2012版高考数学 3-2-1精品系列专题05 平面向量（教师版）

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0505 平面向量 教师版 平面向量 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 4 平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量的 数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决 简单的力学问题与其他一些实际问题 考纲解读 考纲解读 要掌握平面向量的概念与性质 共线 模 夹角 垂直等 在选择填空 中要重视平面向量的几何运算 也要重视坐标运算 有时要自己建系 要注意三角形的重 心 垂心的向量判断 在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用 如平行 垂 直可转化向量的关系求解 近几年考点分布近几年考点分布平面向量在高考试题中 主要考查有关的基础知识 突出向量的工具 作用 平面向量的考查要求 第一 主要考查平面向量的性质和运算法则 以及基本运算 技能 考查学生掌握平面向量的和 差 数乘和数量积的运算法则 理解其直观的几何意 义 并能正确地进行运算 第二 考察向量的坐标表示 及坐标形势下的向量的线性运算 第三 经常和函数 曲线 数列等知识结合 考察综合运用知识能力 在近几年的高考中 每年都有两道题目 其中小题以填空题或选择题形式出现 考查了向量的性质和运算法则 数乘 数量积 共线问题与轨迹问题 大题则以向量形式为条件 综合考查了函数 三角 数列 曲线等问题 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 向量的概念 向量的基本定理考点一 向量的概念 向量的基本定理 例 1 如图 平面内有三个向量OA OB OC 其中与OA 与OB 的夹角为 120 OA 与OC 的夹角为 30 且且 OA OB 1 OC 32 若 OC OA OB R R 则 的值为 解解 过 C 作OA与OC的平行线与它们的延长线相交 可得平行四边形 由角 BOC 90 角 AOC 30 OC 32得平行四边形的边长为 2 和 4 2 4 6 用心 爱心 专心2 名师点睛名师点睛 了解向量的实际背景 掌握向量 零向量 平行向量 共线向量 单位 向 本题考查平面向量的基本定理 向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来后 求 相应的系数 也考查了平行四边形法则 考点二 向量的运算向量的运算 例 2 2 已知平面向量 2 2 1 mba 且a b 则ba32 A 2 4 B 3 6 C 4 8 D 5 10 解解 由a b 得 m 4 所以 ba32 2 4 6 12 4 8 故选 C 名师点睛名师点睛 掌握实数与向量的积运算 理解两个向量共线的含义 会判断两个向量 的平行关系 掌握向量的数量积的运算 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 并理 解其几何意义 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量积的运算 能运用数量积表示 两个向量的夹角 会用向量积判断两个平面向量的垂直关系 例 3 已知平面向量a 1 3 b 4 2 ab 与a 垂直 则 是 A 1 B 1C 2D 2 例 4 已知向量a 和b 的夹角为 0 120 1 3ab 则 5 ab 解解 22 22 552510ababaa bb 22 1 25 110 1 3349 2 用心 爱心 专心3 5ab 7 名师点睛名师点睛 向量的模 向量的数量积的运算是经常考查的内容 难度不大 只要细 心 运算不要出现错误即可 考点三 向量与三角函数的综合问题三 向量与三角函数的综合问题 例 5 已知向量 3sin cos cos cos axxbxx 函数 21f xa b 1 求 f x的最小正周期 2 当 62 x 时 若 1 f x 求x的值 名师点睛名师点睛 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题 考查了向量的知识 三 角函数的知识 达到了高考中试题的覆盖面的要求 向量与三角函数的综合问题是当前的 一个热点 但通常难度不大 一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件 并 结合简单的向量运算 而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换 以及解三角形等知识 点 例 6 在ABC 中 角ABC 的对边分别为tan3 7abcC 1 求cosC 2 若 5 2 CB CA 且9ab 求c 解解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又 22 sincos1CC 解得 1 cos 8 C tan0C C 是锐角 1 cos 8 C 2 由 5 2 CB CA 5 cos 2 abC 20ab 又9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 名师点睛名师点睛 本题向量与解三角形的内容相结合 考查向量的数量积 余弦定理等内容 用心 爱心 专心4 考点四 平面向量与函数问题的交汇四 平面向量与函数问题的交汇 例 7 已知向量a cos 2 3 x sin 2 3 x b 2 sin 