2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第10部分 数列 苏教版

用心 爱心 专心1 20122012 年江苏各地高考数学模考试题汇编第年江苏各地高考数学模考试题汇编第 1010 部分部分 数列数列 苏教版苏教版 2012 年南师附中 已知数列 n a满足 1 a m m 为正整数 1 2 31 n n n nn a a a aa 当为偶数时 当为奇数时 若 则 m 所有可能的取值为 4 或 5 或 32 4 4 a 析 本题可以逆向推导 由可得 1 若则或 舍 4 4 a 3 81a 或 3 8a 2 16a 7 3 则或 5 2 若 则或 0 舍 则 1 32a 3 1a 2 2a 1 4a 2012 年泰兴 已知数列 当整数1 1 aan中2 2 a 都成立 则 21 111 1 2 nnn nSSSS 时 5 S 析 5 1246821S 111 22 nnnn SSSSS 即 n2 数列 从第二项起构成等差数列 1 2 nn aa n a 5 1246821S 注 本题由 2011 江苏卷 20 题 1 改变而来 2012 年泰兴 王老师从 2011 年 1 月 1 日开始每年的 1 月 1 日到银行新存入 a 元 一年 定期 若年利率 r 保持不变 且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期 到 2018 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回 他可以取回 元 答案 8 1 1 arar r 析 复利问题 本题为等比数列模型 76 1 1 1 ararar 7 1 1 1 arr r 8 1 1 arar r 用心 爱心 专心2 南师附中最后一卷 已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列 bn 是等比数列 其中 a1 3 b1 1 a2 b2 3a5 b3 若存在常数 u v 对任意正整数 n 都有 an 3logubn v 则 u v 答案 6 泰州期末 10 在集合 x 中取三个不同元素排成一列 使其成等比数 2012 x Z Zx Z Z 列 则此等比数列的公比为 答案 2 2 1 南京三模 13 如图 将数列中的所有项按每一行比上一行 n a 多两项的规则排成数表 已知表中的第一列构成一 125 a a a 个公比为 2 的等比数列 从第 2 行起 每一行都是一个公差为 的等差数列 若 则 d 486 5 518aa d 解答 第 2 行成公差为的等差数列 可得 d 24 252aadd 第行的数的个数为 从第 1 行到第行的所有数的个数总和为n21n n 2 121 2 nn n 86 92 5 第 10 行的前几个数为 所以 8283848586 aaaaa 8286 45184aadd 第一列构成一个公比为 2 的等比数列 12510172637506582 a a a aaaaaaa 故有 解得 88 822 25184 52 2aadd 1 5d 南师大信息卷 等比数列 n a 的前n项和为 n S 已知 123 2 3SSS成等差数列 则等比数 列 n a 的公比为 1 3 提示 提示 设等比数列 n a 的公比为 0 q q 由 213 43SSS 得 用心 爱心 专心3 2 111111 4 3 aa qaaa qa q 即 2 30qq 1 3 q 南师大信息卷 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型 数字 1 出现在第 1 行 数字 2 3 出现在第 2 行 数字 6 5 4 从左至右 出现在第 3 行 数字 7 8 9 10 出 现在第 4 行 依此类推 则第 63 行从左至右的第 5 个数应是 2012 提示提示 由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的数是 63 63 1 2016 2 所以 从左至右的第 5 个数应是 2016 4 2012 1 3 6 54 78910 1514 1312 11 2 南师大信息卷 已知数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 的首项是 1 随后两项都是 2 接下来 3 项都是 3 