河北省衡水中学2013届高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版

1 20132013 年河北省衡水中学高考数学一模试卷 理科 年河北省衡水中学高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在四个选项中 只有一项是符分 在四个选项中 只有一项是符 合要求的 合要求的 1 5 分 2013 牡丹江一模 如图所示的韦恩图中 A B 是非空集合 定义 A B 表示阴 影部分集合 若 x y R B y y 3x x 0 则 A B A 2 B 0 1 2 C 0 1 2 D 0 1 2 考点 Venn 图表达集合的关系及运算 专题 函数的性质及应用 分析 先分别求出集合 A 和集合 B 然后根据 A B 表示阴影部分的集合得到 A B x x A 或 x B 且 x A B 最后根据新定义进行求解即可 解答 解 A x y 0 2 B y y 3x x 0 1 根据 A B 表示阴影部分的集合可知 A B x x A 或 x B 且 x A B A B x 0 x 1 或 x 2 故选 C 点评 本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算 同时考查了识图能力以及转化的能 力 属于新颖题型 2 5 分 如图 在 ABC 中 P 是 BN 上的一点 若 则实数 m 的值为 A B C 1D 3 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 计算题 证明题 平面向量及应用 2 分析 根据题意 设 将向量表示成向量 的一个线性组合 再结合题 中向量的等式 建立关于 m 的方程组 解之即可得到实数 m 的值 解答 解 设 0 得 m 且 解之得 8 m 故选 A 点评 本题给出三角形的一边的三等分点 求某向量关于已知向量的线性关系式 着重考 查了向量的线性运算 平面向量的基本定理及其意义等知识 属于中档题 3 5 分 2013 渭南二模 设 x y 满足约束条件 则取值范围是 A 1 5 B 2 6 C 3 10 D 3 11 考点 简单线性规划的应用 专题 计算题 数形结合 分析 再根据约束条件画出可行域 利用几何意义求最值 只需求出直线 l0过 A 0 4 时 l0最大 k 也最大为 11 当直线 l0过 B 0 0 时 l0最小 k 也最小为 3 即可 解答 解 根据约束条件画出可行域 设 k 1 整理得 k 1 x 2y k 3 0 由图得 k 1 设直线 l0 k 1 x 2y k 3 当直线 l0过 A 0 4 时 l0最大 k 也最大为 11 当直线 l0过 B 0 0 时 l0最小 k 也最小为 3 故选 D 3 点评 本题主要考查了简单的线性规划 以及利用几何意义求最值 属于基础题 4 5 分 定义在 R 上的可导函数 f x 已知 y ef x 的图象如图所示 则 y f x 的 增区间是 A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 计算题 数形结合 分析 由题意知 欲求函数的增区间 由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了 由 于 y ef x 是一个指数型的函数 当指数大于 0 时函数值大于 1 故由图象找出函 数图象在直线 y 1 上面的那一部分的自变量的集合即为所求 解答 解 由题意如图 f x 0 的区间是 2 故函数 y f x 的增区间 2 故应选 B 点评 本题考查函数的单调性与导数的关系 由于函数的导数是指数型函数的指数 故可 以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间 此即为函数的递增区间 4 5 5 分 如图 过抛物线 y2 4x 焦点的直线依次交抛物线与圆 x 1 2 y2 1 于 A B C D 则 AB CD A 4B 2C 1D 考点 圆与圆锥曲线的综合 专题 计算题 综合题 分析 当直线过焦点 F 且垂直于 x 轴时 AD 2p 4 BC 2r 2 由抛物线与圆的对称性 知 AB CD 1 所以 AB CD 1 解答 解 由特殊化原则 当直线过焦点 F 且垂直于 x 轴时 AD 2p 4 BC 2r 2 由抛物线与圆的对称性知 AB CD 1 所以 AB CD 1 故选 C 点评 本题以抛物线与圆为载体 考查圆的性质和应用 解题时恰当地选取取特殊值 能 够有效地简化运算 6 5 分 2010 宁波模拟 如图是一几何体的三视图 正视图是一等腰直角三角形 且 斜边 BD 长为 2 侧视图一直角三角形 俯视图为一直角梯形 且 AB BC 1 则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值是 A 1B C D 考点 异面直线及其所成的角 简单空间图形的三视图 5 专题 计算题 分析 先将三视图转化成空间图形 取 AD 的中点 E 连接 BE PE CE 将 CD 平移到 BE 根据异面直线所成角的定义可知 PBE 为异面直线 PB 与 CD 所成角 在 Rt PBE 中 求出此角的正切值即可 解答 解 取 AD 的中点 E 