二次函数难题练习及答案一

37 2014 年山东泰安 第 29 题 二次函数y ax2 bx c的图象经过点 1 4 且与直 线y x 1 相交于A B两点 如图 A点在y轴上 过点B作BC x轴 垂足为点 C 3 0 1 求二次函数的表达式 2 点N是二次函数图象上一点 点N在AB上方 过N作NP x轴 垂足为点P 交AB于点M 求MN的最大值 3 在 2 的条件下 点N在何位置时 BM与NC相互垂直平分 并求出所有满足条 件的N点的坐标 34 2014 德州 第 24 题 12 分 如图 在平面直角坐标系中 已知点A的坐标是 4 0 并且OA OC 4OB 动点P在过A B C三点的抛物线上 1 求抛物线的解析式 2 是否存在点P 使得 ACP是以AC为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合条 件的点P的坐标 若不存在 说明理由 3 过动点P作PE垂直于y轴于点E 交直线AC于点D 过点D作y轴的垂线 垂足为 F 连接EF 当线段EF的长度最短时 求出点P的坐标 28 2014 株洲 第 24 题 10 分 已知抛物线y x2 k 2 x 和直线y k 1 x k 1 2 1 求证 无论k取何实数值 抛物线总与x轴有两个不同的交点 2 抛物线于x轴交于点A B 直线与x轴交于点C 设A B C三点的横坐标分别是 x1 x2 x3 求x1 x2 x3的最大值 3 如果抛物线与x轴的交点A B在原点的右边 直线与x轴的交点C在原点的左边 又抛物线 直线分别交y轴于点D E 直线AD交直线CE于点G 如图 且 CA GE CG AB 求抛物线的解析式 第 5 题图 24 2014 湘潭 第 25 题 ABC为等边三角形 边长为a DF AB EF AC 1 求证 BDF CEF 2 若a 4 设BF m 四边形ADFE面积为S 求出S与m之间的函数关系 并探究当m 为何值时S取最大值 3 已知A D F E四点共圆 已知tan EDF 求此圆直径 第 1 题图 20 2014 邵阳 第 26 题 10 分 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y x2 m n x mn m n 与x轴相交于A B两点 点A位于点B的右侧 与y轴相交于点C 1 若m 2 n 1 求A B两点的坐标 2 若A B两点分别位于y轴的两侧 C点坐标是 0 1 求 ACB的大小 3 若m 2 ABC是等腰三角形 求n的值 18 10 分 2014 孝感 第 22 题 10 分 已知关于x的方程x2 2k 3 x k2 1 0 有两 个不相等的实数根x1 x2 1 求k的取值范围 2 试说明x1 0 x2 0 3 若抛物线y x2 2k 3 x k2 1 与x轴交于A B两点 点A 点B到原点的距离分 别为OA OB 且OA OB 2OA OB 3 求k的值 解 1 由题设可知A 0 1 B 3 则二次函数的解析式是 y x 1 2 设N x x2 x 1 则M P点的坐标分别是 x x 1 x 0 MN PN PM x2 x 1 x 1 x2 x x 2 则当x 时 MN的最大值为 3 连接MN BN BM与NC互相垂直平分 即四边形BCMN是菱形 由于BC MN 即MN BC 且BC MC 即 x2 x 且 x 1 2 x 3 2 解得 x 1 故当N 1 4 时 MN和NC互相垂直平分 分析 3 据垂线段最短 可得当OD AC时 OD最短 即EF最短 根据等腰三角形的性 质 D是AC的中点 则DF OC 即可求得P的纵坐标 代入二次函数的解析式 即 可求得横坐标 得到P的坐标 解答 则抛物线的解析式是 y x2 3x 4 2 存在 第一种情况 当以C为直角顶点时 过点C作CP1 AC 交抛物线于点P1 过点P1 作y轴的垂线 垂足是M ACP1 90 MCP1 ACO 90 ACO OAC 90 MCP1 OAC OA OC MCP1 OAC 45 MCP1 MP1C MC MP1 设P m m2 3m 4 则m m2 3m 4 4 解得 m1 0 舍去 m2 2 m2 3m 4 6 即P 2 6 第二种情况 当点A为直角顶点时 过A作AP2 AC交抛物线于点P2 过点P2作y 轴的垂线 垂足是N AP交y轴于点F P2N x轴 由 CAO 45 OAP 45 FP2N 45 AO OF P2N NF 设P2 