数学必修2第三章知识点小结及典型习题

第三章 直线与方程 1 直线倾斜角的概念 直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时 取 x 轴作为基准 x 轴正向与直线 l 向上方 向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 特别地 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 规定 0 2 倾斜角倾斜角 的取值范围 的取值范围 0 180 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 3 直线的斜率 直线的斜率 一条直线的倾斜角 90 的正切值叫做这条直线的斜率 常用小写 字母 k 表示 也就是 k tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 k 不存在 当 90 0 时 0 k k 随着 的增大而增大 当 180 90 时 0 k k 随 着 的增大而增大 当 90 时 k不存在 由此可知 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 但是斜率 k 不一定存在 过两点 222111 yxPyxP 的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 1 当 21 xx 时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 2 k 与 21 PP 的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率 再求倾斜角 三点共线的条件 三点共线的条件 如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等 那么这三点共线 反之 三点共线 任意两点连线的斜率不一定相等 解决此类问题要先考虑斜率是否存在 4 直线方程 注意各种直线方程之间的转化 直线方程 注意各种直线方程之间的转化 直线的点斜式方程 k为直线的斜率 且过点 适用条 00 xxkyy 00 y x 件是不垂直 x 轴 注意 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是 0 yy 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因 l 上每一点的横坐标都等于 x0 所以它的方程是 x x0 斜截式 k 为直线的斜率 直线在 y 轴上的截距为 bbkxy 两点式 直线两点 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 其中直线与 轴交于点 与轴交于点 即与1 xy ab lx 0 ay 0 bl 轴 轴的截距截距分别为 xy a b 一般式 0 CByAx A B 不全为 0 注意 注意 在平时解题或高考解题时 所求出的直线方程 一般要求写成斜截式或一般式 各式的适用范围 特殊的方程如 平行于 x 轴的直线 b 为常数 平行于 y 轴的直线 a 为常数 by ax 5 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 1 平行直线系 平行于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系 0 000 CyBxA 00 B A C 为常数 所以平行于已知直线的直线方程可0 00 CyBxA0 000 CyBxA 设 000 0CCCyBxA 垂直于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线方程可设 0 000 CyBxA 00 B A C 为常数 0 00 CyAxB 2 过定点的直线系 斜率为 k 的直线系 直线过定点 00 xxkyy 00 y x 过两条直线 的交点的直线系方程为0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 为参数 其中直线不在直线系中 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 6 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 1 当 时 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 2 当 时 0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 0B0 1221122121 CBCBABAll且0 212121 BBAAll 例 例 设直线经过点 A m 1 B 3 4 直线经过点 C 1 m D 1 m 1 1 l 2 l 当 1 2 时 分别求出 m 的值 1 l 2 l 1 l 2 l 7 两条直线的交点 两条直线的交点 当 相交时 0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点坐标是方程组的一组解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 方程组有无数解 与重合 21 l l 1 l 2 l 8 中点坐标公式 中点坐标公式 已知两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则线段的中点 M 坐标为 2 21 xx 例例 已知点 A 7 4 B 5 6 求线段 AB 的垂直平分线的方程 2 21 yy 9 两点间距离公式 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 则 1122 A x yB xy 22 2121 ABxxyy 10 点到直线距离公式 点到直线距离公式 一点到直线的距离为 00 y xP0 CByAxl 22 00 BA CByAx d 11 两平行直线距离公式 两平行直线距离公式 1 两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解 即 先在 任一直线上任取一点 再利用点到直线的距离进行求解 2 两平行线间的距离公式两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 1 l 和 2 l 的一般式方程为 l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 则 1 l 与 2 l 的距离为 22 21 BA CC d 12 巩固练习 巩固练习 1 图中的直线 l1 l2 l3的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3B k3 k1 k2 C k3 k2 k1D k1 k3 k2 2 设直线 l 的方程为 m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 m R m 1 根据下列 条件分别求 m 的值 l 在 x 轴上的截距是 3 斜率为 1 3 已知 ABC 的三顶点是 A 1 1 B 3 1 C 1 6 直线 l 平行于 AB 交 AC BC 分别于 E F CEF 的面积是 CAB 面积 的 求直线 l 的方程 4 1 4 一直线被两直线 l1 4x y 6 0 l2 3x 5y 6 0 截得的线段的 中点恰好是坐标原点 求该直线方程 5 直线 l 过点 1 2 和第一 二 四象限 若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6 求直线 l 的方程 6 已知点 A 2 1 B 1 2 直线 y 2 上一点 P 使 AP BP 则 P 点坐标为 7 若三点 A 2 3 B 3 2 C m 共线 则 m 的值为 2 1 8 与直线 2x 3y 5 0 平行 且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 9 直线 l1 x a2y 6 0 和直线 l2 a 2 x