2 cos xx 且x 0 2 1 求ba 2 设函数baxf ba 求函数 xf的最值及相应的x的值 解 解 I I 由已知条件 2 0 x 得 22 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos xxxxxxxx ba 名师点睛名师点睛 本题考查向量 三角函数 二次函数的知识 经过配方后 变成开口向下的 二次函数图象 要注意 sinx 的取值范围 否则容易搞错 平面向量与函数交汇的问题 主 要是向量与二次函数结合的问题为主 要注意自变量的取值范围 考点五 平面向量在平面几何中的应用五 平面向量在平面几何中的应用 例 8 如图在 Rt ABC 中 已知 BC a 若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点 问PQ与BC的夹角 取何值时 BPCQ 的值 最大 并求出这个最大值 解解 以直角顶点 A 为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴 建 立如图所示的平面直角坐标系 设 AB c AC b 则 A 0 0 B c 0 C 0 b 且 PQ 2a BC a 设点 P 的坐标为 x y 则 Q x y BPxcy 22 CQxybBCcbPQxy 22 BP CQxcxyybxycxby 2 cos BC PQcxby aBCPQ cx by a2cos BPCQ a2 a2cos 故当 cos 1 即 0 PQBC与方向相同 时 BPCQ 的值最大 其最大值为 0 O x A C B a y A C B a Q P 用心 爱心 专心5 名师点睛名师点睛 本题主要考查向量的概念 运算法则及函数的有关知识 平面向量与几何问 题的融合 考查学生运用向量知识解决综合问题的能力 向量的坐标表示实际上就是向量 的代数表示 在引入向量的坐标表示后 使向量之间的运算代数化 这样就可以将 形 和 数 紧密地结合在一起 因此 许多平面几何问题中较难解决的问题 都可以转化为 大家熟悉的代数运算的论证 也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中 赋予几何图形 有关点与平面向量具体的坐标 这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运 算 从而使问题得到解决 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 重庆文 设xR 向量 1 1 2 axb 且ab 则 ab A 5B 10C 2 5D 10 解析 0202aba bxx 22 2 1 1 2 3 1 10ab 考点定位 本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件 本题属于基础题 只 要计算正确即可得到全分 2 2012 年高考 重庆理 设 x y R 向量 4 2 1 1 cybxa 且 cbca 则 ba A 5B 10C 2 5D 10 3 2012 年高考浙江 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a bB 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 b a D 若存在实数 使得 b a 则 a b a b 解析 利用排除法可得选项 C 是正确的 a b a b 则a b共线 即存在实 数 使得a b 如选项 A a b a b 时 a b可为异向的共线向量 选项 B 若a b 由 正方形得 a b a b 不成立 选项 D 若存在实数 使得a b a b可为同向的共线向 用心 爱心 专心6 量 此时显然 a b a b 不成立 4 2012 年高考 天津文 在ABC 中 90A 1AB 设点 P Q满足 1 APAB AQACR 若2BQ CP 则 A 1 3 B 2 3 C 4 3 D 2 5 2012 年高考 天津理 已知 ABC 为等边三角形 2AB 设点 P Q 满足 APAB 1 AQAC R 若 3 2 BQ CP 则 A 1 2 B 12 2 C 110 2 D 32 2 2 解析 BQ AQAB 1 ACAB CP APAC ABAC 又 3 2 BQ CP 且 2ABAC 0 60AB AC 0 cos60 2AB ACAB AC 3 1 2 ACABABAC 222 3 1 1 2 ABAB ACAC 所以 2 3 4 2 1 4 1 2 解得 1 2 6 2012 年高考 辽宁文 已知向量 a 1 1 b 2 x 若 a b 1 则 x A 1B 1 2 C 1 2 D 1 7 2012 年高考 辽宁理 已知两个非零向量a b满足 a b a b 则下面结论 正确的是 A a b B a b C 0 1 3 D a b a b 解析 法一 由 a b a b 平方可得a b 0 所以a b 故选 B 法二 根据向量加法 减法的几何意义可知 a b 与 a b 分别为以向量a b为邻边的平行 四边形的两条对角线的长 因为 a b a b 所以该平行四边形为矩形 所以a b 故选 B C B A P Q 用心 爱心 专心7 点评 本题主要考查平面向量的运算 几何意义以及向量的位置关系 属于容易题 解析 一是利用向量的运算来解 解析二是利用了向量运算的几何意义来解 8 2012 年高考广东 向量 创新 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若平面向量a b满足0 ab a与b的夹角0 4 且 a