连接 BE PE CE 根据题意可知 BE CD PBE 为异面直线 PB 与 CD 所成角 根据条件知 PE 1 BE PE BE tan PBE 故选 C 点评 本小题主要考查异面直线所成的角 异面直线所成的角的求法 以及空间图形的三 视图等有关知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 考查转化思想 属于基础题 7 5 分 已知的左 右焦点 A 是椭圆上 位于第一象限内的一点 点 B 也在椭圆 上 且满足 O 为坐标原点 若椭圆的离心率等于 则直线 AB 的方程是 A B C D 考点 椭圆的简单性质 专题 计算题 分析 由已知求出 设 A c y 结合椭圆几何性质 进一步得出 A c 直线方程 可求 6 解答 解 AF2 F1F2 设 A c y 则 y 椭圆的离 心率 e a b2 a2 c2 c2 A c 又 A B 关于原点对称 则直线 AB 的方 程是 故选 A 点评 本题主要考查向量运算及应用 椭圆的几何性质 直线方程求解 8 5 分 函数 f x 2x2 7x 6 与函数 g x x 的图象所围成的封闭图形的面积 为 A B 2C D 3 考点 定积分在求面积中的应用 专题 计算题 分析 先将两函数联立求得两图象的交点坐标 以确定积分区间 再根据图象和定积分的 几何意义确定被积函数为 f x g x 最后利用微积分基本定理计算定积分即可 得面积 解答 解 由得和 函数 f x 2x2 7x 6 与函数 g x x 的图象所围成的封闭图形的面积 S 13 f x g x dx 13 2x2 8x 6 dx x3 4x2 6x 13 18 36 18 4 6 故选 C 点评 本题考查了定积分的几何意义和运算性质 微积分基本定理及其应用 9 5 分 已知 F1 F2分别为双曲线的左右焦点 P 为双曲 线上除顶点外的任意一点 且 F1PF2的内切圆交实轴于点 M 则 F1M MF2 的值为 A b2B a2C c2D 7 考点 直线与圆锥曲线的关系 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用双曲线的定义 求出 F1M c a 或 c a F2M c a 或 c a 即可得出结论 解答 解 由已知 得 PF1 PF2 2a 即 F1M F2M 2a 又 F1M F2M 2c F1M c a 或 c a F2M c a 或 c a 因此 F1M MF2 c a c a c2 a2 b2 故选 A 点评 本小题主要考查双曲线的定义 双曲线的基本性质 考查学生的计算能力 属于中 档题 10 5 分 已知正方形 AP1P2P3的边长为 4 点 B C 分别是边 P1P2 P2P3的中点 沿 AB BC CA 折叠成一个三棱锥 P ABC 使 P1 P2 P3重合于 P 则三棱锥 P ABC 的外接 球表面积为 A 24 B 12 C 8 D 4 考点 球的体积和表面积 球内接多面体 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 因为折叠后的三棱锥的侧面 PAB 侧面 PBC 侧面 PCA 都是直角三角形 可得 PA PB PC 两两互相垂直 由球的几何性质得外接球的直径 2R 2 从而半径 R 结合球的表面积公式 可得 P ABC 的外接球表面积 解答 解 根据题意 得折叠后的三棱锥 P ABC 中 侧面 PAB 侧面 PBC 侧面 PCA 都是 直角三角形 PA PB PC 两两互相垂直 PA 4 PB PC 2 三棱锥 P ABC 的外接球的直径为 2R 2 8 外接球的半径为 R 可得三棱锥 P ABC 的外接球表面积为 S 4 R2 24 故选 A 点评 本题给出由正方形折叠成的三棱锥 求其外接球的表面积 着重考查了球的几何性 质和表面积公式等知识点 属于基础题 11 5 分 已知 f x 是偶函数 x R 若将 f x 的图象向右平移一个单位又得到一 个奇函数 又 f 2 1 则 f 1 f 2 f 3 f 2011 A 1003B 1003C 1D 1 考点 函数的值 专题 函数的性质及应用 分析 利用函数的奇偶性 及平移变换 从而得到函数 f x 是以 4 为周期的函数 再求 出 f 1 f 3 f 4 即可得出答案 解答 解 函知 f x 是 R 上偶函数 f x f x 又将 f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 函数 f x 是以 4 为周期的函数 对于式子 f x 1 f x 1 令 x 0 则 f 1 f 1 f 1 0 f 1 f 3 f 1 0 又 f 2 1 f 4 f 3 1 f 2 1 f 1 f 2 f 3 f 4 0 1 0 1 0 f 1 f 2 f 3 f 2011 f 2009 f 2010 f 2011 f 1 f 2 f 3 0 1 0 1 故选 D 点评 本题考查了函数的奇偶性 周期性及对称性 深刻理解以上性质是解决问题的关 键 12 5 分 设函数 f x x x bx c 给出以下四个命题 当 c 0 时 有 f x f x 成立 当 b 0 c 0 时 方程 f x 0 只有一个实数根 函数 y f x 的图象关于点 0 c 对称 当 x 0 时 函数 