教案大学物理

教教 案案 大大 学学 物物 理理 05 05 春春 大学物理教研室大学物理教研室 第一次第一次 引 本学期授课内容 各篇难易程度 各章时间安排 考试时间及形式等 绪绪 论论 1 物理学的研究对象 2 物理学的研究方法 3 物理学与技术科学 生产实践的关系 第一章第一章 质点运动学质点运动学 教学目的教学目的 理解质点模型和参照系等概念 掌握位置矢量 位移 速度 加速度等描述质点运动和运动 变化的物理量 能借助于直角坐标系熟练地计算质点在平面内运动时的速度 和加速度 能熟练地计算质点作圆周运动时的角速度 角加 速度 切向加速度和法向加速度 重点 难点重点 难点 本章重点 位置矢量 位移 速度 加速度 圆周运动时的角速度 角加速度 切向加速度和法向加速度 本章难点 切向加速度和法向加速度 教学过程教学过程 描述质点运动和运动变化的物理量 2 学时 典型运动 圆周运动 2 学时 相对运动 2 学时 讲 授 一 基本概念一 基本概念 1 质点 2 参照系和坐标系 1 直角坐标系 如图 1 1 2 自然坐标系 如图 1 2 3 时刻与时间 二 描述质点运动的基本量二 描述质点运动的基本量 1 位置矢量 表示运动质点位置的量 如图 1 1 所示 1 1 kjirzyx 矢径r的大小由下式决定 1 2 222 zyxr r 矢径r的方向余弦是 1 3 r z r y r x cos cos cos 运动方程运动方程 描述质点的空间位置随时间而变化的函数 称为运动方程 可以 图 1 2 n 图 1 2 n x y z O 图 1 1 r 写作 x x t y y t z z t 1 4a 或 r r t 1 4b 轨道方程轨道方程 运动质点在空间所经过的路径称为轨道 质点的运动轨道为直线 时 称为直线运动 质点的运动轨道为曲线时 称为曲线运 动 从式 1一4a 中消去t以后 可得轨道方程 例 设已知某质点的运动方程为 0 6 cos3 6 sin3 z ty tx 从x y两式中消去t后 得轨道方程 0 9 22 zyx 2 位移 表示运动质点位置移动的量 如图1 3所示 1 5 rrr AB AB 在直角坐标系中 位移矢量的正交分解式为r 1 6 kjirzyx 式中 是 AB xxx AB yyy AB zzz 的沿坐标轴的三个分量 r 位移的大小由下式决定r 1 7 222 zyx r 位移的方向余弦是r x y z O 图 1 3 位 移 1 r 2 r r 1 8 r x cos r y cos r z cos 路程路程 路程是质点在运动过程中实际通过的路径的长度 路程是标量 3 速度 描述质点运动的快慢和方向的量 1 平均速度 1 9 t r v 2 瞬时速度 速度 1 10 dt d t t rr v 0 lim 直角坐标系中 速度矢量也可表示为 1 11 kjiv zyx vvv 其中 分别是速度v的沿坐标轴的三个分量 dt dx vx dt dy vy dt dz vz 速度 的大小由下式决定v 1 12 222 zyx vvv vv 速度 的方向余弦是v 1 13 v vx cos v vy cos v vz cos 速率速率 速率等于质点在单位时间内所通过的路程 平均速率 1 14 t s v 瞬时速率 简称速率 1 15 v r tdt ds t s v tt 00 limlim 4 加速度 描述质点速度改变的快慢和方向的量 1 平均加速度 1 16 t a v 2 瞬时速度 速度 1 17 2 2 0 lim dt d dt d t t rvv a 在直角坐标系中 加速度矢量a的正交分解式为 1 18 kjia zyx aaa 其中 分别是加速度a的沿坐 2 2 dt xd dt dv a x x 2 2 dt yd dt dv a y y 2 2 dt zd dt dv a z z 标轴的三个分量 第二次第二次 三 几种典型的质点运动三 几种典型的质点运动 1 直线运动 1 匀变速直线运动 略 2 变加速直线运动 例 1 1 潜水艇在下沉力不大的情况下 自静止开始以加速度 铅直下沉 A 为恒量 求任一时刻 的速度和运动方程 t eAa t 解 以潜水艇开始运动处为坐标原点O 作铅直向下的坐标轴Ox 按 加速度定义式 有 或 dt dv a adtdv 今取潜水艇开始运动的时刻作为计时零点 按题意 时 0 t 将代入上式 积分 0 x0 v t eAa vt tdt eAdv 00 由此可求得潜水艇在任一时刻 的速度为t 1 t eAv 再由直线运动的速度定义式 将上式写作dtdxv 或 1 t eA dt dx dteAdx t 1 根据上述初始条件 对上式求 定积分 有 O A B 1 V 2 V 1 V 2 V V 图 1 4 t t x dteAdx 0 0 1 由此便可求得潜水艇在任一时刻 的位置坐标 即运动方程为tx Ate A x t 1 2 抛体运动 略 3 圆周运动 1 匀速圆周运动 vVV 21 其加速度为 tdt d t vv a 0 lim 加速度的大小 t a t v 0 lim 从图1 4中看出 Rv rv rv R v 所以 tR v t a tt rv 00 limlim 因v和R均为常量 可取出于极限号之外 得 tR v a t r 0 lim 因为时 所以0 ts r R v t s R v tR v a tt 2 00 limlim r 故得 1 19 R v a 