b和 b a都在集合 2 n nZ 中 则 a b A 1 2 B 1C 3 2 D 5 2 9 2012 年高考广东 若向量 1 2AB 3 4BC 则AC A 4 6B 4 6 C 2 2 D 2 2 解析 4 6ACABBC 10 2012 年高考 福建文 已知向量 1 2 2 1 axb 则ab 的充要条件是 A 1 2 x B 1x C 5x D 0 x 解析 由向量垂直的充要条件得 2 x 1 2 0 所以 x 0 D 正确 11 2012 年高考 大纲文 ABC 中 AB边的高为CD 若CBa CAb 0a b 1a 2b 则AD A 11 33 ab B 22 33 ab C 33 55 ab D 44 55 ab 用心 爱心 专心8 解析 由0a b 可得90ACB 故5AB 用等面积法求得 2 5 5 CD 所以 4 5 5 AD 故 4444 5555 ADABCBCAab 故选答案 D 12 2012 年高考 湖南理 在 ABC 中 AB 2 AC 3 AB BC A 1 则 BC A 3B 7C 2 2D 23 解析 由下图知AB BC A cos AB BCB 2 cos 1BCB 1 cos 2 B BC 又由余弦定理知 222 cos 2 ABBCAC B AB BC 解得3BC 点评 本题考查平面向量的数量积运算 余弦定理等知识 考查运算能力 考查数形结合思想 等价转化思想等数学思想方法 需要注意 AB BC 的夹角为B 的外角 13 2012 年高考 安徽理 在平面直角坐标系中 0 0 6 8 OP 将向量OP 按逆时 针旋转 3 4 后 得向量OQ 则点Q的坐标是 A 7 2 2 B 7 2 2 C 4 6 2 D 4 6 2 二 填空题 1 2012 年高考 浙江文 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则AB AC 解析 由余弦定理 A B C 用心 爱心 专心9 22222 2cos532 5 3cosABAMBMAM BMAMBAMB 22222 2cos352 5 3cosACAMCMAM CMAMCAMC 0 180AMBAMC 两式子相加为 222222 222 35 68ACABAMCM 222222 1068 100 cos 222 ABACBCABAC BAC ABACABACABAC 68 100 cos16 2 AB ACAB ACBACAB AC ABAC 2 2012 年高考 上海文 在知形ABCD中 边AB AD的长分别为 2 1 若M N分别是 边BC CD上 的点 且满足 CD CN BC BM 则ANAM 的取值范围是 解析 如图建系 则A 0 0 B 2 0 D 0 1 C 2 1 设t CD CN BC BM 0 1 则tBM tCN2 所以M 2 t N 2 2t 1 故ANAM 4 4t t 4 3t f t 因为t 0 1 所以 f t递减 所以 ANAM max 0 f 4 ANAM min 1 f 1 3 2012 年高考 课标文 已知向量a b夹角为 0 45 且 a 1 2 ab 10 则 b 解析 2 ab 10 平方得 22 4410 Aaa b b 即 2 2 260 b b 解得 b 3 2或2 舍 4 2012 年高考 江西文 设单位向量 2 1 mx y b 若mb 则 2 xy 解析 由已知可得20 xy 又因为 m 为单位向量所以 22 1xy 联立解得 AB D C y x 2 1 O M N 用心 爱心 专心10 5 5 2 5 5 x y 或 5 5 2 5 5 x y 代入所求即可 答案 5 考点定位 本题考查向量垂直的充要条件 5 2012 年高考 湖南文 如图 4 在平行四边形 ABCD 中 AP BD 垂足为 P 3AP 且 AP AC A 点评 本题考查平面向量加法的几何运算 平面向量的数量积运算 考查数形结合思 想 等价转化思想等数学思想方法 6 2012 年高考 湖北文 已知向量 1 0 1 1 ab 则 与2ab 同向的单位向 量的坐标表示为 向量3ba 与向量a 夹角的余弦值为 点评 本题考查单位向量的概念 平面向量的坐标运算 向量的数量积等 与某向量同向的 单位向量一般只有 1 个 但与某向量共线的单位向量一般有 2 个 它包含同向与反向两种 不 要把两个概念弄混淆了 来年需注意平面向量基本定理 基本概念以及创新性问题的考查 7 2012 年高考 北京文 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 则 用心 爱心 专心11 DE CB 的值为 解析 根据平面向量的点乘公式 cosDE CBDE DADEDA 可知 cos DEDA 因此 2 1DE CBDA cos cosDE DCDEDCDE 而 cosDE 就是向量DE 在DC 边上的 射影 要想让DE DC 最大 即让射影最大 此时E点与B点重合 射影为 DC 所以长度 为 1 考点定位 本题是平面向量问题 考查学生对于平面向量点乘知识的理解 其中包含动点 问题 考查学生最值的求法 8 2012 年高考 安徽文 设向量 1 2 1 1 2 am bmcm 若 ac b 则 a 解析 1 3 3 3 1 302 2 acmac bmmma A 9 2012 年高考 新课标理 已知向量 a b 夹角为45 且1 210aab 则 b 2 2 210 2 1044cos45103 2ababbbb 10 2012 年高考 浙江理 在 ABC中 M是BC的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 解析 此题最适合的方法是特例法 假设 