江西省吉安市2013届高三数学第一次模拟考试试题 理

1 20132013 届高三模拟试卷届高三模拟试卷数学 理 试卷数学 理 试卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作 答 若在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷 答题卡一并收回 第 卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 每题只有一个正确答案 1 已知 i 是虚数单位 则 2013 1 2 i 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 执行如图所示的程序框图 若输入 x 2 则输出 y 的值为 A 5 B 9C 14D 41 3 设 2 2 1 1 0 x p xq x 则 q 是 p A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知是双曲线的两个焦点 Q 是双曲线上任一点 不是顶点 从某一焦点引 21 F F 的平分线的垂线 垂足为 P 则点 P 的轨迹是 21QF F A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 5 已知函数 f x 对定义域R内的任意x都有 f x 4 fx 且当 2x 时其导函数 fx 满足 2 xfxfx 若2 4a 则 A 2 2 3 log a fffa B 2 3 log 2 a ffaf C 2 log 3 2 a faff D 2 log 2 3 a faff 6 一组数据共有 7 个数 记得其中有 10 2 5 2 4 2 还有一个数没记清 但知道这组数的平 均数 中位数 众数依次成等比数列 这个数的所有可能值的和为 A 9 B 3 C 20 D 11 7 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥 则不是该三棱锥的三视图是 侧视图正视图 俯视图 1 3 2 侧视图正视图 俯视图 2 3 1 侧视图正视图 俯视图 1 3 2 侧视图正视图 俯视图 2 3 1 2 A B C D 8 如果幂函数 a yxaR 图像经过不等式组 4340 60 2 xy xy y 表示的区域 则 a 的取值 范围是 A 1 1 0 2 B 1 1 2 C 1 1 0 2 2 D 1 1 2 2 9 设数列 n a 的前n项和为 n S 1 1 a 1 2 Nnn n S a n n 若 2013 1 32 2 32 1 n n SSS S n 则n的值为 A 1007B 1006C 2012D 2013 10 如图 三棱锥P ABC 的底面是正三角形 各条侧棱均相等 60APB 设点 D E分别在线段PB PC上 且 DE BC 记PD x ADE 周长为 y 则 yf x 的图象可能是 ABCD 第 卷 注意事项 第 卷共 3 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答 答案无 效 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 y xO y xO y xO y xO 3 11 已知实数 x y 满足 1 10 2 cos 0 1 2 xx x x yf x xx y 则点在函数 的图象与坐 标轴所围成的封闭图形的内部的概率为 12 已知以 4T 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中 0m 若方程 3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 13 如图 在扇形OAB中 60AOB C为弧AB上的一个动点 若 OC xOAyOB 则 3xy 的取值范围是 14 若函数 f x 在给定区间 M 上存在正数 t 使得对于任意x M 有x tM 且 f xtf x 则称 f x 为 M 上的 t 级类增函数 给出 4 个命题 函数 4 1 f xx x 是 上的 3 级类增函数 函数 2 log 1 1 f xx 是 上的 1 级类增函数 若函数 sin 2 f xxax 是 上的3 级类增函数 则实数 a 的最小值为 2 设 xf 是定义R在上的函数 且满足 1 对任意 1 0 x 恒有 0 xf 2 对任意 1 0 21 xx 恒有 2 1 1 2 1 2 1 xf xf xf xf 3 对任意 Rx 1 1 2 f x f x 若函数 xf 是 1 上的 t 级类增函数 则实数 t 的取值范围为 0 以上命题中为真命题的是 三 选做题 请考生在下列两题中选一题 则按所做的一题评分 本题共 5 分 15 考生注意 请在下列两题中任选一题作答 