2 再讨论加速度的方向 加速度的方向是 0时的极限方向 由图1t v 一8可看出与间的夹角为 当 0时 这个角度趋于 即v P v 2 1 t 2 a与垂直 所以加速度a的方向是沿半径指向圆心 这就是读者所熟知的 P v 向心加速度 2 变速圆周运动 21 VV 如图1一 5所示的 这个角度也 可能随时间 改变 通常 将加速度a 分解为两个 分加速度 一个沿圆周 的切线方向 叫做切向加速度 用表示 只改变质点速度的大小 一个 t a t a 沿圆周的法线方向 叫做法向加速度 用表示 只改变质点速度的方 n a n a 向 即 1 20 nt aaa a的大小为 22 nt aaa O A B 1 V 2 V 1 V 2 V V 图 1 5 式中 R v an 2 dt dv at a的方向角为 t n a a 1 tg 3 圆周运动的角量描述 角坐标 角位移 1 2 角速度 dt d R dt d R dt ds v 角加速度 2 2 dt d dt d 2 22 R R R R v an R dt d R dt dv at 4 曲线运动 如果质点在平面内作一般的曲线运动 其加速度也可分解为a 1 39 nt aaa 上式中 为切向加速度 为法向加速度 其量值分别为 t a n a 1 22 dt dv at 2 v an 例 1 2 一质点沿半径为R的圆周运动 其路程用圆弧s表示 s随时 间t的变化规律是 其中 都是正的常数 求 1 时刻质 2 0 2 t b tvs 0 vbt 点的总加速度 2 总加速度大小达到 值时 质点沿圆周已运行的圈数 b 解 1 由题意可得质点沿圆周运动的速率为 btvt b tv dt d dt ds v 0 2 0 2 再求它的切向和法向加速度 切向加速度为 bbtv dt d dt dv at 0 法向加速度为 R btv R v an 2 0 2 A B 1 2 图 1 6 于是 质点在 时刻的总加速度大小为t 4 0 22 2 2 0222 1 btvbR R R btv baaa nt 其方向与速度间夹角为 Rb btv a a tg t n 2 0 2 总加速度大小达到 值时 所需时间 可由bt bbtvbR R a 4 0 22 1 求得 b v t 0 代入路程方程式 质点已转过的圈数 Rb v R b v b b v v R s N 42 2 1 2 2 0 200 0 第三次第三次 相对运动 习题 1 1 2 2 3434 5 5 6 6 8 8 1010 1111 本章作业本章作业 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 8 8 1 1 1111 本章小结本章小结 1 坐标系 直角坐标系 自然坐标系 2 四个基本量 位置 运动方程 位移 速度 加速度 3 圆周运动 角速度 角加速度 切向加速度和法向加速度 参考书参考书 程守珠 江之永 普通物理学 第五版 张三慧 大学物理学 第二版 赵近芳 大学物理学 第二版 第四次第四次 第二章第二章 质点动力学质点动力学 教学目的教学目的 掌握牛顿三定律及其适用条件 理解万有引力定律 了解力的种类 物理学量刚 惯性系与非惯性系 重点 难点重点 难点 本章重点 本章重点 牛顿运动定律的应用 本章难点 本章难点 变力作用下牛顿运动定律的应用 教学过程教学过程 牛顿定律 力的种类 惯性系与非惯性系败 2 学时 讲 授 一 牛顿运动定律 第一运动定律 第二运动定律 物体受到外力作用时 物体所获得的加速度的大小与合外 力的大小成正比 并与物体的质量成反比 加速度的方向 与合外力的方向相同 第三运动定律 应用第二定律时 应注意下述几点 1 瞬时性 方向性 叠加性 2 分量式 直角坐标系 2 4a zzyyxx maFmaFmaF 或 2 4b 2 2 2 2 2 2 dt zd mF dt yd mF dt xd mF zyx 圆周轨道或曲线轨道 2 5 dt dv mma v mma tt nn F F F F 2 式中和分别代表法向合力和切向合力 是曲线在该点的曲率半径 n F F t F F 3 是物体所受的一切外力的合力 但不能把ma误认为外力 F 二 力的种类二 力的种类 1 常见的力 重力 弹性力 摩擦力 2 四种自然力 现代物理学按物体之间的相互作用的性质把力分为四类 万有引力 电磁力 强相互作用和弱相互作用 三 力学的单位制和量纲 了解 三 力学的单位制和量纲 了解 四 惯性系和非惯性系 了解 四 惯性系和非惯性系 了解 例题例题 2 13 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中 设子弹所受阻力与速度反 向 大小与速度成正比 比例系数为k 忽略子弹的重力 求 1 子弹射入沙土后 速度随时间变化的函数式 2 子弹进入沙土的最大深度 2 14 公路的转弯处是一半径为 200m 的圆形弧线 其内外坡度是按车速 60km h设计的 此时轮胎不受路面左右方向的力 雪后公路上结冰 若汽车以40km h 的速度行驶 问车胎与路面间的摩擦系数至少多大 才能保证汽车在转弯时不至滑出公路 2 15 质量为m的小球 在水中受的浮力为常力F 当它从静止开始沉降时 受到水的粘滞阻力为f kv k为常数 证明小球在水中竖直沉降 的速度值v与时间t的关系为V 式中t为从沉降开 1 mkt e k Fmg 始计算的时间 本章作业本章作业 