 8 3 3 2 证明 作FG DC交PD于点G 则G为PD的中点 用心 爱心 专心 18 连接AG FG綊CD 又CD綊AB 1 2 故FG綊AE 四边形AEFG为平行四边形 EF AG 又AG 平面PAD EF平面PAD EF 平面PAD 17 本小题满分 12 分 一个多面体的直观图 正 主 视图 正前方观察 俯视图 正上 方观察 侧 左 视图 左侧正前方观察 如下图所示 1 探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由 2 求此多面体的表面积和体积 解析 从俯视图可得 底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形 又从正 主 视 图可得BC AB BC BA1 且AB BA1 B 故BC 面ABA1 又 ABA1是正三角形 三棱柱是正三棱柱 1 底面四边形ABCD是矩形 AD BC 用心 爱心 专心 19 又 BC 面A1BCC1 AD 面A1BCC1 2 依题意可得AB BC a 由V Sh 又S sin60 a a a2 1 2 3 4 V Sh a2 a a3 3 4 3 4 S侧 c h 3a a 3a2 S表 S侧 2S底 3a2 2 a2 3 a2 3 4 3 2 所以此多面体的表面积和体积分别为 3 a2 a3 3 2 3 4 18 本小题满分 12 分 文 2011 天津文 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为 平行四边形 ADC 45 AD AC 1 O为AC的中点 PO 平面ABCD PO 2 M为PD的 中点 1 证明PB 平面ACM 2 证明AD 平面PAC 解析 1 证明 连接BD MO 在平行四边形ABCD中 因为O为AC的中点 所以O 为BD的中点 又M为PD的中点 所以PB MO 因为PB 平面ACM MO 平面ACM 所以 PB 平面ACM 用心 爱心 专心 20 2 证明 因为 ADC 45 且AD AC 1 所以 DAC 90 即AD AC 又PO 平 面ABCD AD 平面ABCD 所以PO AD 而AC PO O 所以AD 平面PAC 理 2011 安徽理 如图 ABEDFC为多面体 平面ABED与平面ACFD垂直 点O在线段 AD上 OA 1 OD 2 OAB OAC ODE ODF都是正三角形 1 证明直线BC EF 2 求棱锥F OBED的体积 解析 1 证法 1 综合法 如下图所示 设G是线段DA延长线与线段EB的延长线的 交点 由于 OAB与 ODE都是正三角形 且OD 2 所以OB綊DE OG OD 2 1 2 同理 设G 是线段DA延长线与线段FC延长线的交点 有OC綊DF OG OD 2 1 2 又由于G和G 都在线段DA的延长线上 所以G与G 重合 用心 爱心 专心 21 在 GED和 GFD中 由OB綊DE和OC綊DF 可知B C分别是GE和GF的中点 所 1 2 1 2 以BC是 GEF的中位线 故BC EF 证法 2 向量法 过点F作FQ AD 交AD于点Q 连接QE 由平面ABED 平面ADFC 知FQ 平面ABED 从而FQ QE FQ DQ 以Q为坐标原点 为x轴正方向 为y轴正方 QE QD 向 为z轴正方向 建立如图所示空间直角坐标系 QF 由条件知E 0 0 F 0 0 B 0 C 0 33 3 2 3 2 3 2 3 2 则有 0 0 BC 3 2 3 2 EF 33 所以 2 即得BC EF EF BC 2 解 由OB 1 OE 2 EOB 60 知S EOB 3 2 而 OED是边长为 2 的正三角形 故S OED 3 所以S平行四边形OBED S EOB S OED 3 3 2 用心 爱心 专心 22 过点F作FQ AD 交AD于点Q 由平面ABED 平面ACFD知 FQ就是四棱锥F OBED 的高 且FQ 所以VF OBED FQ S四边形OBED 3 1 3 3 2 19 本小题满分 12 分 文 2012 郑州一模 如图所示 正三棱柱A1B1C1 ABC中 点 D是BC的中点 BC BB1 设B1D BC1 F 求证 2 1 A1C 平面AB1D 2 BC1 平面AB1D 解析 1 连结A1B 设A1B与AB1交于E 连结DE 点D是BC中点 点E是A1B中点 DE A1C A1C 平面AB1D DE 平面AB1D A1C 平面AB1D 用心 爱心 专心 23 