f x x x bx c f x 有最小值是 其中正确的命题的序号是 A B C D 9 考点 命题的真假判断与应用 专题 压轴题 函数的性质及应用 分析 根据 奇 偶 奇 奇 奇 奇 可得 c 0 时函数为奇函数 进 而根据奇函数定义可判断 当 b 0 时 得 f x x x c 在 R 上为单调增函数 方程 f x 0 只有一个实根 故 正确 利用函数图象关于点对称的定义 可证得函数 f x 图象关于点 0 c 对称 故 正确 当 x 0 时 函数 f x x x bx c x2 bx c 结合二次函数的图象和性质 分类讨 论 b 取不同值时 函数的最小值可判断 解答 解 当 c 0 时 函数 f x x x bx 为奇函数 f x f x 恒成立 故 正确 b 0 时 得 f x x x c 在 R 上为单调增函数 且值域为 R 故方程 f x 0 只 有一个实数根 故 正确 对于 因为 f x x x bx c 所以 f x f x 2c 可得函数 f x 的图象关于点 0 c 对称 故 正确 当 x 0 时 函数 f x x x bx c x2 bx c 当 b 0 时 f x 有最小值是 c 当 b 0 时 f x 有最小值是故 不正确 故选 D 点评 本题以命题真假的判断为载体 考查了函数的单调性 奇偶性 图象的对称性和函 数零点与等知识 属于基础题 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把每小题的答案填在答题纸的相应把每小题的答案填在答题纸的相应 位置 位置 13 5 分 已知定义在 1 上的函数 若 f 3 a2 f 2a 则实数 a 取值范围为 1 考点 函数单调性的性质 分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题 函数的性质及应用 分析 由函数的解析式可得函数在 1 0 上是增函数 由 2x 1 在 0 是增函数 且 20 1 3 2 1 可得函数在 1 上是增函数 故由不等式可得 3 a2 2a 1 由此求得 实数 a 取值范围 10 解答 解 由于 3 故函数在 1 0 上是增函数 再由 2x 1 在 0 是增函数 且 20 1 3 2 1 可得函数在 1 上是 增函数 再由 f 3 a2 f 2a 可得 3 a2 2a 1 解得 a 1 故实数 a 取值范围为 1 点评 本题主要考查函数的单调性的性质 注意 2a 1 这是解题的易错点 属于中档 题 14 5 分 椭圆 a b 0 且满足 a 若离心率为 e 则 e2 的最小 值为 考点 椭圆的简单性质 基本不等式 专题 计算题 分析 先根据 e c 对 e2 进行整理得 2 再根据 a 进 而求得 e2 的范围 求得最小值 解答 解 a e2 2 a a2 3b2 且 11 e2 故答案为 点评 本题主要考查了椭圆的简单性质 属基础题 15 5 分 设函数 f x 2sin x 若对任意 x R 都有 f x1 f x f x2 成立 则 x1 x2 的最小值为 2 考点 三角函数的周期性及其求法 专题 计算题 分析 先求出函数的周期 对任意 x R 都有 f x1 f x f x2 成立 说明 f x1 取得最小值 f x2 取得最大值 然后求出 x1 x2 的最小值 解答 解 函数 f x 2sin x 的周期 T 4 对任意 x R 都有 f x1 f x f x2 成立 说明 f x1 取得最小值 f x2 取得最大值 x1 x2 min 2 故答案为 2 点评 本题是基础题 考查函数的周期 对表达式对任意 x R 都有 f x1 f x f x2 成立的正确理解 是解题的关键 是突破口 x1 x2 的最小值就是半周 期 16 5 分 设 对 Xn的任意非空子集 A 定义 f A 为 A 中的最大元素 当 A 取遍 Xn的所有非空子集时 对应的 f A 的和为 S 则 S2 5 Sn n 1 2n 1 考点 子集与真子集 专题 压轴题 规律型 探究型 分析 由题意得对 M 的任意非空子集 A 一共有 2n 1 个 在所有非空子集中每个元素出现 2n 1次可以推出有 2n 1个子集含 n 有 2n 2个子集不含 n 含 n 1 有 2n 3子集不含 n n 1 含 n 2 有 2k 1个子集不含 n n 1 n 2 k 1 而含 k 进而利用错 位相减法求出其和 解答 解 由题意得 在所有非空子集中每个元素出现 2n 1次 12 故有 2n 1个子集含 n 有 2n 2个子集不含 n 含 n 1 有 2n 3子集不含 n n 1 含 n 2 有 2k 1个子集不含 n n 1 n 2 k 1 而含有 k 定义 f A 为 A 中的最大元素 Sn 2n 1 n 2n 2 n 1 21 2 1 Sn 1 21 2 22 3 23 4 2n 1 n 又 2Sn 2 22 2 23 3 24 4 2n n 错位相减 可得 Sn 1 21 22 23 2n 1 2n n Sn n 1 2n 1 S2 2 1 22 1 5 故答案为 5 n 1 2n 1 点评 解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意 结合数列求和的方法求其和即可 找出 规律是关键 此题难度比较大 