2 7 8 9 本章小结本章小结 第二定律分量式 1 直线运动 2 2 2 2 2 2 dt zd mF dt yd mF dt xd mF zyx 2 圆周轨道或曲线轨道 dt dv mma v mma tt nn F F F F 2 参考书参考书 程守珠 江之永 普通物理学 第五版 张三慧 大学物理学 第二版 赵近芳 大学物理学 第一版 第五次第五次 第三章第三章 功和能功和能 教学目的教学目的 掌握功的概念 能计算直线运动情况下变力的功 掌握保守力作功的特点及势能概念 会计算势能 掌握质点的动能定理并能用它分析 解决质点在平面内运动 时的简单力学问题 掌握机械能守恒定律及适用条件 掌握运用它分析问题的思 想方法 能分析简单系统在平面内运动的力学问题 重点 难点重点 难点 本章重点 功 势能 动能定理 机械能守恒定律 本章难点 变力的功 动能定理 机械能守恒定律 教学过程教学过程 1 功的概念 动能定理 2 学时 2 势能 功能原理 机械能守恒定律 2 学时 讲 授 一 功和功率一 功和功率 1 功的定义 1 恒力的功 图3 1 A F s A 3 1 sF cos 注 功有正负 当 时 功为正值 也就是力对物体作正功 当 2 时 功为零 也就是力对物体不作功 当 时 功为负值 也 2 2 就是力对物体作负功 或者说 物体反抗外力而作功 功本身是标量 s F s F 图 3 1 没有方向的意义 2 变力的功 图3 2 在曲线运动中 我们必须知道在曲线路程上每一位移元处 力和位移 i s i F 元之间的夹角 所以微功和总功A分别为 i s i A iiiii sFA cos sF i iii i ii sFA cossF 或把总功用积分式表示为 3 2 b a zyx b a b a dzFdyFdxFdsdFA cossF 式中a b表示曲线运动的起点和终点 3 合力的功 假如有许多力同时作用于同一物体 我们不难证明合力的功等于各分力 的功的代数和 在国际单位制中 功的单位是牛顿 米 N m 称为焦耳 符号J 在工程制中 是千克力 米 没有专门名称 4 功率 平均功率 t A N 瞬时功率 dt dA t A N t 0 lim 或 a b F ds 图 3 2 3 3 vF vF t s FN t coscoslim 0 上式说明瞬时功率等于力的速度方向的分量和速度大小的乘积 在国际单位制中 功率的单位是焦耳 秒 1 J s 1 称为瓦特 符号 W 例1 一质点受力 SI 作用 沿X轴正方向运动 从x 0到iF 2 3x x 2m过程中 力作功为 JF 例2 质量为m 0 5kg 的质点 在XOY坐标平面内运动 其运动方程为 x 5t y 0 5t2 SI 从t 2s 到t 4s 这段时间内 外力对质点作 的功为 J 二 动能 动能定理二 动能 动能定理 1 动能 2 2 1 mvEk 2 质点的动能定理 1 推导 3 4 b a ab mvmvdsFA 22 2 1 2 1 cos 2 合外力对物体所作的功等于物体的动能的增量 这一结论称为动能 定理 3 系统的动能定理 1 系统内力 系统外力 2 系统的动能定理的形式 3 5 0kk EEA 和分别表示系统在终态和初态的总动能 A表示作用在各物体上所有 k E 0k E 的力所作的功的总和 第六次第六次 三 保守力作功 势能 1 重力作功的特点 mgdhdsmgdsddA coscosPsG 式中就是在位移元ds中物体上升的高度 所以重 cos cos dsdsdh 力所作的功是 b a h h ba mghmghmgdhdAA 可见物体上升时 重力作负功 A 0 物体下降时 0 a h 从计算中可以看出重力所作的功只与运动物体的始末位置 和 a h b h 有关 而与运动物体所经过的路径无关 重力势能重力势能 mghEp pbpaba EEmghmghA 或 3 6 papb EEA 上式说明 重力的功等于重力势能的增量的负值 2 弹性力的功 弹性势能 弹性力也具有保守力的特点 我们以弹簧的弹性力为例来说明 根据胡克定律 在弹性限度内 弹簧的弹性力F的大小与弹簧的伸长量x 成正比 即 F kx a b h1 h2 h mg ds 图 3 3 k称为弹簧的倔强系数 因弹性力是一变力 所以计算弹性力作功时 须用 积分法或图解法 得 pbpaba EEkxkxA 22 2 1 2 1 弹性势能弹性势能 mghEp 则 3 7 papb EEA 和重力作功完全相似 上式说明 弹性力所作的功等于弹性势能的增量的负 值 3 万有引力的功 引力势能 推导得 11 0 ba rr MmGA 或 3 8 pb ba pa E r Mm G r Mm GE 00 通常 取m离M为无限远时的势能为零势能参考位置 亦即在上式中令 rb 0 这样 p E 引力势能引力势能 3 9 a pa r Mm GE 0 四 功能原理四 功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 1 功能原理 现在我们对系统的动能定理 0kk EEA 作进一步的讨论 对于几个物体组成的系统来说 上式中A包括一切外力的 功和一切内力的功 内力之中 又应将保守内力和非保守内力加以区分 所 以式 3一10 0kk EEAAA 非保守内力保守内力外力 式 3一10 是适用于一个系统的动能定理 而 3 11 0pp EEA 保守内力 至于非保守内力的功 可以是正功 