再接下来 4 项都是 4 以此类推 若 1 20 21 nn aa 则n 211 提示 提示 20 120 112320210 2 n 211n 南师大信息卷 各项都为正数的数列 n a 其前n项的和为 n S 且 2 11 2 nn SSan 若 1 1 nn n nn aa b aa 且数列 n b的前n项的和为 n T 则 n T 2 46 21 nn n 提示 提示 11nn SSS 2 11 nn Sn S Sn a 11 21 nnn aSSna 212122 2 21212121 n nn b nnnn 222222 2 2 2 13352121 n T nn 用心 爱心 专心4 2 246 22 2121 nn n nn 南师大信息卷 已知 n a 是等比数列 25 1 2 4 aa 则 12 nn Saaa nN 的取值范围是 4 8 提示 提示 因为 n a 是等比数列 所以可设 1 1 n n aa q 因为 25 1 2 4 aa 所以 1 4 1 2 1 4 a q a q 解得 1 4 1 2 a q 所以 12 1 4 1 12 88 1 2 1 2 n n nn Saaa 因为 11 0 22 n 所以48 n S 苏锡常一模 等差数列 n a中 已知15 8 a 13 9 a 则 12 a的取值范围是 答案 7 苏锡常一模 设 nu表示正整数n的个位数 2 nunuan 则数列 n a的前 2012项和等于 答案 2 南通三模 各项均为正数的等比数列满足 若函数 n a 176 4 8a aa 的导数为 则 2310 12310 f xa xa xa xa x fx 1 2 f 解析 考查等比数列的基本知识 导数的运算 各项为正的等比数列满足 n a 推算出 所以 又8 4 671 aaa2 4 1 1 qa 3 2 n n a 将代入得 所以 9 1021 102 xaxaaxf 2 1 xnxna n n 4 1 1 答案 1021 4 1 2 1 f 55 4 用心 爱心 专心5 盐城二模 在等比数列中 已知 则 n a 123 5a a a 789 40a a a 567 a a a 答案 20 南京二模 设是等差数列的前 n 项和 若 则 n S n a 3 1 6 3 S S 7 6 S S 答案 27 35 苏州调研 在等比数列中 若 则 n a 357 8a a a 24 a a 答案 答案 4 4 南京一模 记等比数列 n a 的前n项积为 n T nN 已知 11 20 mmm aaa 且 21 128 m T 则m 答案 答案 4m 南通一模南通一模 观察下列等式 3 11 用心 爱心 专心6 33 129 333 12336 3333 1234100 猜想 3333 123n n N 答案 2 1 2 n n 解析 法一 先看出等式右边依次为 12 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 再归纳出所求式子为 最后用等差数列求和公式即得 2 12 n 法二 猜想数列 an 1 3 6 10 的通项公式 由猜想出 1 2233445 13610 2222 1 2 n n n a 作数列 an 1 3 6 10 的差分数列 知其为等差数列 江苏最后 1 卷 13 将所有的奇数排列如右表 其中第i行第j个数表示 为 ij a 例如 32 9a 若445 ij a 则ij 13 解析 本题主要考查数列的通项 答案 34 解答如下 可以求得通项 2 21 ij aiij 所以 2 21445iij 且1ji 从而 2 2 444 446 ii ii 解得21i 于是13j 故34ij 1 3 5 7 9 11 第 12 题 用心 爱心 专心7 常州期末 已知等比数列 n a的各均为正数 且 2 12437 23 4aaaa a 则数列 n a的通项公式为 答案 3 2n 苏北四市 已知等差数列的前 项和分别为和 若 且 nn ab n S n T 745 3 n n Sn Tn 是整数 则 的值为 2 n n a b 答案 15 解 设则可求得 745 3 nn SAnnTAn n 1438 22 nn aAnbAn 当时 是整数 2 1438 16 3 42 21 n n aAnn bAnn 15n 2 n n a b 说明 此解法学生须知 数列为等差数列的一个充要条件是其前项和 n an 2 n Sanbn 南通一模 