新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题

1 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 基础知识点 基础知识点 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 那么abc 222 abc 勾股定理的由来 勾股定理也叫商高定理 在西方称为毕达哥拉斯定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边 称为勾 较长的直角边称为股 斜边称为弦 早在三千多年前 周朝数学家商高就提出了 勾三 股四 弦五 形式的 勾股定理 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为 两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以 22 1 42 2 Sabcabc 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三角形 对于锐角三角形和钝角三角形的 三边就不具有这一特征 因而在应用勾股定理时 必须明了所考察的对象是直角三角形 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 则 ABC 90C 22 cab 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际 22 bca 22 acb 问题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜边abc 222 abc c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三角形的 可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与较长边的平方作比较 若它们相等时 以 22 ab 2 cab 为三边的三角形是直角三角形 若 时 以 为三边的三角形是钝角三角形 若 c 222 abc abc 222 abc 时 以 为三边的三角形是锐角三角形 abc 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 满足abc 222 abc abc 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是为斜边 222 acb abcb 勾股定理的逆定理在用问题描述时 不能说成 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时 这个三角形是直角 三角形 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 为正整数时 称 222 abc abcab 为一组勾股数c 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 2 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾股定理 时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理进行计算 应 设法添加辅助线 通常作垂线 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行求解 勾股定理逆定理的应用 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形 在具体推算过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的 结论 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理判定一 个三角形是直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者相辅相成 完成对问题的解决 常见图形 A B C 30 D C BA A DB C 1010 互逆命题的概念 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫 做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 3 题型一 直接考查勾股定理题型一 直接考查勾股定理 例 在中 ABC 90C 已知 求的长 已知 求的长6AC 8BC AB17AB 15AC BC 题型二 利用勾股定理测量长度题型二 利用勾股定理测量长度 例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 例题 2 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长是 0 5 米 把芦苇拉到 岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并求水池的深度 AC 题型三 勾股定理和逆定理并用题型三 勾股定理和逆定理并用 例题 3 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且那么 DEF 是直角三角形ABFB 4 1 吗 为什么 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 题型四 利用勾股定理求线段长度题型四 利用勾股定理求线段长度 例题 4 如图 4 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边 上的点 F 求 CE 的长 4 题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直 例题 5 有一个传感器控制的灯 安装在门上方 离地高 4 5 米的墙上 任何东西只要移至 5 米以内 灯就自动打开 一个身高 1 5 米的学生 要走到离门多远的地方灯刚好打开 题型六 旋转问题 题型六 旋转问题 例题 6 如图 P 是等边三角形 ABC 内一点 PA 2 PB PC 4 求 ABC 的边长 2 3 变式 如图 ABC 为等腰直角三角形 BAC 90 E F 是 BC 上的点 且 EAF 45 试探究间的关系 并说明理由 222 BECFEF 题型七 关于翻折问题题型七 关于翻折问题 例题 7 如图 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸片沿 AE 折叠 点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处 求 BE 的长 变式 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿直线 AD 翻折 点 C 落在点 C 的位置 BC 4 求 BC 的长 5 题型八 关于勾股定理在实际中的应用 题型八 关于勾股定理在实际中的应用 例 1 如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇 点 A 处有一所中学 AP 160 米 点 A 到公路 MN 的距离为 80 米 假使拖拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪音影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到 影响 请说明理由 如果受到影响 已知拖拉机的速度是 18 千米 小时 那么学校受到影响的时间为多少 题型九 关于最短性问题题型九 关于最短性问题 例 5 如右图 1 19 壁虎在一座底面半径为 2 米 高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处 它发现在自己的正上方油罐上 边缘的 B 处有一只害虫 便决定捕捉这只害虫 为了不引起害虫的注意 它故意不走直线 而是绕着油罐 沿一条 螺旋路线 从背后对害虫进行突然袭击 结果 壁虎的偷袭得到成功 获得了一顿美餐 请问壁虎至少要爬行多少路 程才能捕到害虫 取 3 14 结果保留 1 位小数 可以用计算器计算 变式 变式 如图为一棱长为 3cm 的正方体 把所有面都分为 9 个小正方形 其边长都是 1cm 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm 则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点 最少要花几秒钟 A P QM N 6 2 种盛饮料的圆柱形杯 如图 测得内部底面半径为 2 5 高为 12 吸管放进杯里 杯口外面至少要露出 4 6 问吸管要做 3 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 4 在一棵树的 10 米高处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另一只爬到树顶 D 后直接跃 到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则这棵树高 米 5 如图是一个三级台阶 它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个台阶两个相对的端点 A 点 有一只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是 二 选择题 1 已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25B 14C 7D 7 或 25 2 Rt 一直角边的长为 11 另两边为自然数 则 Rt 的周长为 A 121B 120C 132D 不能确定 3 如果 Rt 两直角边的比为 5 12 则斜边上的高与斜边的比为 A 60 13B 5 12C 12 13D 60 169 4 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24cm2B 36cm2C 48cm2D 60cm2 5 等腰三角形底边上的高为 8 周长为 32 则三角形的面积为 A 56B 48C 40D 32 6 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 A 450a 元B 225a 元C 150a 元 D 300a 元 7 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为