例如系统内的爆炸冲力 也得 00 kkpp EEEEAA 非保守内力外力 或 3 12 00pkpk EEEEAA 非保守内力外力 上式说明 系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和 通常 称为系统的功能原理 2 机械能守恒定律 显然 在外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零 或根本没有外力和 非保守内力的作用 的情形下 由上式得 恒量 3 13 00pkpk EEEE 亦即系统的机械能保持不变 这一结论称为机械能守恒定律 例 3 2 学生自学 例 3 4 如图 见教材 有一小车沿圆形无摩擦轨道经过 A B C D各点 若轨道的圆心为O 半径为R COD 60 小车质量为m 求小车在D点所受的轨道压力N gRvA5 解 要求正压力 应采用牛顿第二定律 正压力在半径方向 因此只须 用法向分量式 设过D点时小车的速率为v 则法向加速度为 小车除 R v2 受压力N外 还受重力作用 取向心的方向为法线的正向 得牛顿第二定 律的法向分量式为 R v mNmg 2 cos 欲求N 应先求速率v 因重力是保守力 正压力不作功 摩擦力可忽 略 故运动中机械能应守恒 因已知 故选取小车过A D二点时为二 A v 状态 并取过A点的水平面为参照面 则在状态A 物体组 小车与地球 的动能为 势能为零 在状态D 动能为 势能为 2 2 1 A mv 2 2 1 mv cos1 mgR 由机械能守恒定律 得 cos1 2 1 2 1 22 mgRmvmvA 在上二式中消去v后求N 得 cos32 2 mgmg R v mN A 将和的值代入上式后化简 得 A v mgN 2 3 例 3 5 如图所示 一钢制滑板的雪橇满载木材 总质量 当雪tm5 橇在倾角的斜坡冰道上从高度h 10m 的A点滑下时 平顺地通过坡 10 底B 然后沿平直冰道滑到C点停止 设雪橇与冰道间的摩擦系数为 求雪橇沿斜坡下滑到坡底B的过程中各力所作的功和合外力的功 03 0 解 雪橇沿斜坡AB下滑时 受重力 斜面的支承力和冰面对mgG 1 N 雪橇的滑动摩擦力作用 方向如图所示 的大小为 1r f 1r f 下滑的位移大小为 cos 11 mgNfr sinhAB 按功的定义式 3 1 由题设数据 可求出重力对雪橇所作的功为 J 104 9 m10sm8 9kg50000cos sin sin 5 2 mghhmgAW 斜坡的支承力对雪橇所作的功为 1 N 090cos sin cos 1 hmgAN 摩擦力对雪橇所作的功为 1r f J 108 34 ctg10m10sm8 9kg500003 0 ctg180cos sin cos 4 2 1 mghhmgfr 在下滑过程中 合外力对雪橇作功为 J 1007 4 J1034 8 0J109 4 545 11 r fNW AAAA 本章作业本章作业 3 7 8 10 本章小结本章小结 1 基本概念 功和功率 势能和动能 2 基本原理 质点的动能定理 b a ab mvmvdsFA 22 2 1 2 1 cos 功能原理 00pkpk EEEEAA 非保守内力外力 机械能守恒定律 恒量 00pkpk EEEE 参考书参考书 程守珠 江之永 普通物理学 第五版 张三慧 大学物理学 第二版 赵近芳 大学物理学 第一版 第七次第七次 第四章第四章 动动 量量 教学目的教学目的 掌握的冲量概念 会计算变力的冲量 掌握质点动量定理 并能用它分析 解决质点在平面内运动 时的简单力学问题 掌握动量守恒定律及适用条件 掌握运用它分析问题的思想 方法 重点 难点重点 难点 本章重点 冲量 动量定理 动量守恒定律 碰撞 本章难点 变力的冲量 动量定理 动量守恒定律 教学过程教学过程 1 冲量 动量定理 2 学时 2 动量守恒定律 碰撞 2 学时 讲 授 一 冲量一 冲量 动量动量 动量定理动量定理 1 冲量 1 恒力的冲量 I F t2 t1 4一1 2 变力的冲量 如果外力F是一变力 则把力的作用时间t2 t1分成许多极小的时间间 隔 在时间中的冲量为 i t i t iii t FI 而在时间t2 t1中的冲量为 i ii t FII 如果所取的时间为无限小 上式可改写为积分式 i t 4一2 2 1 t t dtFI 要注意到 与上式相应 在各坐标轴方向的分量式是 4一3 12 12 12 2 1 2 1 2 1 ttFdtFI ttFdtFI ttFdtFI z t t zz y t t yy x t t xx 2 动量 动量定理 1 动量 运动量 4 4 Vmp 2 动量定理 可以证明 在合外力F是变力 物体作一般运动的情况下 有 4 5 2 1 12 t t mmdtvvFI 在坐标轴方向的三个相应的分量式是 4 6 zz t t zz yy t t yy xx t t xx mvmvdtFI mvmvdtFI mvmvdtFI 12 12 12 2 1 2 1 2 1 例 4 1 一质量为 2 5 克的乒乓球以速度米 秒飞来 用板推挡后 10 1 v 又以 20 米 秒的速度飞出 设推挡前后球的运动方向与板面的夹角分别 2 v 为 45 和 60 如图所示 a b 45 60 v1 v2 45 60 p1 p2 I 图例 4 1 1 画出板对球的平均冲力的方向 2 求乒乓球得到的冲量大小 3 如撞击时间是 