ABC是以AB AC的等腰三角形 如图 AM 3 BC 10 AB AC 34 cos BAC 34341008 2 3417 AB AC cos16ABACBAC 11 2012 年高考 上海理 在平行四边形ABCD中 A 3 边AB AD的长分别为 2 1 若M N分别是边BC CD上的点 且满足 CD CN BC BM 则ANAM 的取值范围是 解析 如图建系 则A 0 0 B 2 0 D 2 1 2 3 C 2 5 2 3 设t CD CN BC BM 0 1 则tBM tCN2 所以M 2 2 t 2 3t N 2 5 2t 2 3 x y AB CD M N 用心 爱心 专心12 故ANAM 2 2 t 2 5 2t 2 3t 2 3 6 1 52 22 tfttt 因为t 0 1 所以f t 递减 ANAM max f 0 5 ANAM min f 1 2 评注 当然从抢分的战略上 可冒用两个特殊点 M在B N在C 和M在C N在D 而 本案恰是在这两点处取得最值 蒙对了 又省了时间 出题大虾太给蒙派一族面子 了 12 2012 年高考 江苏 如图 在矩形ABCD中 22ABBC 点E为 BC的中点 点F在边CD上 若2ABAF A 则AEBF A的值是 13 2012 年高考 北京理 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 则 DE CB 的值为 DE DC 的最大值为 解析 答案 1 1 根据平面向量的点乘公式 cosDE CBDE DADEDA 可知 cos DEDA 因此 2 1DE CBDA cos cosDE DCDEDCDE 而 cosDE 就 是向量DE 在 DC 边上的射影 要想让DE DC 最大 即让射影最大 此时E点与B点重合 射影为 DC 所 以长度为 1 考点定位 本题是平面向量问题 考查学生对于平面向量点乘知识的理解 其中包含动点 问题 考查学生最值的求法 14 2012 年高考 安徽理 若平面向量 a b 满足 23ab 则a b A的最小值是 解析 22 23494ababa b A 用心 爱心 专心13 229 444944 8 aba ba ba ba ba b AAAA 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 四川文 7 理 4 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACDEF A 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 2 福建文 13 若向量a 1 1 b 1 2 则a b 解析 因为向量a 1 1 b 1 2 所以1 1 1 21a b 3 江苏 1010 已知 已知 21 e e是夹角为是夹角为 3 2 的两个单位向量 的两个单位向量 1212 2 aee bkee 若若 0 ba 则 则 k k 的值为的值为 4 广东文 3 3 已知向量 已知向量 1 2 1 0 3 4 abc 若 若 为实数 为实数 abc 则 则 A A 1 4 B B 1 2 C C 1 D D 2 解析解析 2 1 0 2 1 ba abc 2 1 0324 1 所以选所以选 B B 5 广东理 3 3 若向量 若向量 a a b b c c 满足满足 a ba b 且且 a ca c 则 则 c a 2b c a 2b A A 4 4 B B 3 3 C C 2 2 D D 0 0 6 全国文 3 设向量a b 满足 a b 1 a b 1 2 则2ab 用心 爱心 专心14 A 2 B 3 C 5 D 7 答案 B 解析 222 2 2 44ababaa bb 22 44aa bb 1 14 4 13 2 故选 B 7 课标文 13 已知向量ba 为不共线的单位向量 Rk 如果 bakba 与垂直 那么 k 8 湖北文 2 若向量 1 2 1 1 ab 则2ab 与ab 的夹角等于 A 4 B 6 C 4 D 3 4 解析 因为2 3 3 0 3 abab 设其夹角为 r 故 2 2 cos 2 2 abab r abab 即 4 r 所以选 C 9 辽宁文 3 已知向量 a a 2 1 b b 1 k a a 2a a b b 0 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 解析 由题意 得 2a a b b 5 2 k a a 2a a b b 2 5 2 k 0 所以 k 12 答案 D 10 湖南文 130 设向量 a b 满足 2 5 2 1 ab 且ab 与的方向相反 则a 的坐标为 解析 由题 2 215b 所以2 4 2 ab 11 安徽文 14 理 13 已知向量a a b b满足 26abab 且1a 2b 则 a a与b b的夹角为 12 江西文 11 已知两个单位向量 1 e 2 e的夹角为 3 若向量 112 2bee 用心 爱心 专心15 212 34bee 则 12 b b 答案 6 解析 要求 1 b 2 b 只需将题目已知条件带入 得 1 b 2 b 1 e 2 2 e 3 1 e 4 2 e 2 221 2 1 823 eeee 其中 2 1 e 1 21 ee 60cos 21 ee 1 1 2 1 2 1 1 2 2 e 带入 原式 3 1 2 2 1 8 1 6 13 江西理 11 已知2ab 2 ab ab 2 则a 与b 的夹角为 14 重庆文 5 已知向量 1 2 2 ak baba 且与共线 那么a b 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 