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 个题 共个题 共 7070 分 把每题的答案填在答卷纸的相应位置 分 把每题的答案填在答卷纸的相应位置 17 10 分 在 ABC 中 内角 A B C 所对边的长分别为 a b c 已知向量 1 cosA 1 cosA 1 且满足 求 A 的大小 若 a b c 3 求 b c 的值 考点 解三角形 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 计算题 解三角形 分析 利用向量的数量积为 0 建立方程 即可求 A 的大小 由余弦定理可得 bc 2 与条件联立 即可求得结论 解答 解 向量 1 cosA 1 cosA 1 且满足 cosA cosA 1 0 cosA A 为 ABC 内角 A 60 a A 60 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 a2 b c 2 2bc 2bccosA b c 3 3 9 3bc bc 2 解得或 点评 本题考查向量的数量积 考查余弦定理的运用 考查学生的计算能力 属于基础 题 18 12 分 2012 怀化二模 如图 在三棱锥 V ABC 中 VC 底面 ABC AC BC D 是 AB 的中点 且 AC BC a VDC 1 求证 平面 VAB 平面 VCD 2 当角 变化时 求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围 13 考 点 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 专 题 计算题 证明题 分 析 解法一 几何法 1 由已知中 AC BC D 是 AB 的中点 由等腰三角形三线合一 可 得 CD AB 又由 VC 底面 ABC 由线面垂直的性质可得 VC AB 结合线面垂直的判定 定理可得 AB 平面 VCD 再由面面垂直的判定定理可得平面 VAB 平面 VCD 2 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H 连接 BH 可得 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 设 CBH 根据 asin 易得到直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围 解法二 向量法 1 以 CA CB CV 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图 所示的空间直角坐标系 分析求出 易得根据向量数量积为 0 得到 CD AB VC AB 结合线面垂直的判定定理可得 AB 平面 VCD 再由面面垂直的判定 定理可得平面 VAB 平面 VCD 2 令直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 求出平面 VAB 的一个法向量和 由向量 夹角公式 易得到 进而得到直线 BC 与平面 VAB 所成 角的取值范围 解 答 解 法一 几何法 证明 1 AC BC a ACB 是等腰三角形 又 D 是 AB 的中点 CD AB 又 VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD 解 2 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H 连接 BH 则由 1 知 AB CH CH 平面 VAB 于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角 在 Rt CHD 中 CD 14 设 CBH 在 Rt BHC 中 CH asin 0 sin 1 又 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 法二 向量法 证明 1 以 CA CB CV 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间 直角坐标系 则 于是 从而 即 AB CD 同理 即 AB VD 又 CD VD D AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD 解 2 设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 平面 VAB 的一个法向量为 n x y z 则由 得 可取 又 于是 0 sin 1 又 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 15 点 评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 其中方法一 几 何法 的关键是熟练掌握线线垂直 线面垂直 面面垂直之间的转化 方法二 向量 法 的关键是建立空间坐标系 将空间线线关系 线面夹角转化为向量夹角问题是解 答本题的关键 19 12 分 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元 