0 01 秒 求板施加于球上的平均冲力 解 1 由动量定理 得 12 vvFmmt 12 vFvmtm 可以画出冲量方向如图 平均冲力的方向与方向相同 t Ft F 2 将初 末两状态动量向x轴作分量 kgm s 1 2 11 108 145cos mvp x kgm s 1 2 11 108 145sin mvp y kgm s 1 2 22 105 260cos mvp x kgm s 1 2 22 103 460sin mvp y kgm s 1 2 12 107 0 xxx PPp kgm s 1 2 12 101 6 yPyPpy kgm s 1 222 1014 6 yx PPP 由动量定理 Pmmt 12 vvF N14 6 t P F 第八次第八次 三 动量守恒定律三 动量守恒定律 1 两个物体相互正碰 高中 按动量定理 tmm 110111 fvv tmm 220222 fvv 牛顿第三运动定律指出 f1 f2 所以 以上两式相加后得 2021012211 vvvvmmmm 容易看出 碰撞前后 两物体的动量之和保持不变 2 n个物体组成的系统 按牛顿第二运动定律和第三运动定律 可以证明 1 系统内一切内力 的矢量和等于零 2 系统所受外力的矢量和等于系统总动量的时间变 化率 即 4 8 i fv ii m dt d 式中为系统的总动量 是系统所受外力的矢量和 ii m v i f 如果该系统不受外力或所受外力的矢量和为零 即 0 从式 i f 4 8 可知 0 ii m dt d v 于是 恒量 在 0的条件下 4 9 ii m v i f 这一结论称为动量守恒定律 在系统不受外力或外力矢量和为零时 系 统的总动量守恒 3 分量式 0 0 0 2211 2211 2211 条件下在恒量 条件下在恒量 条件下在恒量 iznznzz iynynyy ixnxnxx fvmvmvm fvmvmvm fvmvmvm 4 10 4 理解 1 分方向守恒 2 条件 外力与内力比较可忽略 例4 4 一长为l 质量为M的小车放置在平直轨道上 车的A端站有一质 量为m的人 人和小车原来都静止不动 如果这人从车的A端走 到B端 不计小车与轨道之间的摩擦 求小车和人各自的位移为 多少 解 当人开始启步时 将人和小车视作一系统 车对人作用的向前摩擦力 方向向左 向上支承力和人对车作用的向后摩擦力 方向向右 向下压力 都是系统内的人和车相互作用的内力 系统所受外力有 人的重力 车的重力G和地面对车的支承力N 它们沿水平方向 A G 的分量为零 因而 沿水平方向 系统动量守恒 今取人走动前 B端 所在处为坐标原点O x轴水平向右 人走动前 人和车原为静止 速 度均为零 走动后 设人和小车相对于地面的速度分别为v和V 假设 它们均与x轴正向同方向 则由动量守恒定律的表达式 4 10 有 00VMvmMm 于是得 v M m V 式中 负号表示人与小车运动的方向相反 按直线运动的速度定义 可得时间dt内的位移为dx vdt 因此dtdxv 小车和人在时间dt内的位移分别为dx车 Vdt和dx人 vdt 将式 两边乘 dt 即得 dx车 人 dx M m 设人从A端走到B端时 小车的B端坐标从零变为x 则人的坐标从l相应 地变为x 积分上式 车 人 x dx 0 x ldx M m 得 lx M m x 解出上式中的x 得小车相对于地面的位移为 mM ml x 人相对于地面的位移 即末位置与初位置的坐标之差 为 mM Ml l mM ml lxx 负号表示人的位移方向与x轴反向 四 碰四 碰 撞撞 如果两个或两个以上的物体相遇 相遇时 物体之间的相互作用仅持续 极为短暂的时间 这种相遇就是碰撞 1 分类 1 弹性碰撞 2 非弹性碰撞 3 完全非弹性碰撞 2 对心碰撞 正碰 如果两球碰撞前的速度在两球的中心连线上 那么 碰撞时相互作用的 冲力和碰撞后的速度也都在这一连线上 这种碰撞称为对心碰撞 或称正 碰撞 例4 5 设A B两球的质量相等 B球静止在水平桌面上 A球在桌面上 以向右的速度冲击B球 两球相碰后 A球沿与原来 1 1 sm30 v 前进的方向成角的方向前进 B球获得的速度与A球原来 30 运动方向成角 若不计摩擦 求碰撞后A B两球的速率 45 和各为多少 1 v 2 v 图例4 5 解 将相碰时的两球看作一个系统 碰撞时的冲力为内力 系统仅在铅直方 向受重力和桌面支承力等外力的作用 它们相互平衡 因而 系统所受 外力的矢量和为零 于是动量守恒 由式 4 10 有 211 0vmvmmvm BABA 沿的方向取x轴 与它相垂直的方向取y轴 见图 两轴都位于水平桌面 1 v 上 于是上述矢量式的分量式为 coscos0 211 vmvmvm BAA A B A B x y v1 mAmB v1 v2 sinsin00 21 vmvm BA 以 代入上两式 联立求解 由题设 BA mm 30 45 1 1 sm30 v 得 1 1 1 1 sm0 22 13 sm302 13 2 v v 1 1 1 2 sm 5 15 13 sm302 13 2 v v 例 4 8 利用完全非弹性碰撞原理可以测定高速飞行子弹的速率 如 图所示装置就是测定子弹速率的原理图 质量为M的滑块静 1 v 止于水平面上 轻弹簧处于自然状态 因此坐标原点选在滑块 视作质点 处 现求质量为m的子弹的飞行速率 1 v 图例 4 8 解 子弹射入滑块过程可以认为是两个质点之间的完全非弹性碰撞过程 