如果多做则按所做的第一题评分 A 不等式选讲 已知函数 212 log 2 mxxxf 若关于 x 的不等式 1 xf 的解集是R 则的取值范围是 第 13 题 O A B C 4 B 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 已知曲线 cos2 与直线 3 cos4 sin0a 相切 则实数a的值为 四 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 其中第 16 19 小题每题 12 分 第 20 题 13 分 第 21 题 14 分 16 本小题满分 12 分 已知函数 sinf xx 0 在区间 0 3 上单调递增 在区间 2 33 上单调递减 如图 四边形OACB中 a b c为 ABC 的内角A BC 的对边 且满足 A CB A CB cos coscos 3 4 sin sinsin 证明 acb2 若 cb 设 AOB 0 22OAOB 求四边形OACB面积的最大值 本小题满分 12 分 某商场共五层 从五层下到四层有 3 个出口 从三层下到二层有 4 个出口 从二层下到一层 有 4 个出口 从一层走出商场有 6 个出口 安全部门在每层安排了一名警员值班 负责该层 的安保工作 假设每名警员到该层各出口处的时间相等 某罪犯在五楼犯案后 欲逃出商场 各警员同时接到指令 选择一个出口进行围堵 逃犯在每层选择出口是等可能的 已知他被 三楼警员抓获的概率为9 1 问四层下到三层有几个出口 天网恢恢 疏而不漏 犯罪嫌疑人最终落入法网 设抓到逃犯时 他已下了 层楼 写出 的分布列 并求 E 18 本小题满分 12 分 如图 直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直 AB CD BCAB BCCDAB22 EA EB B A C O 5 E A D C B 求直线EC与平面ABE所成角的正弦值 线段EA上是否存在点F 使EC 平面FBD 若存在 求出 EF EA 若不存在 说 明理由 19 本小题满分 12 分 已知 Nn 数列 n d 满足 2 1 3 n n d 数列 n a 满足 1232nn adddd 又知 数列 n b 中 2 1 b 且对任意正整数 nm n m m n bb 求数列 n a 和数列 n b 的通项公式 将数列 n b 中的第 1 a 项 第 2 a 项 第 3 a 项 第 n a 项 删去后 剩余的项按 从小到大的顺序排成新数列 n c 求数列 n c 的前2013项和 20 本题满分 13 分 如图 F1 F2 是离心率为 2 2 的椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右焦点 直线l x 1 2将线段 F1F2 分成两段 其长度之比 为 1 3 设 A B 是 C 上的两个动点 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上 线段 AB 的中垂线与 C 交于 P Q 两点 求椭圆 C 的方程 是否存在点 M 使以 PQ 为直径的圆经过点 F2 若存在 求出 M 点坐标 若不存在 请 说明理由 第 20 题图 O B A x y x 2 1 M F1F2 P Q 6 21 本小题满分 14 分 已知函数 ln f xaxb e1 x g xa 其中 0a 0b 且函数 f x 的图象在 点 0 0 Af 处的切线与函数 g x 的图象在点 0 0 Bg 处的切线重合 求实数 a b 的值 若 0 x 满足 0 0 0 1 xm x g x 求实数 m 的取值范围 2013 届高三模拟试卷 数学 理 试卷参考答案 一 选择题 题号12345678910 答案CDC BCCDBAC 二 填空题 11 3 4 12 15 7 3 13 1 3 14 15 A 2 1 m B 2或 8 三 解答题 16 解 由题意知 24 3 解得 3 2 2 分 A CB A CB cos cos cos 2 sin sinsin ACABAACABsincos sincos sin2cossincossin AACACABABsin2sincoscossinsincoscossin ACABAsin2 sin sin 4 分 acbABC2sin2sinsin 6 分 因为 2bcabc 所以a bc 所以 ABC 为等边三角形 7 2 13 sin 24 OACBOABABC SSSOA OBAB 8 分 4 35 cos3 sin 5 3 2sin 34 10 分 0 2 333 当且仅当 32 即 5 6 时取最大值 OACB S 的最大值为 5 3 2 4 12 分 17 解 1 设四层下到三层有n个出口 恰好被三楼的警员抓获 说明五层及四层的警员 均没有与他相遇 