n n2 3n 4 则n n2 3n 4 1 解得 n1 2 n2 4 舍去 n2 3n 4 6 则P2的坐标是 2 6 综上所述 P的坐标是 2 6 或 2 6 3 连接OD 由题意可知 四边形OFDE是矩形 则OD EF 根据垂线段最短 可得当OD AC时 OD最短 即EF最短 由 1 可知 在直角 AOC中 OC OA 4 则AC 4 根据等腰三角形的性质 D是AC的中点 又 DF OC DF OC 2 点P的纵坐标是 2 则 x2 3x 1 2 解得 x 当EF最短时 点P的坐标是 0 或 0 考点 二次函数综合题 分析 1 由判别式 k 2 2 4 1 k2 k 2 k 2 0 即可证得无论k 取何实数值 抛物线总与x轴有两个不同的交点 2 由抛物线于x轴交于点A B 直线与x轴交于点C 设A B C三点的横坐标 分别是x1 x2 x3 可得x1 x2 x3 k 1 继而可求得答案 3 由CA GE CG AB 易得 CAG CBE 继而可证得 OAD OBE 则可得 又由抛物线与x轴的交点A B在原点的右边 直线与x轴的交点C在原 点的左边 又抛物线 直线分别交y轴于点D E 可得 OA OB OD OE k 1 2 继而求得点B的坐标为 0 k 1 代入解 析式即可求得答案 解答 1 证明 k 2 2 4 1 k2 k 2 k 2 k 2 0 0 无论k取何实数值 抛物线总与x轴有两个不同的交点 2 解 抛物线于x轴交于点A B 直线与x轴交于点C 设A B C三点的横 坐标分别是x1 x2 x3 x1 x2 令 0 k 1 x k 1 2 解得 x k 1 即x3 k 1 x1 x2 x3 k 1 k 2 x1 x2 x3的最大值为 3 解 CA GE CG AB ACG BCE CAG CBE CAG CBE AOD BOE OAD OBE 抛物线与x轴的交点A B在原点的右边 直线与x轴的交点C在原点的左边 又 抛物线 直线分别交y轴于点D E OA OB OD OE k 1 2 OA OB OD OB2 OE OB k 1 点B k 1 0 将点B代入抛物线y x2 k 2 x 得 k 1 2 k 2 k 1 0 解得 k 2 抛物线的解析式为 y x2 4x 3 考点 相似形综合题 二次函数的最值 等边三角形的性质 圆周角定理 解直角三角形 分析 1 只需找到两组对应角相等即可 2 四边形ADFE面积S可以看成 ADF与 AEF的面积之和 借助三角函数用m表示 出AD DF AE EF的长 进而可以用含m的代数式表示S 然后通过配方 转化为二次 函数的最值问题 就可以解决问题 3 易知AF就是圆的直径 利用圆周角定理将 EDF转化为 EAF 在 AFC中 知道 tan EAF C AC 通过解直角三角形就可求出AF长 解答 解 1 DF AB EF AC BDF CEF 90 ABC为等边三角形 B C 60 BDF CEF B C BDF CEF 2 BDF 90 B 60 sin60 cos60 BF m DF m BD AB 4 AD 4 S ADF AD DF 4 m m2 m 同理 S AEF AE EF 4 4 m m2 2 S S ADF S AEF m2 m 2 m2 4m 8 m 2 2 3 其中 0 m 4 0 0 2 4 当m 2 时 S取最大值 最大值为 3 S与m之间的函数关系为 S m 2 2 3 其中 0 m 4 当m 2 时 S取到最大值 最大值为 3 3 如图 2 A D F E四点共圆 EDF EAF ADF AEF 90 AF是此圆的直径 tan EDF tan EAF C 60 tan60 设EC x 则EF x EA 2x AC a 2x x a x EF AE AEF 90 AF 此圆直径长为 2 抛物线y x2 m n x mn m n 过C 0 1 1 mn n B n 0 B 0 AO m BO CO 1 AC BC AB AO BO m m 2 2 2 AB2 AC2 BC2 ACB 90 3 A m 0 B n 0 C 0 mn 且m 2 A 2 0 B n 0 C 0 2n AO 2 BO n CO 2n AC BC n AB xA xB 2 n 当AC BC时 n 解得n 2 A B两点重合 舍去 或n 2 当AC AB时 2 n 解得n 0 B C两点重合 舍去 或n 当BC AB时 n 2 n 当n 0 时 n 2 n 解得n 当n 0 时