子弹进入滑块后一起以速度沿水平方向运动 列出动量守恒定律表达V 示 vMmmv 1 碰撞后 m M 以速度沿X正方向运动 压缩弹簧 m M 的动V 能转换成系统的弹性势能 忽略滑块与水平面之间的摩擦力时 系统的 机械能守恒 列出方程 22 2 1 2 1 kxvMm x是弹簧的最大压缩量 可以通过测量获得 联立上述两式解得 x m kMm v 1 X k v1 m M O 若 kg kg N m m 代01 0 m99 0 M900 k1 0 x 入上述数据得 m s 300 1 v 例 4 9 如图所示 设有轻绳 长为l 上端固定 下端悬质量为M的重 砂箱 质量为m的子弹水平射入砂箱 并停留砂内 和砂箱一 起 最远摆到悬绳与竖直线成角的位置 若空气阻力可被忽 略 子弹 砂箱均可作质点处理 求子弹的速度 学生自学 v 本章作业本章作业 4 8 13 14 本章小结本章小结 1 基本概念 冲量 动量 2 基本原理 动量定理 2 1 12 t t mmdtvvFI 动量守恒定律 0 0 0 2211 2211 2211 条件下在恒量 条件下在恒量 条件下在恒量 iznznzz iynynyy ixnxnxx fvmvmvm fvmvmvm fvmvmvm 参考书参考书 程守珠 江之永 普通物理学 第五版 张三慧 大学物理学 第二版 赵近芳 大学物理学 第一版 第九次第九次 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动 教学目的教学目的 掌握刚体绕定轴转动定律 理解力矩 转动惯量 转动动能 等概念 理解动量矩 角动量 概念 通过质点在平面内运动和刚体 绕定轴转动情况 理解动量矩守恒定律及其适用条件 能应 用动量矩守恒定律分析 计算有关问题 重点 难点重点 难点 本章重点 本章重点 转动定律 力矩 转动惯量 转动动能 转动动能 角 动量 动量矩守恒定律 本章难点 本章难点 转动定律 动量矩守恒定律应用 教学过程教学过程 1 力矩 转动定律 转动惯量 2 学时 2 转动动能 动量矩 动量矩守恒定律 2 学时 3 习题课 2 学时 讲 授 一 刚体的定轴转动一 刚体的定轴转动 1 刚体概念 2 刚体运动分类 1 平动 2 定轴转动 3 平行平面运动 4 定点转动 5 一般运动 3 定轴转动 1 轴 2 转动平面 3 角量描述 4 复习圆周运动 例 5 1 一砂轮在电动机驱动下 以每分种 1800 转的转速绕定轴作逆时 针转动 如图所示 关闭电源后 砂轮均匀地减速 经时间 s 而停止转动 求 1 角加速度 2 到停止转动15 t 时 砂轮转过的转数 3 关闭电源后s 时砂轮的角速度10 t 以及此时砂轮边缘上一点的速度和加速度 设砂轮的半径为 mm 250 r 解 1 选定循逆时针转向的角量取正值 见图 则由题设 初角速度为正 其值为 11 0 srad 60srad 60 1800 2 按题意 在s 时 末角速度 由匀变速转动的公式得 15 t0 12 1 0 srad57 12srad 4 s15 srad 600 t 为负值 即与异号 表明砂轮作匀减速转动 0 2 砂轮从关闭电源到停止转动 其角位移及转数N分别为 rad 450 s 15 srad 4 2 1 s15srad 60 2 1 221 2 0 tt 转 225 rad 2 rad 450 2 N 3 在时刻s 时砂轮的角速度是10 t 11 21 0 srad 8 62srad 20 s10 srad 4 srad 60 t 的转向与相同 0 在时刻s 时 砂轮边缘上一点的速度 的大小为10 tv 11 sm 7 15srad 20m25 0 rv 的方向如图所示 相应的切向加速度和法向加速度分别为v 22 sm14 3 srad 4 m25 0 rat 22212 sm1087 9 srad 20 m25 0 ran 边缘上该点的加速度为 的方向和 的方向相反 为什么 nt aaa t av 的方向指向砂轮的中心 的大小为 n aa 2222222 22 sm1088 9 sm1087 9 sm14 3 nt aaaa 的方向可用它与 所成的夹角表示 则av 18 90 sm14 3 sm1088 9 arctgarctg 2 22 t n a a 二 力矩二 力矩 转动定律转动定律 1 力矩 1 力矩的定义 M Fd 5 1 2 5 2 sinFrM 3 力矩矢量式 一般式 M r F 5 3 2 转动定律 一个可绕固定轴转动的刚体 当它所受的合外力矩 对该轴而言 等于零时 它将保持原有的角速度不变 原来静止的继续静止 原在转动的则作匀角速转动 这就是转动刚体的第一定律 1 内容 5 5 JM 2 推导 如图5 6所示 根据牛顿第二运动定律 1 iiii m afF 法向和切向分量的方程如下 2 2 coscos iiiniiiii rmamfF 3 iiitiiiii rmamfF sinsin 式中 和 分别是质点P的法向加速度和切向加速度 我们得 in a 2 i r it a i r 到 4 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 式 4 左边的第一项是外力Fi对转轴的力矩 第二项是内力fi对转轴的力矩 同理 对刚体中全部质点都可写出和式 4 相当的方程 把这些式子 全部相加 则有 5 sinsin 2 