各项均为正偶数的数列中 前三项依次成公差为的等差 1234 a a a a 0 d d 数列 后三项依次成公比为的等比数列 若 则的所有可能的值构成的q 41 88aa q 集合为 答案 58 37 解 设这四个数为 其中 均为正偶数 则 1 a 1 ad 1 2ad 1 88a 1 ad 整理得 2 111 2 88 adad a 1 4 22 0 388 dd a d 注意体会这里用 而不用 的好处 实际是一种估算能力 1 0a 1 2a 所以 即 22 388 0dd 22 88 3 d 所以的所有可能值为 24 26 28 d 当时 24d 1 12a 5 3 q 当时 舍去 26d 1 208 5 a 当时 28d 1 168a 8 7 q 用心 爱心 专心8 所以q的所有可能值构成的集合为 58 37 盐城二模 在等差数列中 记数列的前项和为 若 n a5 2 a21 6 a n a 1 n n S 对恒成立 则正整数的最小值为 15 12 m SS nn Nnm 答案 5 解 由题设得 可化为 43 n an 15 12 m SS nn 111 41458115 m nnn 令 111 414581 n T nnn 则 1 11111 4549818589 n T nnnnn 1 111111 0 858941828241 nn TT nnnnnn 当时 取得最大值 1n n T 1114 5945 由解得 正整数的最小值为 5 14 1545 m 14 3 m m 百校联考 已知无穷数列 n a的各项均为正整数 n S为数列 n a的前n项和 1 若数列 n a是等差数列 且对任意正整数n都有 3 3 n n SS 成立 求数列 n a的通项公式 2 对任意正整数n 从集合 12 n a aa 中不重复地任取若干个数 这些数之间经 过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 且这些正整数与 12 n a aa 一起 恰好是 1 至 n S全体正整数组成的集合 i 求 12 a a的值 ii 求数列 n a的通项公式 解 1 设无穷等差数列 n a的公差为d 则 11 1 222 n n ndd Snadnna 用心 爱心 专心9 所以 3 33 1 22 n dd Snna 且 3 3 3 1 22 n dd Snna 23 32 332 111 33 842222 dddddd nnanana 因为 3 3 n n SS 对于一切正整数n都成立 所以 3 2 1 2 1 3 11 82 3 0 42 3 0 22 22 dd dd a dd a dd aa 4 分 因为数列 n a的各项均为正整数 所以0d 由 可得0d 或2d 当0d 时 由 得 1 1a 且同时满足 当2d 时 由 得 1 1 2 d a 且同时满足 因此 共有 2 个无穷等差数列满足条件 通项公式为1 n a 或21 n an 6 分 2 i 记 1 2 nn AS 显然 11 1aS 7 分 对于 2122 1Saaa 有 22222 1 2 1 1 1 1 2 3 4 ASaaa 故 2 14a 所以 2 3a 9 分 ii 由题意可知 集合 12 n a aa 按上述规则 共产生 n S个正整 数 10 分 而集合 121 nn a aa a 按上述规则产生的 1n S 个正整数中 除1 2 n S 这 n S个 用心 爱心 专心10 正整数外 还有 111 nnn aai ai 1 2 n iS 共21 n S 个数 所以 1 21 31 nnnn SSSS 12 分 又 1 11 3 22 nn SS 所以 1 1 1111 33 2222 nn n SS 14 分 当2n 时 11 1 1111 3 3 3 2222 nnn nnn aSS 15 分 而 1 1a 也满足 1 3n n a 所以 数列 n a的通项公式是 1 3n n a 16 分 天一 已知数列是各项均不为的等差数列 公差为 为其前 项和 且 n a0d n Sn 满足 数列满足 为数列的前n项和 2 21nn aS n N n b 1 1 n nn b aa n T n b 1 求数列的通项公式和数列的前n项和 n a n a n b n T 2 若对任意的 不等式恒成立 求实数的取值范围 n N 8 1 n n Tn 3 是否存在正整数 使得成等比数列 若存在 求出所有 m n 1 mn 1 mn