河南省郸城县光明中学八年级数学下册 20.5 等腰梯形的判定A卷 华东师大版

1 20 520 5 等腰梯形的判定等腰梯形的判定 A A 卷卷 一 选择题 1 下列结论中 正确的是 A 等腰梯形的两个底角相等 B 两个底角相等的梯形是等腰梯形 C 一组对边平行的四边形是梯形 D 两条腰相等的梯形是等腰梯形 3 课外活动课上 老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝 其面积为 450cm 则两条对角线所用的竹条长度之和至少为 A 30cm B 30cm C 60cm D 60cm22 二 填空题 4 等腰梯形上底 下底和腰分别为 4 10 5 则梯形的高为 对角线为 5 一个等腰梯形的上底长为 5cm 下底长为 12cm 一个底角为 60 则它的腰长为 cm 周长为 cm 6 在四边形 ABCD 中 AD BC 但 AD BC 若使它成为等腰梯形 则需要添加的条 件是 填一个正确的条件即可 三 解答题 7 如图所示 AD 是 BAC 的平分线 DE AB DE AC AD EC 2 四 思考题 8 如图所示 四边形 ABCD 中 有 AB DC B C 且 AD BC 四边形 ABCD 是等腰 梯形吗 为什么 3 参考答案 2 B 点拨 因为 ABC DCB BAD CDA AOB DOC 所以共有 3 对全等的三角形 3 C 点拨 设该等腰梯形对角线长为 Lcm 因为两条对角线互相垂直 所以梯形面积为L2 450 解得 L 30 1 2 所以所用竹条长度之和至少为 2L 2 30 60 cm 二 4 4 65 点拨 如图所示 连结 BD 过 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别为 E F 易知 BAE CDF 在四边形 AEFD 为矩形 所以 BE CF 3 AD EF 4 在 Rt CDF 中 FC2 DF2 CD2 即 32 DF2 52 4 所以 DF 4 在 Rt BFD 中 BF2 DF2 BD2 即 72 42 BD2 所以 BD 65 5 7 31 点拨 如图所示 过点 D 作 DE AB 交 BC 于 E 因为 AD BC AB DE 所以四边形 ABED 是平行四边形 所以 BE AD 5 cm AB DE 又因为 AB CD 所以 DE DC 又因为 C 60 所以 DEC 是等边三角形 所以 DE DC EC 7 cm 所以周长为 5 12 7 7 31 cm 6 AB CD 或 A D 或 B C 或 AC BD 或 A C 180 或 B D 180 三 7 证明 因为 AB ED 所以 BAD ADE 又因为 AD 是 BAC 的平分线 所以 BAD CAD 所以 CAD ADE 所以 OA OD 又因为 AC DE 所以 AC OA DE OD 即 OC OE 所以 OCE OEC 5 又因为 AOD COE 所以 CAD OCE 所以 AD CE 而 AD CE 故四边形 ADCE 是梯形 又因为 CAD ADE AD DA AC DE 所以 DAC ADE 所以 DC AE 所以四边形 ADCE 是等腰梯形 点拨 证明一个四边形是等腰梯形时 应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底 上的两个角相等 四 8 解 四边形 ABCD 是等腰梯形 理由 延长 BA CD 相交于点 E 如图所示 由 B C 可得 EB EC 又 AB DC 所以 EB AB EC DC 即 AE DE 所以 EAD EDA 因为 E EAD EDA 180 E B C 180 所以 EAD B 故 AD BC 又 AD BC 所以四边形 ABCD 是梯形 又 AB DC 所以四边形 ABCD 是等腰梯形 点拨 由题意可知 只要推出 AD BC 再由 AD BC 就可知四边形 ABCD 为梯形 再 由 AB DC 即可求得此四边形是等腰梯形 由 B C 联想到延长 BA CD 即可得到等 腰三角形 从而使 AD BC 6 20 5 等腰梯形的判定 B 卷 一 七彩题 1 一题多解题 如图所示 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 12cm 上底 AD 15cm BAD 120 求下底 BC 的长 二 知识交叉题 2 科内交叉题 如图所示 在矩形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O E F 分别是 OA OD 的中点 且 EF AD 试判断四边形 EBCF 的形状 并说明你的理由 三 实际应用题 7 3 如图所示 小军将两根长度相等的木条 AC BD 交叉摆放 并使木条 AC BD 分 别与水平线所成的夹角 1 2 相等 然后在交点 O 处钉一个钉子固定 OAAD 将纸片沿过点 D 的直线折叠 使点 A 落在边 CD 上的点 E 折痕为 DF 连结 EF 并展开纸 片 1 求证 四边形 ADEF 是正方形 2 取线段 AF 的中点 G 连结 EG 结果 BG CD 试说明四边形 GBCE 是等腰梯形 五 探究学习篇 1 翻折变换题 如图 20 5 8 所示 等腰梯形 ABCD 中 AD BC DBC 45 翻 折梯形 ABCD 使点 B 重合于点 D 折痕分别交边 AB BC 于点 F E 若 AD 2 BC 8 求 BE 的长 8 2 如图所示 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC M N 分别为 AD BC 的中点 E F 分别是 BM CM 的中点 1 试说明 ABM DCM 2 四边形 MENF 是什么图形 请说明理由 3 若四边形 MENF 是正方形 则梯形的高与底边 BC 的长有何数量关系 请说明理 由 3 阅读 下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程 已知 在四边形 ABCD 中 AB DC AC BD AD BC 试说明四边形 ABCD 是等腰梯形 9 解 过点 D 作 DE AB 交 BC 于点 E 如图 20 5 10 所示 则 ABE 1 因 为 AB DC AC DB