命题意图 本题考查向量共线的充要条件 向量数量积的计算 是简单题 解析 ab 3 2k ab 与a 3 2 2 20k 解得k 1 a b 1 2 1 2 4 故选 D 15 北京文 11 理 10 已知向量 3 1 0 1 3 abck 若2ab 与c 共线 则k 解析 2 3 3 ab 由2ab 与c 共线得3331kk 16 重庆理 12 已知单位向量 ij c c 的夹角为60 则2 ij cc 解析 222 22444 1 4 cos603 ijijijij ccccccc c A 17 湖南理 14 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 设 3 2CECABDBC 则 BEAD 解析 设 bABaBC 则 2 1 abBDABAD 3 1 3 2 3 1 baCABCCEBCBE 且 用心 爱心 专心16 2 1 120cos ba 所以 BEAD ab 2 1 ba 3 1 3 2 4 1 2 1 3 1 3 1 22 baba 故填 4 1 18 福建理 15 设 V 是全体平面向量构成的集合 若映射 f VR 满足 对任意向量 11 ax yV 22 bxyV 以及任意 R 均有 1 1 fabf af b 则称映射 f具有性质 P 现先给出如下映射 11 fVR f mxy mx yV 2 22 fVR fmxy mx yV 33 1 fVR f mxymx yV 其中 具有性质 P 的映射的序号为 写出所有具有性质 P 的映射的序号 1 fab 1212 1 1 1xxyy 11 1 f af bxy 221212 1 1 1 1 1 1xyxxyy 则 1 1 fabf af b 故 正确 19 浙江文 15 理 140 若平面向量a b 满足1 1 且以向量a b 为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 则a b 的夹角 取值范围是 用心 爱心 专心17 解析 111 2sin 1 1 sin 222 a bab 又 又 0 5 66 20 辽宁理 10 若a b c 均为单位向量 且a b 0 ac bc 0 则 ab c 的最大值为 A 1 2 B 1 C 2 D 2 解析 由a b 0 ac bc 0 得 a c b c b 2 2 1 1 2 ab c a 2 2 b 2 2 c 2 2 2a b 2a c 2b c 3 3 2 a c b c 3 2 1 故ab c 的最小值为 1 21 课标卷理 10 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A 14 P P B 13 P P C 23 P P D 24 P P 22 山东文 理 12 设 1 A 2 A 3 A 4 A是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 1312 A AA A R 1412 A AA A R 且 11 2 则称 3 A 4 A调和分割 1 A 2 A 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法 正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 用心 爱心 专心18 解析 由 1312 A AA A R 1412 A AA A R 知 四点 1 A 2 A 3 A 4 A在 同一条直线上 因为 C D 调和分割点 A B 所以 A B C D 四点在同一直线上 且 11 2 cd 故选 D 23 全国理12 设向量a b c 满足 a b 1 a b 1 2 ac bc 0 60 则 c 的最大值等于 A 2 B 3 c 2 D 1 答案 A 解析 如图 构造AB a AD b AC c 120 60BADBCD 所以 A B C D四点共圆 可知当线段AC为直径时 c 最大 最大值为 2 24 天津文 理 1414 已知直角梯形已知直角梯形 ABCDABCD 中中 AD BC AD BC 90ADC AD 2 BC 1 P AD 2 BC 1 P 是腰是腰 DCDC 上的动点上的动点 则则 3 PAPB 的最小值为的最小值为 答案 5 解析 画出图形 容易得结果为 5 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 5 一 选择题 1 1 20102010 湖南文湖南文 6 若非零向量 a b 满足 2 0ababb 则 a 与 b 的夹角为 A 300 B 600 C 1200 D 1500 解析 由 2 0abb 得 2 20a bb 于是 2 2 cos 0abb 又 ab 所以 1 cos 2 故120 选 C 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理理 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab A B D C 用心 爱心 专心19 3 3 20102010 辽宁文数 辽宁文数 8 平面上 O A B三点不共线 设 OAa OBb 则OAB 的面积 等于 A 22 2 aba b B 22 2 aba b C 22 2 1 2 aba b D 22 2 1 2 aba b 解析 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 2 aba b 选 C 4 4 20102010 辽宁理辽宁理 8 平面上 O A B 三点不共线 