T TT 的值 若不存在 请说明理由 m n 19 解 1 法一 在中 令 2 21nn aS 1 n2 n 得 即 2 分 3 2 2 1 2 1 Sa Sa 33 1 2 1 1 2 1 dada aa 解得 1 1 a2 d21 n an 又时 满足 3 分21 n an 2 n Sn 2 21nn aS 21 n an 1 11111 21 21 2 2121 n nn b a annnn 5 分 111111 1 2335212121 n n T nnn 法二 是等差数列 n a n n a aa 2 121 用心 爱心 专心11 2 分 12 2 121 12 n aa S n nn an 12 由 得 2 21nn aS nn ana 12 2 又 则 3 分0 n a 21 n an 1 1 2ad 求法同法一 n T 2 当为偶数时 要使不等式恒成立 即需不等式n8 1 n n Tn 恒成立 6 分 8 21 8 217 nn n nn 等号在时取得 8 28n n 2n 此时 需满足 7 分 25 当为奇数时 要使不等式恒成立 即需不等式n8 1 n n Tn 恒成立 8 分 8 21 8 215 nn n nn 是随的增大而增大 时取得最小值 8 2n n n1n 8 2n n 6 此时 需满足 9 分 21 综合 可得的取值范围是 10 分 21 3 1 1 32121 mn mn TTT mn 若成等比数列 则 1 mn T TT 2 1 213 21 mn mn 即 12 分 2 2 44163 mn mmn 由 可得 即 2 2 44163 mn mmn 2 2 3241 0 mm nm 2 2410mm 14 分 66 11 22 m 又 且 所以 此时 m N1m 2m 12n 因此 当且仅当 时 数列中的成等比数列 16 分2m 12n n T 1 mn T TT 另解另解 因为 故 即 11 3 636 6 n n n 2 2 1 4416 m mm 2 2410mm 以下同上 14 分 66 11 22 m 用心 爱心 专心12 南京三模 已知数列的奇数行项是公差为的等差数列 偶数项是公差为的等 n a 1 d 2 d 差数列 是数列的前项和 n S n an 12 1 2aa 1 若 求 545 16 Saa 10 a 2 已知 且对任意 有恒成立 求证 数列是等差数列 158 15Sa nN 1nn aa n a 3 若 且存在正整数 使得 求当最大时 121 3 0 ddd m n mn mn aa 1 d 数列的通项公式 n a 南通三模 已知 是方程x2 x 1 0 的两个根 且 数列 an bn 满足 a1 1 a2 an 2 an 1 an bn an 1 an n N N 1 求b2 a2的值 2 证明 数列 bn 是等比数列 用心 爱心 专心13 3 设c1 1 c2 1 cn 2 cn 1 cn n N N 证明 当n 3 时 an 1 n 1 cn 2 cn 解 因为 是方程x2 x 1 0 的两个根 所以 1 1 2 1 1 由b2 a3 a2 a1 a2 a2 1 a2 2 a2 得b2 a2 2 4 分 2 因为 bn 1 bn an 2 an 1 an 1 an an 1 an an 1 an 1 an 1 an 1 an an 1 an an 1 an an 1 an an 1 an an 1 an 8 分 又b1 a2 a1 0 所以 bn 是首项为 公比为 的等比 数列 10 分 3 由 2 可知 an 1 an n 1 同理 an 1 an an an 1 又a2 a1 0 于是an 1 an 0 由 得 an n 1 13 分 下面我们只要证明 n 3 时 1 n 1 cn 2 cn n 1 因为 1 n cn 1 cn 1 1 n 1 cn 2 cn cn 1 cn cn 1 cn 2 cn cn 1 cn cn 2 cn cn 2 cn cn cn 2 cn cn 2 1 cn cn 2 cn cn 2 2cn cn 2 cn 又c1 1 c2 1 c3 2 则当n 3 时 1 2 c1 c3 2 1 2 所以 1 n 1 cn 2 cn 是以 2为首项 为公比的等比数列 1 n 1 cn 2 cn 是它的第n 2 项 所以 1 n 1 cn 2 cn 2 n 3 n 1 an 16 分 苏锡常一模 数列 n a中 1 1 a 2 2 a 数列 n b满足 