iiiiiiii rmrfrF O P ri fi Fi i i 图 5 6 推导转动定律用图 因为等于零 这样 式 5 左边只剩下第一项 按 iiir f sin iiir F sin 定义 它是刚体所受全部外力对转轴OZ的力矩的总和 也就是合外力矩 用M表示合外力矩 由刚体的形状和相对转轴的质量分布所决定 2 iir m 称为刚体的转动惯量 以J表示 则式 5 可写成 JM 证毕 3 转动惯量 1 定义 J 2 iir m 连续刚体 5 6b dVrdmrJ VV 22 2 理解 刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定转轴的分布情 况 3 计算 例 5 3 求质量为m 长为l的均匀细棒对下面 1 2 和 3 所给 定的转轴的转动惯量 1 转轴通过棒的中心并与棒垂直 2 转轴通过棒的一端并与棒垂直 3 转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直 4 定律应用 例 5 4 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮 绳的两端分别悬有质量为 和的物体 向上运动 向下运动 而滑轮顺时针旋转 按牛 22 TT 2 m 1 m 1 m 2 m 顿运动定律和转动定律可列出下列方程 amGT 111 amGT 222 IrTrT 12 式中是滑轮的角加速度 a是物体的加速度 滑轮 gmG 11 gmG 22 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 即 ra 从以上各式即可解得 mmm gmm r I mm gmm a 2 1 21 12 2 21 12 而 mmm gmmm agmT 2 1 2 1 2 21 21 11 mmm gmmm agmT 2 1 2 1 2 21 12 22 rmmm gmm r a 2 1 21 12 例 5 5 如图所示 质量为和的滑块用一根轻软绳系住后跨在定滑 1 m 2 m 轮的两侧 定滑轮的质量为 半径为R 与斜面之间光滑 3 m 2 m 接触 斜面角为 当沿斜面下滑时软绳带动定滑轮作转动 2 m 软绳与定滑轮之间无相对滑动 求滑块的加速度值与定滑轮的 角加速度 学生自学 第十次第十次 三 力矩的功三 力矩的功 转动动能转动动能 刚体定轴转动中的动能定理刚体定轴转动中的动能定理 机械能守恒机械能守恒 1 力矩的功 变力矩所作的功为 5 8 MdA 2 转动动能 2222 2 1 2 1 iiiik rmrmE 5 9 2 2 1 JEk 3 刚体定轴转动中的动能定理 5 10 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 JJJdMdA 合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 这一关系称为刚体 定轴转动中的动能定理 4 机械能守恒 例 5 8 如图所示 一根长为l 质量为m的匀质细杆 一端与光滑的水 平轴相连 可在竖直平面内转动 另一端固定一质量也是m的 小球 且小球的半径R 振动的位相比第一个振动的位相超前 或第一个振动的位相比第二个振动的 位相落后 练练 习习 一 填空题 一 填空题 1 有两个相同的弹簧 其倔强系数均为 k 1 把它们串联起来 下面挂一个质量为 m 的重物 此系统作谐振动 的周期为 2 把它们并联起来 下面挂一个质量为 m 的重物 此系统作谐振动 的周期为 2 一弹簧振子 弹簧的倔强系数为 0 32 N m 1 重物的质量为 0 02 kg 则这个振动系统的固有圆频率为 相应的振动周期为 3 一质点沿 x 轴作谐振动 振动范围的中心点为 x 轴的原点 已知周期 为 T 振幅为 A 1 若 t 0 时质点过 x 0 处且朝 x 轴正方向运动 则振动方程为 x 2 若 t 0 时质点过 x A 2 处且朝 x 轴负方向运动 则振动方程为 x 4 一谐振动用余弦函数表示 其振动曲线 如图所示 则此谐振动的三个特征量为 A 二 选择题 二 选择题 1 一质点作谐振动 周期为T 当它由平衡位置向X轴正方向运动时 从 二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 A T 4 B T 12 C T 6 D T 8 2 一质点作谐振动 振动方程为 当时间 t T 2 T 为 cos tAx 周期 时质点的速度为 A B sinA sinA C D cosA cosA t s O1310 741 10 5 x cm 3 当质点以频率 作简谐振动时 它的动能的变化频率为 A B 2 C 4 D 1 2 4 一简谐振动曲线如图所示 则振动 周期是 A 2 62s B 2 40s C 0 42s D 0 382s 本章作业本章作业 6 8 10 本章小结本章小结 1 基本概念 简谐振动 振幅 圆频率 周期 频率 位相 2 简谐振动 三个特征量 振幅 圆频率 初位相 三种描述 解析式 旋转矢量法 图象 三个特征 运动学特征 动力学特征 能量特征 两个同方向 同频率谐振动的合成 参考书参考书 程守珠 江之永 普通物理学 第五版 张三慧 大学物理学 第二版 赵近芳 大学物理学 第一版 第十四次第十四次 第七章第七章 波波 动动 教学目的教学目的 