BC CB 所以 ABC DCB 所以 ABC DCB 所以 1 DCB 所以 AB DC DE 所以四边形 ABCD 是平行四边形 所以 AD BC 又因为 AD BC 所以四边形 ABCD 是梯形 因为 AB CD 所以四边形 ABCD 是等 腰梯形 阅读填空 1 说明过程是否有错误 错在第几步 答 2 有人认为第 步是多余的 你认为呢 为什么 答 3 若题目中没有 AD BC 那么四边形 ABCD 一定是等腰梯形吗 为什么 答 参考答案 一 1 解法一 如图 1 所示 过 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别为 E F 在梯形 ABCD 中 因为 AD BC 所以 B BAD 180 因为 BAD 120 所以 B 60 在 Rt ABE 中 BAE 90 B 30 所以 BE AB 6cm 1 2 因为梯形 ABCD 是等腰梯形 所以 C B 60 所以 CF CD 6cm 1 2 因为四边形 AEFD 是矩形 所以 EF AD 15cm 所以 BC BE EF CF 27cm 图 1 图 2 图 3 解法二 如图 2 所示 过 A 作 AE CD 交 BC 于 E 点 因为 AD BC 所以四边形 AECD 是平行四边形 所以 EC AD 15cm AE CE 10 又因为 AD BC 所以 B BAD 180 因为 BAD 120 所以 B 60 因为 AB CD 所以 AB AE 所以 ABE 是等边三角形 所以 BE AB 12cm 所以 BC BE EC 15 12 27 cm 解法三 如图 3 所示 延长 BA 和 CD 交于点 P 在梯形 ABCD 中 AB CD 所以 B C 因为 AD BC 所以 PAD B PDA C BAD B 180 因为 BAD 120 所以 B PAD C PDA 60 所以 PAD 和 PBC 都是等边三角形 所以 PA AD 15cm PB PA AB 12 15 27 cm 所以 BC PB 27cm 点拨 以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛 通过它们把梯形的问题转化 为平行四边形 三角形等的问题来解决 体现了 转化 的数学思想 二 2 解 四边形 EBCF 是等腰梯形 理由如下 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 AC BD AD BC 又因为 AO OC OB OD 所以 OA OD OC OB 又因为 E F 分别是 OA OD 的中点 所以 OE OF 所以 OEF OFE 因为 OB OC 所以 OBC OCB 又因为 EOF BOC 所以 OEF OFE OBC OCB 即 2 OFE 2 OBC 所以 OFE OBC 所以 EF BC 因为 EF AD 所以 EF BC 所以四边形 EBCF 是梯形 因为 OE OF OB OC EOB FOC 所以 OEB OFC 所以 BE CF 所以四边形 EBCF 是等腰梯形 点拨 本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题 要说明一个四边形为等 腰梯形 需先说明这个四边形为梯形 这一条很容易被忽略 再说明这个梯形为等腰梯 形 三 3 解 小军得到的四边形 ABCD 是等腰梯形 理由如下 如图所示 延长 DA CB 交于点 E 因为 AC BD 1 2 CD DC 11 所以 ADC BCD S A S 所以 AD BC ADC BCD 所以 ED EC 所以 ED AD EC BC 即 EA EB 所以 3 4 因为 3 4 E 180 ADC BCD E 180 所以 3 ADC 所以 3 ADC 所以 AB CD 180 2 E 180 2 E 又因为 OA OC 故四边形 ABCD 必不为平行四边形 所以四边形 ABCD 是等腰梯形 点拨 要想使四边形 ABCD 是等腰梯形 关键是求得 AB DC 和 AD BC 可通过同位角 相等和三角形全等分别求出 四 4 证明 如图所示 1 因为 A 90 AB DC 所以 ADE 90 由沿 DF 折叠后 DAF 与 DEF 重合 知 AD DE DEF 90 所以四边形 ADEF 是矩形 且邻边 AD DE 相等 所以四边形 ADEF 是正方形 2 因为 CE BG 且 CE BG 所以四边形 GBCE 是梯形 因为四边形 ADEF 是正方 形 12 所以 AD FE A GFE 90 又点 G 为 AF 的中点 所以 AG FG 连结 DG 在 AGD 与 FGE 中 因为 AD FE A GFE AG FG 所以 AGD FGE 所以 DGA EGB 因为 BG CD BG CD 所以四边形 BCDG 是平行四边形 所以 DG CD 所以 DGA B 所以 EGB B 所以四边形 GBCE 是等腰梯形 五 探究学习 1 解 因为 BFE 与 DFE 关于 EF 对称 所以 BFE DFE 所以 BE DE 又因为 DBC 45 所以 EBD EDB 45 所以 BED 90 过 A 作 AH BC 于 H 如图所示 因为 AD BC 所以 BED ADE 90 又因为 AHE 90 所以四边形 ADEH 是矩形 所以 AD HE AH DE 在 Rt ABH 和 Rt DCE 中 因为 AB DC AH DE 所以 Rt ABH Rt DCE 所以 BH EC 所以 EC BC AD 8 2 3 所以 BE BC EC 8 3 5 1 2 1 2 点拨 要求 BE 的长 因为 BC 已知 只需求 EC 的长 由已知条件可得 DEC 90 故联系梯形常作辅助线 易求 EC 的长 2 解 1 因为四边形 ABCD 为等腰梯形 所以 AB CD A D 因为 M 是 AD 的中点 所以 AM DM 所以 ABM DCM 2 四边形 MENF 是菱形 理由 由 ABM DCM 得 MB MC 13 连结 MN 因为 N 是 BC 的中点 所以 MN BC 而 E F 分别是 MB MC 的中点 所以 ME MB MF MC NE MB NF MC 直角三角形的斜边上的中线等于斜边 1 2 1 2 1 2 1 2 的一半 所以 ME MF NF