2012高中数学 3.3.1《指数函数的概念》精品学案 北师大版必修1

用心 爱心 专心 1 3 3 1 1 指指数数函函数数的的概概念念 指指数数函函数数是数学中重要的函数 应用到值 e 上的这个函数写为 exp x 还可以等价 的写为 e 这里的 e 是数学常数 就是自然对数的底数 近似等于 2 718281828 还 称为欧拉数 指数函数对于 x 的负数值非常平坦 对于 x 的正数值迅速攀升 在 x 等于 0 的时候等于 1 在 x 处的切线的斜率等于此处 y 的值乘上 lna 即由导数知识 d a x dx a x ln a 作为实数变量 x 的函数 y ex 的图像总是正的 在 x 轴之上 并递增 从左向右看 它永不触及 x 轴 尽管它可以任意程度的靠近它 所以 x 轴是这个图像的水平 渐近 线 它的反函数是自然对数 ln x 它定义在所有正数 x 上 有时 尤其是在科学中 术语 指指数数函函数数更一般性的用于形如 kax 的 指数函数 函数 这里的 a 叫做 底数 是不等于 1 的任何正实数 本文最初集中于带有底数为 欧拉数 e 的指数函数 指数函数的一般形式为 y a x a 0 且 1 x R 从上面我们关于 幂函数的讨论就 可以知道 要想使得 x 能够取整个实数集合为 定义域 则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况 在函数 y a x 中可以看到 1 指数函数的定义域为所有实数的集合 这里的前提是a 大于 0 且不等于 1 对于 a 不大于 0 的情况 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间 因此我们不予 考虑 同时 a 等于 0 函数无意义一般也不考虑 2 指数函数的 值域为大于 0 的实数集合 3 函数图形都是下凸的 4 a 大于 1 时 则指数函数单调递增 若a 小于 1 大于 0 则为单调递减的 5 可以看到一个显然的规律 就是当a 从 0 趋向于无穷大的过 2 指数函数 程中 当然不能等于 0 函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函 数的位置 趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置 其中 水平直线 y 1 是从递减到递增的一个过渡位置 6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴 并且永不相交 7 函数总是通过 0 1 这点 若 y a x b 则函数定过点 0 1 b 8 显然指数函数无界 9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 10 当两个指数函数中的 a 互为倒数时 两个函数关于 y 轴对称 但这两个函 数都不具有 奇偶性 11 当指数函数中的自变量与 因变量一一映射时 指数函数具有反函数 编编辑辑本本段段指指数数函函数数求求导导公公式式的的推推导导 e 的定义 e lim x 1 1 x x 2 718281828 设 a 0 a 1 log a x lim x log a x x log a x x lim x 1 x x x log a x x x lim x 1 x log a 1 x x x x 1 x lim x log a 1 x x x x 1 x log a lim x 0 1 x x x x 1 x log a e 特殊地 当 a e 时 log a x ln x 1 x 设 y a x 两边取对数 ln y xln a 两边对求 x 导 y y ln ay yln a a xln a 特殊地 当 a e 时 y a x e x e xln e e x 编编辑辑本本段段底底数数与与指指数数函函数数图图像像 用心 爱心 专心 3 指数函数 1 由指数函数 y a x 与直线 x 1 相交于点 1 a 可知 在 y 轴轴右右侧侧 图像从从下下到到上上 相相应应的的底底数数由由小小变变大大 2 由指数函数 y a x 与直线 x 1 相交于点 1 1 a 可知 在 y 轴轴左左侧侧 图 像从从下下到到上上相相应应的的底底数数由由大大变变小小 3 指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为 在y 轴右边 底底大大图图高高 在 y 轴左边 底底大大图图低低 如右图 编编辑辑本本段段幂幂的的大大小小比比较较 比较大小常用方法 1 比差差 商商 法法 2 函函数数单单调调性性法法 3 中中间间值值法法 要比较 A 与 B 的大小 先找一个中间值 C 再比较 A 与 C B 与 C 的大小 由不等式的 传递性得到 A 与 B 之间的大小 比较两个幂的大小时 除了上述一般方法之外 还应注注意意 1 对于底数相同 指数不同的两个幂的大小比较 可以利用指指数数函函数数的的单单调调性性 来判断 例如 y1 3 4 y2 3 5 因为 3 大于 1 所以函数单调递增 即 x 的值越大 对应的 y 值越大 因为 5 大于 4 所以 y2 大于 y1 2 对于底数不同 指数相同的两个幂的大小比较 可 指数函数 以利用指指数数函函数数图图像像的的变变化化规规律律 来判断 例如 y1 1 2 4 y2 3 4 因为 1 2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减 3 大 于 1 所以函数图像在定义域上单调递增 在x 0 是两个函数图像都过 0 1 然后随 着 x 的增大 y1 图像下降 而 y2 上升 在 x 等于 4 时 y2 大于 y1 3 对于底数不同 且指数也不同的幂的大小比较 则可以利用中中间间值值来比较 如 对于三个 或三个以上 的数的大小比较 则应该先根据值的大小 特别是与 0 1 的大小 进行 分分组组 再比较各组数的大小即可 在比较两个幂的大小时 如果能充分利用 1 来搭 桥 即比较它们与 1 的大 小 就可以快速的得到答案 那么如何判断一个幂与 1 大小呢 由指数函数的图像和 性质可知 同大异小 即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向 例如 a 1 且 x 0 或 0 a 1 且 x 0 时 a x 大于 1 异向时 a x 小于 1 3 例 下列函数在 R 上是增函数还是减函数 说明理由 4 y 4 x 因为 4 1 所以 y 4 x 在 R 上是增函数 y 1 4 x 因为 0 1 40 且 a 1 即说明 y 0