n n nn aab 1 1 Nn 用心 爱心 专心14 1 若数列 n a是等差数列 求数列 n b的前6项和 6 S 2 若数列 n b是公差为2的等差数列 求数列 n a的通项公式 3 若0 122 nn bb n nn bb 2 6 212 Nn 求数列 n a的前n2项的和 2n T 用心 爱心 专心15 常州期末 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 843 nnn SaanN 且 127 a a a依次是等比数列 n b的前三项 1 求数列 n a及 n b的通项公式 2 是否存在常数0a 且1a 使得数列 log nan abnN 是常数列 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 2012 年南通二模 设数列 n a 的各项均为正数 若对任意的n N 存在k N 使得 2 2n knnk aaa 成立 则称 数列 n a 为 Jk型 数列 1 若数列 n a 是 J2型 数列 且 2 8a 8 1a 求 2n a 用心 爱心 专心16 2 若数列 n a 既是 J3型 数列 又是 J4型 数列 证明 数列 n a 是等比数 列 解 1 由题意 得 2 a 4 a 6 a 8 a 成等比数列 且公比 1 3 8 2 1 2 a q a 所以 4 1 22 1 2 n n n aa q 2 证明 由 n a 是 4 J 型 数列 得 1 a 5 a 9 a 13 a 17 a 21 a 成等比数列 设公比为t 由 n a 是 3 J型 数列 得 1 a 4 a 7 a 10 a 13 a 成等比数列 设公比为 1 2 a 5 a 8 a 11 a 14 a 成等比数列 设公比为 2 3 a 6 a 9 a 12 a 15 a 成等比数列 设公比为 3 则 4313 1 1 a t a 4317 2 5 a t a 4321 3 9 a t a 所以 123 不妨记 123 且 4 3 t 于是 32 1 13 3211 k k k aaa 2 31 1 223 3 315111 k k kk k aaa taa 1 31 3233 3 39111 k k kk k aaa taa 所以 1 3 1 n n aa 故 n a 为等比数列 20 南京一模 已知数列 n a 满足 1 0 aa aaN 121 0 nn aaapa 0 1 ppnN 1 求数列 n a的通项公式 n a 2 若对每一个正整数k 若将 123 kkk aaa 按从小到大的顺序排列后 此三项均能构成 等差数列 且公差为 k d 求p的值及对应的数列 k d 记 k S为数列 k d的前k项和 问是否存在a 使得30 k S 对任意正整数k恒成 立 若存在 求出a的最大值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心17 解 因为 121 0 nn aaapa 所以2n 时 121 0 nn aaapa 两 式相减 得 1 1 2 n n ap n ap 故数列 n a从第二项起是公比为 1p p 的等比数 列 3 分 又当 n 1 时 12 0apa 解得 2 a a p 从 而 2 1 1 2 nn a n aap n pp 5 分 2 由 1 得 11 123 111 kkk kkk apapap aaa pppppp 1 若 1k a 为等差中项 则 123 2 kkk aaa 即 1 1 p p 或 1 2 p p 解得 1 3 p 6 分 此时 1 12 3 2 3 2 kk kk aaaa 所 以 1 12 92k kkk daaa 8 分 2 若 2k a 为等差中项 则 213 2 kkk aaa 即 1 1 p p 此时无 解 9 分 3 若 3k a 为等差中项 则 312 2 kkk aaa 即 1 1 p p 或 11 2 p p 解得 2 3 p 此时 11 13 3131 2222 kk kk aa aa 所 以 1 13 91 82 k kkk a daa 11 分 综上所述 1 3 p 1 92k k da 或 2 3 p 1 91 82 k k a d 12 分 1 当 1 3 p 时 9 21 k k Sa 则由30 k S 得 10 3 21 k a 当3k 时 10 1 3 21 k 所以必定有1a 所以不存在这样的最大正整 