每生产 x 千件 需另投入成本 为 C x 当年产量不足 80 千件时 万元 当年产量不小于 80 千 件时 万元 现已知此商品每件售价为 500 元 且该厂年 内生产此商品能全部销售完 1 写出年利润 L 万元 关于年产量 x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 考点 根据实际问题选择函数类型 基本不等式在最值问题中的应用 专题 应用题 分析 1 根据年利润 销售额 投入的总成本 固定成本分 0 x 80 和当 x 80 两种情 况得到 L 与 x 的分段函数关系式 2 当 0 x 80 时根据二次函数求最大值的方法来求 L 的最大值 当 x 80 时 利用基本不等式来求 L 的最大值 解答 解 1 当 0 x 80 x N 时 16 当 x 80 x N 时 L x 51x 1450 250 1200 x 2 当 0 x 80 x N 时 当 x 60 时 L x 取得最大值 L 60 950 当 x 80 x N 当 即 x 100 时 L x 取得最大值 L 100 1000 950 综上所述 当 x 100 时 L x 取得最大值 1000 即年产量为 100 千件时 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力 以及运用基本不等式求最值的 能力 20 12 分 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 1 若椭圆的离心率为 焦距为 2 求线段 AB 的长 2 若向量与向量 f s t 互相垂直 其中 O 为坐标原点 当椭圆的离心率 时 求椭圆的长轴长的最大值 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的简单性质 专题 综合题 分析 1 由椭圆的离心率为 焦距为 2 求出椭圆的方程为 联立 消去 y 得 5x2 6x 3 0 再由弦长公式能求求出 AB 17 2 设 A x1 y1 B x2 y2 由 知 x1x2 y1y2 0 由 消 去 y 得 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 再由根的判断式得到 a2 b2 1 利用韦达 定理 得到 a2 b2 2a2b2 0 由此能够推导出长轴长的最大值 解答 解 1 2c 2 a b 椭圆的方程为 2 分 联立 消去 y 得 5x2 6x 3 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 AB 5 分 2 设 A x1 y1 B x2 y2 即 x1x2 y1y2 0 由 消去 y 得 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 由 2a2 2 4a2 a2 b2 1 b2 0 整理得 a2 b2 1 7 分 y1y2 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 x1x2 y1y2 0 得 2x1x2 x1 x2 1 0 整理得 a2 b2 2a2b2 0 9 分 b2 a2 c2 a2 a2e2 代入上式得 18 2a2 1 10 分 适合条件 a2 b2 1 由此得 故长轴长的最大值为 12 分 点评 本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意向 量垂直的条件 韦达定理 根的判别式 弦长公式 椭圆性质等知识点的灵活应 用 21 12 分 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 过点 K 1 0 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 求 BDK 的内切圆 M 的方程 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 向量在几何中的应用 恒过定点的直线 圆的标准方 程 抛物线的简单性质 专题 计算题 证明题 压轴题 分析 先根据抛物线方程求得焦点坐标 设出过点 K 的直线 L 方程代入抛物线方程 消去 x 设 L 与 C 的交点 A x1 y1 B x2 y2 根据韦达定理求得 y1 y2和 y1y2 的表达式 进而根据点 A 求得点 D 的坐标 进而表示出直线 BD 和 BF 的斜率 进而 问题转化两斜率相等 进而转化为 4x2 y22 依题意可知等式成立进而推断出 k1 k2 原式得证 首先表示出结果为 求得 m 进而求得 y2 y1的值 推知 BD 的斜率 则 BD 方程可知 设 M 为 a 0 M 到 x y 1 和到 BD 的距离相等 进而求得 a 和 圆的半径 则圆的方程可得 解答 解 抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 1 0 设过点 K 1 0 的直线 L x my 1 代入 整理得 y2 4my 4 0 设 L 与 C 的交点 A x1 y1 B x2 y2 则 19 y1 y2 4m y1y2 4 点 A 关于 X 轴的对称点 D 为 x1 y