2010年高三数学高考易错典型习题专练：概率与统计4

用心 爱心 专心 20102010 年高考数学易错典型习题专练 概率与统计年高考数学易错典型习题专练 概率与统计 山东理 19 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即 停止投篮 否则投第三次 某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25 在 B 处的命中率为 q2 该同 学选择先在 A 处投一球 以后都在 B 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其 分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 求 q2的值 求随机变量 的数学期望 E 试比较该同学选择都在 B 处 投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 0 25P A 0 75P A 2 P Bq 2 1P Bq 根据分布列知 0 时 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q 2 0 8q 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1 q 2 1 5 q2 2 1 q 0 24 当 3 时 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 当 4 时 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量 的数学期望0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 用心 爱心 专心 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 命题立意 本题主要考查了互斥事件的概率 相互独立事件的概率和数学期望 以及运用 概率知识解决问题的能力 广东理17 本小题满分12分 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 API0 5051 100101 150151 200201 250251 300 300 级别 1 2 1 2 状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染 对某城市一年 365天 的空气质量进行监测 获得API数据按照区间 50 0 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50 进行分组 得到频率分布直方图如图5 1 求直方图中x的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已 知 77 578125 2128 32738123 36573 5 18253651825182591259125 用心 爱心 专心 解析 1 依题意 32738 501 1825365182518259125 x 解得x 119 18250 2 良好的天数为 119 36550119 18250 天 轻微污染的天数 2 36550100 365 天 良好和轻微污染的天数共有 219 天 3 良好或轻微污染的概率为119 100 2193 3653655 记 某天空气质量为良或轻微污染 为事件A 则 3 5 P A 记 某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染 为事件B 则 007116 77 323276653 1 555578125 P BCC 江西理理 18 本小题满分 12 分 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立 地对每位大学生的创业方案进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 1 2 若 某人获得两个 支持 则给予 10 万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予 5 万元 的资助 若未获得 支持 则不予资助 令 表示该公司的资助总额 1 写出 的分布 列 2 求数学期望E 解 1 的所有取值为0 5 10 15 20 25 30 1 0 64 P 3 5 32 P 15 10 64 P 5 15 16 P 15 20 64 P 3 25 32 P 1 30 64 P 2 31551531 5101520253015 326416643264 E 辽宁理 19 本小题满分 12 分 某人向一目标射击 4 次 每次击中目标的概率 为 1 3 该目标分为 3 个不同的部分 第一 二 三部分面积之比为 1 3 6 击中目标时 击中任何一部分的概率与其面积成正比 1 设X表示目标被击中的次数 求X的分布列 2 若目标被击中 2 次 A 表示事件 第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 求 P A 解 1 依题意知 1 4 3 XB 则X的分布列为 X01234 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 用心 爱心 专心 6 分 2 设 i A表示事件 第一次击中目标时 击中第i部分 i 1 2 i B表示事件 第二次击中目标时 击中第i部分 i 1 2 依题意知 11 0 1P AP B 22 0 3P AP B 11111122 AA BABABA B 故 11111122 P AP A BP ABP ABP A B 0 1 0 90 9 0 1 0 1 0 1 0 3 0 30 28 12 分 浙江 理 19 本题满分 14 分 在1 2 3 9 这9个自然数中 任取3个数 I 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 II 设 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数1 2和2 3 此时 的值是2 求随机变量 的分布 列及其数学期望E 解析 I 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A 则 12 45 3 9 10 21 C C P A C II 随机变量 的取值为0 1 2 的分布列为 012 P5 12 1 2 1 12 所以 的数学期望为 5112 012 122123 E 湖北理湖北理 16 本小题满分 10 分 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 2 3 4 5 另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 3 4 5 6 现 从一个盒子中任取一张卡片 其上面的数记为 x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的 数记为 y 记随机变量 x y 求 的分布列和数学期望 解析 依题意 可分别取5 6 11 取 则有 1123 5 6 7 4 4161616 4321 8 9 10 11 16161616 ppp pppp 的分布列为 567891011 用心 爱心 专心 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 1234321 5678910118 16161616161616 E 福建理 16 13 分 从集合 1 2 3 4 5的所有非空子集中 等可能地取出一个 1 记性质r 集合中的所有元素之和为 10 求所取出的非空子集满足性质r的概率 2 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列和数学期望E 湖南理 17 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分为基础设 施工程 民生工程和产业建设工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 1 3 1 6 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设 求他们选择的项目所属类别互 不相同的概率 记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数 求 的分布列及数学期望 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件 i A i B i C 1i 2 3 由题意知 1 A 2 A 3 A相互独立 1 B 2 B 3 B相互独立 1 C 2 C 3 C相互独立 i A j B k C i j k 1 2 3 且i j k互不相同 相互独立 且 1 2 i PA 1 3 i PB 1 6 i P C 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P 123123 3 6 PAB CPAPBP C 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由已知 1 3 3 B 且3 所以 33 3 11 0 3 C 327 PP h 22 3 122 1 2 C 339 PP h 12 3 124 2 1 C 339 PP h 03 3 28 3 0 C 327 PP h 故 的分布列是 1111 6 2366 用心 爱心 专心 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 1248 01232 279927 E 解法2 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件 i D 1i 2 3 由已知 1 D 2 D 3 D相互独立 且 iiiii PDPACPAP C 112 263 所以 2 3 3 B 即 3 3 21 C 33 kkk Pk k 0 1 2 3 故 的分布列是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 2 32 3 E 陕西理陕西理 19 本小题满分 12 分 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示 椐 统计 随机变量 的概率分布如下 0123 p0 10 32aa 求 a 的值和 的数学期望 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影 响 求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率 解析 1 由概率分布可知 0 1 0 3 2a a 1 解得 a 0 2 的概率分布为 0123 p0 10 30 40 2 0 0 1 1 0 32 0 43