理解机械波产生的条件 掌握根据已知质点的谐振动方程建立 平面简谐波的波动方程的方法 以及波动方程的物理意义 理 解波形图线 了解波的能量传播特征及能流 能流密度等概念 理解惠更斯原理和波的叠加原理 掌握波的相干条件 能应用 相位差或波程差概念分析和确定相干波叠加后振幅加强和减弱 的条件 理解驻波及其形成条件 了解驻波和行波的区别 重点 难点重点 难点 本章重点 波动方程的建立 波能量及能流 能流密度 惠更斯原 O1 2 x m t s 4 理和波的叠加原理 波的相干 驻波 本章难点 波动方程的建立 波的相干 驻波 教学过程教学过程 1 1 机械波产生 平面简谐波的波动方程 2 学时 2 波的能量 能流密度 波的干涉 2 学时 3 驻波 声波 习题 2 学时 讲 授 一 机械波的产生和传播一 机械波的产生和传播 1 波种类 1 机械波 2 电磁波 2 机械波及其产生的条件 产生机械波的条件有两个 一个是波源 另一个是具有弹性和惯性的弹 性媒质 3 横波和纵波 4 波的形成和传播 略 5 波的频率 波长和波速 1 波速u 媒质的密度 弹性模量 波速 2 频率 周期T 3 波长 4 三者关系 7 1 u 6 波的几何描述 球面波和平面波 1 波阵面 2 波线 3 球面波和平面波 二 平面简谐波的表达式二 平面简谐波的表达式 1 平面简谐波概念 2 平面简谐波的表达式 7 2 cos u x tAy 这就是以速度 在 轴正向传播的平面简谐波的表达式 ux 由于和 7 5 式还可以写成另外一种形式 T 2 T vu 7 3 2cos x T t Ay 平面简谐波表达式的物理意义平面简谐波表达式的物理意义 1 若x 常数 2 若t 常数 3 x t都变化 沿坐标轴的负向传播的平面简谐波沿坐标轴的负向传播的平面简谐波 7 4 cos u x tAy 这就是所求的波动表达式 例7 2 在前例中 若波速为 1 振幅为m 圆频率为u 1 sm 001 0 A 在时 位于原点处质点的振动速度 注 1 srad 0 t 001 0 0 v 1 sm 意区别波的传播速度 与质点的振动速度 试求 uv 1 数值形式的波动表达式 2 s时 X轴上各质点的位移分布规律 1 t 3 m处质点的振动规律 5 0 x 解 1 为了求得波动表达式 应先求位于原点处质点的振动初位 相 这个质点的振动速度为 sin 001 0 sin ttA dt dy v 以初始条件时代入 得0 t 001 0 0 vv sin001 0 001 0 或 2 将各有关数值代人 1 式 得数值形式的波动表达式为 2 1 cos001 0 x ty 2 将秒代入 2 式 得该时刻Y轴上各质点的位移分布规律为 1 t xxy sin001 0 2 cos001 0 3 将m代入 2 式 得该处质点的振动规律为 5 0 x tty cos001 0 1 cos001 0 例7 3 有一以速率 沿 轴正向传播的平面简谐波 已知始点的ux 0 P 平衡位置的坐标为 振动规律为 试求此波的表达式 0 xtAy cos O P0P u x x0 X 解 在 轴上取任意点P 其坐标为 振动由传到P 需时xx 00 xxPP 0 P 故P处质点在 时刻的位移 等于在时间之前 即 u xx 0 ty u xx 0 t 时刻 处质点的位移 于是得 u xx 0 0 P cos 0 u xx tAy 这就是所求平面简谐波的表达式 第十五次第十五次 三 波的能量三 波的能量 能流密度能流密度 波的吸收波的吸收 1 波的能量 设有一平面简谐波在密度为的弹性媒质中沿X轴正向传播 其表达示 为 cos u x tAy 在媒质中坐标为 处取一体积元 其质量为 当波动传播到这xV Vm 个体积元 根据上式 其振动速度为 sin u x tA t y v 体积元的振动动能为 7 5 sin 2 1 2 1 2222 u x tAVvmEk 可以证明 体积元的弹性势能也为 7 6 sin 2 1 2 1 2222 u x tAVvmEp 体积元的总机械能为其动能和弹性势能之和 即 7 7 sin 222 u x tAVEEE pk 从以上三式看到 在行波传播过程中 体积元的动能和势能是同相的 而且是相等的 2 能量密度 1 波的能量密度w 7 8 sin 222 u x tA V W w 2 平均能量密度 在一个周期内的平均值 7 9 22 2 1 Aw 3 能流密度 1 能流 2 能流密度或波的强度 7 10 22 2 1 uAuwI 4 波的吸收 自学 例 7 7 一频率为 500Hz 的平面简谐波 在密度为kg m 3的空3 1 气中以m s 1的速度传播 到达耳时的振幅为cm 试求 耳340 u 4 10 A 中的平均能量密度及声强 解 平均能量密度为 222422 5002 1010 3 1 2 1 2 1 Aw 6 1041 6 12 smJ 声强I 即能流密度 的大小为 36 1018 2 3401041 6 uwI 12 smJ 四 惠更斯原理四 惠更斯原理 1 原理 于1690年提出 媒质中波动传到的各点 都可看作是发射子波的波源 在其后的任一时刻 这些子波的包迹就决定新的波阵面 这就是所谓的惠更 斯原理 2 定性解释现象 1 衍射 2 波的反射和折射 略 五 波的叠加原理五 波的叠加原理 波的干涉波的干涉 1 波的叠加原理 1 二波若在一区域相遇后再分开 其传播情况 如频率 波长 传 播方向等 与未相遇时相同 互不干扰