2 ABC是正三角形 点D是BC的中点 AD BC 平面ABC 平面B1BCC1 平面ABC 平面B1BCC1 BC AD 平面ABC AD 平面B1BCC1 BC1 平面B1BCC1 AD BC1 点D是BC的中点 BC BB1 BD BB1 2 2 2 BD BB1 CC1 BC 2 2 Rt B1BD Rt BCC1 BB1D CBC1 BDB1 CC1B 且 CBC1 CC1B 90 CBC1 BDB1 90 BC1 B1D 又AD B1D D BC1 平面AB1D 理 2012 九江第一次模拟 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AB 5 AC 4 BC 3 AA1 4 点D在AB上 1 若D是AB中点 求证 AC1 平面B1CD 2 当 时 求二面角B CD B1的余弦值 BD AB 1 5 解析 1 证明 连结BC1 交B1C于E 连结DE 直三棱柱ABC A1B1C1 D是AB中点 侧面BB1C1C为矩形 DE为 ABC1的中位线 DE AC1 用心 爱心 专心 24 DE 平面B1CD AC1 平面B1CD AC1 平面B1CD 2 AC BC 如下图 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 则B 3 0 0 A 0 4 0 A1 0 4 4 B1 3 0 4 设D a b 0 a 0 b 0 点D在线段AB上 且 即 BD AB 1 5 BD 1 5BA a b 12 5 4 5 所以 3 0 4 3 4 0 B1C BA 0 CD 12 5 4 5 平面BCD的法向量为n n 0 0 1 设平面B1CD的法向量为n n2 x y 1 由 n n2 0 n n2 0 得Error B1C CD 所以x y 4 n n2 4 1 4 3 4 3 设二面角B CD B1的大小为 cos n n n n2 2 n n n n2 2 3 13 所以二面角B CD B1的余弦值为 3 13 20 本小题满分 13 分 文 2011 辽宁文 如图 四边形ABCD为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 用心 爱心 专心 25 1 证明 PQ 平面DCQ 2 求棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值 解析 1 由条件知PDAQ为直角梯形 因为QA 平面ABCD 所以平面PDAQ 平面ABCD 交线为AD 又四边形ABCD为正方形 DC AD 所以DC 平面PDAQ 可得PQ DC 在直角梯形PDAQ中可得DQ PQ PD 则PQ QD 2 2 又DQ DC D 所以PQ 平面DCQ 2 设AB a 由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高 所以棱锥Q ABCD的体积V1 a3 1 3 由 1 知PQ为棱锥P DCQ的高 而PQ a DCQ的面积为a2 所以棱锥P DCQ 2 2 2 的体积V2 a3 1 3 故棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值为 1 理 2011 广东理 如下图 在锥体P ABCD中 ABCD是边长为 1 的菱形 且 DAB 60 PA PD PB 2 E F分别是BC PC的中点 2 用心 爱心 专心 26 1 证明 AD 平面DEF 2 求二面角P AD B的余弦值 解析 1 证明 取AD中点G 连接PG BG 四边形ABCD为菱形且E G分别为BC AD中点 则BG綊DE 又F为PC中点 则EF PB 则平面DEF 平面GBP G是AD中点且PA PD PG AD 在 ABG中 AG AB 1 且 DAB 60 1 2 由余弦定理得BG AB2 AG2 BG2 则AG BG 3 2 PG BG G AG 平面PGB 即AD 平面DEF 2 解 由 1 知二面角P AD B的平面角为 PGB 在 Rt PGA中 PG PA2 AG2 7 2 用心 爱心 专心 27 在 PGB中 BG PB 2 由余弦定理知 3 2 cos PGB PG2 BG2 PB2 2PG BG 7 4 3 4 4 2 7 2 3 2 21 7 即二面角P AD B的余弦值为 21 7 21 本小题满分 14 分 文 2012 合肥一模 如