设 OA a OBb 则 OAB 的面积等于 A 222 aba b A B 222 aba b A C 222 1 2 aba b A D 222 1 2 aba b A 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CB a CA b a 1 b 2 则CD A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 解析解析 B B 本题考查了平面向量的基础知识 本题考查了平面向量的基础知识 用心 爱心 专心20 CDCD 为角平分线 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 6 6 20102010 安徽文安徽文 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b A C ab D ab 与b垂直 解析 11 22 ab 0ab b A 所以 ab与b垂直 规律总结 根据向量是坐标运算 直接代入求解 判断即可得出结论 7 2010 重庆文数 3 若向量 3 am 2 1 b 0a b A 则实数m的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 6 解析 60a bm 所以m 6 8 8 20102010 重庆理重庆理 2 已知向量 a b 满足0 1 2 a bab 则2ab A 0 B 2 2 C 4 D 8 9 9 20102010 山东文山东文 12 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的 am n bp q 令abmqnp A 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则0ab A B abba AA C 对任意的R 有 abab AA D 2222 aba bab A 答案 B 1010 20102010 四川理四川理 5 文文 6 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16 BCABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而 ABACAM 用心 爱心 专心21 故AM 2 答案 C 1111 20102010 天津文天津文 9 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则 AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识 属于难题 cos cos sinAC ADACADDACACDACACBAC sinB3BC 温馨提示 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加 强平面向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 1212 20102010 广东文数 广东文数 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x A 6 B 5 C 4 D 3 1313 20102010 福建文数 福建文数 若向量 x 3 x aR 则 x4 是 5a 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必 要条件 1414 20102010 全国卷全国卷 1 1 文文 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切 点 那么PA PB 的最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 用心 爱心 专心22 解析 1 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时 21x 解析 2 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 解析 3 建系 园的方程为 22 1xy 设 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 1515 20102010 湖北文湖北文 8 理 5 已知ABC 和点 M 满足0MAMBMC 若存在实m使得 AMACmAM 成立 则m A 2B 3C 4D 5 P A B O 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 用心 爱心 专心23 1616 20102010 山东理山东理 12 定义平面向量之间的一种运算 A 如下 对任意的a m n bp q 令 ab mq np A 下面说法错误的是 A 若a 与b 共线 则ab 0 A B ab ba AA C 对任意的R 有a b A ab A D 2222 ab ab a b A 解析 若a 与b 共线 则有ab mq np 0 A 故 A 正确 因为bapn qm A 而 ab mq np A 所以有abba AA 故选项 B 错误 故选 B 命题意图 本题在平面向量的基础上 加以创新 属创新题型 考查平面向量的基础知 识以及分析问题 解决问题的能力 1717 2 2010010 湖南理湖南理 4 在Rt ABC 中 C 90 AC 4 则AB AC uu u r uuu r 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 