9 1 4 1 1 1 3 1 1 n 解得 3 n 3 分 2 可能取值为 0 1 2 3 4 5 9 2 3 1 3 1 1 1 3 1 0 pp 9 1 4 1 3 1 1 3 1 1 2 p 12 1 4 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 3 p 24 1 6 1 4 1 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 4 p 24 5 24 1 12 1 9 1 9 2 3 1 1 5 p 8 分 所以 分布列为 10 分 72 137 24 5 5 24 1 4 12 1 3 9 1 2 9 2 1 3 1 0 E 12 分 18 解 1 解法 1 因为平面 ABE 平面ABCD 且 BCAB 012345 p 3 1 9 2 9 1 12 1 24 1 24 5 8 所以 BC 平面ABE 则 CEB 即为直线EC与平面ABE所成的角 2 分 设 BC a 则 AB 2a a2 BE 所以 a3 CE 则直角三角形 CBE 中 3 3 3 1 sin CE CB CEB 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 3 3 6 分 解法 2 因为平面 ABE 平面ABCD 且 ABEO 所以 EO 平面ABCD 所以 ODEO 由 OEODOB 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzO 因为三角形EAB为等腰直角三角形 所以 OEODOBOA 设 1 OB 则 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 OABCDE 所以 1 1 1 EC 平面ABE的一个法向量为 0 1 0 OD 3 分 设直线EC与平面ABE所成的角为 所以 3 sin cos 3 EC OD EC OD EC OD 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 3 3 6 分 2 存在点F 且 1 3 EF EA 时 有EC 平面FBD 证明如下 由 3 1 0 3 1 3 1 EAEF 3 2 0 3 1 F 所以 3 2 0 3 4 FB 设平面FBD的法向量为v cba 则有 0 0 BD FB v v 所以 0 42 0 33 ab az 取 1 a 得 2 1 1 v 9 分 因为 ECv 0 2 1 1 1 1 1 且 EC 平面FBD 所以 EC 平面FBD 9 即点F满足 1 3 EF EA 时 有EC 平面FBD 12 分 19 解 2 1 3 n n d 1232nn adddd 3 2 3 2 n n 3 分 又由题知 令 1m 则 22 21 2bb 33 31 2bb 1 2 nn n bb 5 分 若 2n n b 则 2 mnm n b 2 nmn m b 所以 mn nm bb 恒成立 若 2n n b 当 1m mn nm bb 不成立 所以 2n n b 6 分 由题知将数列 n b 中的第 3 项 第 6 项 第 9 项 删去后构成的新数列 n c 中的奇 数列与偶数列仍成等比数列 首项分别是 1 2b 2 4b 公比均是 8 9 分 201313520132462012 Tcccccccc 100710061006 2 1 8 4 1 8 20 86 1 81 87 12 分 20 解 设 F2 c 0 则 1 2 1 2 c c 1 3 所以 c 1 因为离心率 e 2 2 所以 a 2 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 当直线 AB 垂直于 x 轴时 直线 AB 方程为 x 1 2 6 分 此时 P 2 0 Q 2 0 22 1F P F Q 不合 当直线 AB 不垂直于 x 轴时 设存在点 M 1 2 m m 0 直线 AB 的斜率为 k 11 yxA 22 yxB 由 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 x y x y 得 12 1122 12 2 0 yy xyxy xx 则 1 4mk 0 10 故 k 1 4m 此时 直线 PQ 斜率为 mk4 1 PQ 的直线方程为 2 1 4 xmmy 即 mmxy 4 联立 1 2 4 2 2 y x mmxy 消去 y 整理得 2222 321 16220mxm xm 所以 2 12 2 16 321 m xx m 2 12 2 22 321 m x x m 8 分 由题意 QFPF 22 0 于是 QFPF 22 x1 1 x2 1 y1y2 4 4 1 212121 mmxmmxxxxx 2 21 2 21 2