数 14 分 2 当 2 3 p 时 91 1 42 k k a S 则由30 k S 得 40 1 3 1 2 k a 因为 4040 1 3 3 1 2 k 所以13a 满足30 k S 恒成立 但当14a 时 存在5k 使得 用心 爱心 专心18 40 1 3 1 2 k a 即30 k S 南京二模 已知数列 an 满足 0 2 2 12 32 1 Nnnn aaa a n n 其中常数 1 求数列 an 的通项公式 2 当 4 时 是否存在互不相同的正整数 r s t 使得成等比数列 若存 tsr aaa 在 给出 r s t 满足的条件 若不存在 说明理由 3 设 S 为数列 an 的前 n 项和 若对任意 都有恒 n Nn n nn aS 2 1 成立 求实数的取值范围 解 解 1 当n 1 时 a1 3 当n 2 时 由a1 n2 2n a2 a3 2 an n 1 得a1 n 1 2 2 n 1 a2 a3 2 an 1 n 2 得 2n 1 所以an 2n 1 n 1 n 2 an n 1 因为a1 3 所以an 2n 1 n 1 n N N 4 分 2 当 4 时 an 2n 1 4n 1 若存在ar as at成等比数列 则 2r 1 4r 1 2t 1 4t 1 2s 1 2 42s 2 整理得 2r 1 2t 1 4 r t 2s 2s 1 2 6 分 由奇偶性知r t 2s 0 所以 2r 1 2t 1 r t 1 2 即 r t 2 0 这与r t矛盾 故不存在这样的正整数r s t 使得ar as at成等比数列 8 分 3 Sn 3 5 7 2 2n 1 n 1 当 1 时 Sn 3 5 7 2n 1 n2 2n 当 1 时 Sn 3 5 7 2 2n 1 n 1 Sn 3 5 2 2n 1 n 1 2n 1 n 1 Sn 3 2 2 3 n 1 2n 1 n 用心 爱心 专心19 3 2 2n 1 n 10 分 1 n 1 1 要对任意n N N 都有 1 Sn an 2 n恒成立 当 1 时 左 1 Sn an an 2n 1 2 结论显然成立 当 1 时 左 1 Sn an 3 2 2n 1 n an 1 n 1 1 3 2 1 n 1 1 3 1 2 n 1 因此 对任意n N N 都有 n恒成立 3 1 4 2 1 当 0 1 时 只要 n对任意n N N 恒成立 3 4 2 只要有 即可 解得 1 或 3 4 2 3 2 因此 当 0 1 时 结论成立 14 分 当 2 时 n显然不可能对任意n N N 恒成立 3 1 4 2 1 当 1 2 时 只要 n对任意n N N 恒成立 3 4 2 只要有 即可 解得 1 3 4 2 3 2 因此当 1 时 结论成立 3 2 综上可得 实数 的取值范围为 0 16 分 3 2 盐城二模 在数列中 且对任意的 成等比数列 n a 1 1a kN 21221 kkk aaa 其公比为 k q 1 若 求 2 k qkN 13521k aaaa 2 若对任意的 成等差数列 其公差为 设 kN 22122 kkk aaa k d 1 1 k k b q 求证 成等差数列 并指出其公差 k b 若 试求数列的前项和 1 2d k dk k D 解 1 因为 所以 故是首项为 1 公比为 4 的等比数列 2 k q 21 21 4 k k a a 13521 k a a aa 所 以 13521 1 41 41 1 43 k k k aaaa 4 分 注 讲评时可说明 此时数列也是等比数列 且公比为 2 k a 用心 爱心 专心20 2 因为成等差数列 所以 22122 kkk aaa 21222 2 kkk aaa 而 所以 21 222211 k kkkk k a aaaq q 1 1 2 k k q q 则 7 分 1 1 1 k k k q q q 得 所以 即 1 11 1 111 k kkk q qqq 1 11 1 11 kk qq 1 1 kk bb 所以是等差数列 且公差为 k b 1 9 分 因为 所以 则由 解得 1 2d 32 2aa 2 232 12aaa 或 10 分 2 2a 2 1a 当时 所以 则 即 得 2 2a 1 2q 1 1b 1 1 1 k bkk 1 1 k k q 所以 1 k k q k 则 2 21 2 21 1 k k ak ak 21213 211 21231 kk k kk aaa aa aa