二 填空题二 填空题 1 1 20201010 浙江理浙江理 16 已知平面向量 0 满足1 且 与 的夹角 为 120 则 的取值范围是 解析 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中 即可迎刃而解 本题主要考察了平面 向量的四则运算及其几何意义 突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力 属中档 题 答案 2 3 0 3 2 2 20102010 陕西文陕西文 12 已知向量 2 1 1 1 2 cmba 若 ba c 则 用心 爱心 专心24 m 3 3 20102010 江西理江西理 13 已知向量a b 满足1a 2b a 与b 的夹角为 60 则 ab 答案 3 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余弦定理等知 识 如图 aOA bOB abOAOBBA 由余弦定理得 3ab 4 4 20102010 浙江文浙江文 17 在平行四边形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交点 P Q M N 分别 是线段 OA OB OC OD 的中点 在 APMC 中任取一点记为 E 在 B Q N D 中任取 一点记为 F 设 G 为满足向量OGOE OF 的点 则在上述的点 G 组成的集合中的点 落在平行四边形 ABCD 外 不含边界 的概率为 答案 3 4 5 5 20102010 浙江文浙江文 13 已知平面向量 1 2 2 则2a 的值是 答案 10 6 6 20102010 天津理天津理 15 如图 在ABCA中 ADAB 3BCBD 1AD 则AC AD A 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平面向量的 基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 用心 爱心 专心25 7 7 20102010 广东理广东理 10 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x 10 C 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 解得 2x 8 8 20102010 上海文上海文 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点P 若 1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 4ab 1 三 解答题 三 解答题 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1515 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角 线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一 方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 2 由题设知 OC 2 1 32 5 ABtOCtt 由 OCtAB OC 0 得 32 5 2 1 0tt 用心 爱心 专心26 从而511 t 所以 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 两年模拟两年模拟 20122012 年名校模拟题及其答案年名校模拟题及其答案 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考 已知向量a的模为 1 且ba 满足 2 4 baba 则b在a方向上的投影等于 答案 3 四川省南充高中 2012 届高三第一次月考 已知a b 均为单位向量 它们的夹角为 60 那么 ba 3 A 7 B 10 C 13 D 4 答案 C 四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考 已知 3 1 2 ab 若 ab 则 实数 的值为 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 答案 C 四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为60 那么 2 6aa b 等于 A 1 3 3 B 4C 3D 7 答案 B 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试 若两个非零向量 a b 满足 2ababa 则向量ab 与ab 的夹角 A 6 B 4 C 2 3 D 5 6 山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定 已知向量 a 3 1 b 1 m c 1 2 用心 爱心 专心27 若 a b c 则 m 答案 2 陕西省宝鸡中学 2012 届高三上月考 已知5 3 4 15 0 baSbabCAaCBABC ABC 中 则ba与的夹角为 A 6 5 B 6 C 6 或 6 5 D 6 5 答案 D 陕西省宝鸡中学 2012 届高三上学期月考 已知o为平面内一定点 设条件 p 动点M满 足 ACABOAOM R 条件 q 点M的轨迹通过 ABC 的重心 则条件 p 是条件 q 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 陕西省宝鸡中学 2012 届高三上学期月考 已知 3 2 baba 且ba 23 与 ba 垂直 则实数 的值为 答案 2 3 山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检 如右图 在平行四边形ABCD中 O 是对角线 AC BD 的交点 N 是线段 OD 的中点 AN 的延长线与 CD 交于点 E 则下 列说法错误的是 A ACABAD B BDADAB C 11 AOABAD 22 D 5 AEABAD 3 答案 D 山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检 在ABC 中 AB3 AC2 若 O 为 ABC 内部的一点 且满足OAOBOC0 则AO BC A 1 2 B 2 5 C 1 3 D 1 4 答案 C 安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考 连续投掷两次骰子得到的点数分别为nm 向量 am n 与向量 0 1 b 的夹角记为 则 4 0 的概率为 A 18 5 B 12 5 C 2 1 D 12 7 答案 B 湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研 已知 1 2 abaab 且 则向量 用心 爱心 专心28 a 与向量 b 的夹角为 A 30 B 45 C 90 D 135 答案 B 浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考 若 ABC 内接于以 O 为圆心 1 为半径 的圆 且 3450OAOBOC 则 OC AB 的值为 A 1 5 B 1 5 C 6 5 D 6 5 答案 A 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 学年度第一学期高三第四阶段考学年度第一学期高三第四阶段考 已知 O 为ABC 内一点 且 OOBOCOA 2 则AOC 与ABC 的面积比值是 A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 1 答案 A 黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 20122012 届高三理科期末届高三理科期末 若向量0 1 2 A 0 3 4 B 则 1 2 AB 等于 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 答案 A 北京市朝阳区北京市朝阳区 20122012 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 已知平面向量 3 1 a 3 x b 且 a b 则实数x的值为 A 9 B 1 C 1 D 9 北京市西城区北京市西城区 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末 已知向量 3 1 a 0 2 b 若实数 k与向量c满足2k abc 则c可以是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 1 3 答案 D 安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考 给出下列命题 其中正确的命题是 写出 所有正确命题的编号 非零向量 a b 满足 abab 则a 与ab 的夹角为30 已知非零向量 a b 则 0a b 是 a b 的夹角为锐角 的充要条件 命题 在三棱锥OABC 中 已知2OPxOAyOBOC 若点P在ABC 所在 的平面内 则3xy 的否命题为真命题 若 0ABACABAC 则ABC 为等腰三角形 用心 爱心 专心29 黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 20122012 届高三理科期末届高三理科期末 设 M 是 ABC内一点 且2 3AB AC 0 30BAC 定义 f Mm n p 其中 m n p分别是 MBC MCA MAB的面积 若 1 2 f Mx y 则 14 xy 的最小值是 答案 18 西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 在正三角形ABC中 D是BC上的点 3 1ABBD 则AB AD 答案 15 2 北京市东城区北京市东城区 20122012 学年度学年度高三数第一学期期末高三数第一学期期末 若非零向量a b满足 baba 则a与ba 的夹角为 浙江省名校新高考研究联盟浙江省名校新高考研究联盟 20122012 届第一次联考届第一次联考 已知三点 3 2 1 321 yCyByA不 共线 其中 i y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 i 若对ABC 的内心I 存在实数 使得 IBICIA 则这样的三角形共有 个 答案 30 安徽省望江县 2012 届高三第三次月考 已知平面上三点A B C满足 ABCACABCBCABCABCAB 则 5 4 3 的值等于 A 25B 24C 25D 24 答案 C 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考 设向量 a b 满足 3 2 2 2 2 aa bab 则 b 等于 A 1 2 B 1 C 3 2 D 2