2012高三数学二轮专题复习极限突破 分类讨论思想

用心 爱心 专心 1 专题二专题二 分类讨论思想分类讨论思想 考情分析 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法 也是一种数学思想 这种思想对于简化研究对象 发展人的思维有着重要帮助 因此 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置 所谓分类讨论 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 就需要对研究对象按某个标准 分类 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 最后综合各类结果得到整个问题的解答 实质上 分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的数学策略 分类讨论思想是一 种重要的数学思想 它在人的思维发展中有着重要的作用 因此在近几年的高考试题中 他 都被列为一种重要的思维方法来考察 分类讨论是每年高考必考的内容 预测 2011 年高考对本专题的考察为 将有一道中档 或中档偏上的题目 其求解思路直接依赖于分类讨论 特别关注以下方面 涉及指数 对数 底的讨论 含参数的一元二次不等式 等比数列求和 由求等 n S n a 知识交汇 分类讨论是一种重要的数学思想方法 当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对 研究的对象进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结果 最终综合各类结果得 到整个问题的解答 1 分类讨论思想就是依据一定的标准 对问题分类 求解 要特别注意分类必须满 足互斥 无漏 最简的原则 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决 引 起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种 1 涉及的数学概念是分类讨论的 如绝对值 a 的定义分 a 0 a 0 a2 时分 a 0 a 0 和 a0 圆半径 ON 1 MN 2 MO 2 ON 2 MO 2 1 设点 M 的坐标为 x y 则 用心 爱心 专心 9 整理得 经检验 坐标适合这个方程的点都属于集合 P 故这个方程为所求的轨迹方程 当 1 时 方程化为 它表示一条直线 该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点 当 1 时 方程化为 它表示圆 该圆圆心的坐标为 半径为 点评 本题在求出轨迹方程之后 在判定为何曲线时 因参数引起了分类讨论 一些问 题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数 从而需对参数分情况讨论 求得问题的 结果 题型 4 不等式中分类讨论问题 例 7 解不等式 0 a 为常数 a xa xa a 46 21 1 2 分析 含参数的不等式 参数 a 决定了 2a 1 的符号和两根 4a 6a 的大小 故对参数 a 分四种情况 a 0 a 0 a 0 a0 时 a 4a0 1 2 所以分以下四种情况讨论 当 a 0 时 x 4a x 6a 0 解得 x6a 当 a 0 时 x 0 解得 x 0 2 当 a0 解得 x 4a 1 2 当 a 时 x 4a x 6a 0 解得 6a x0 时 x6a 当 a 0 时 x 0 当 a 0 时 x 4a 当 a 时 6a x0 或 a 0 因为这两种情形下 不等式解集形式是不同的 不等式的解是在两根之外 还是在 两根之间 而确定这一点之后 又会遇到 1 与谁大谁小的问题 因而又需作一次分类讨论 1 a 故而解题时 需要作三级分类 题型 5 数列中分类讨论问题 例 9 2011 天津理 20 已知数列 n a 与 n b 满足 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n N 且 12 2 4aa 求 345 a a a 的值 设 2121 nnn caanN 证明 n c 是等比数列 III 设 242 kk SaaakN 证明 4 1 7 6 n k k k S nN a 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 用心 爱心 专心 11 I 解 由 3 1 2 n n bnN 可得 1 n n b 为奇数 2 n为偶数 又 112 0 nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3 5 4 当n 1时 a a 2a 0 由a 2 a 4 可得a 当n 2时 2a a a 0 可得a 当n 3时 a a 2a 0 可得a II 证明 对任意 nN 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223 nn aa 将 代入 可得 21232121 nnnn aaaa 即 1 nn cc nN 又 113 1 0 n caa 故c 因此 1 1 n n n c c c 所以 是等比数列 III 证明 由 II 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 2kNk 且 有 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk Saaaaaak 2124 3 kkk SSak 用心 爱心 专心 12 所以 对任意 2nNn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nN 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 点评 数列证明中的数学归纳法是一个需要牢记的分类递进推理过程 证明格式相对严 格 规范 例 10 2010 四川理数 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 用心 爱心 专心 13 求a3 a5 设bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前n项和Sn 解 1 由题意 零m 2 n 1 可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1 可得 a5 2a3 a1 8 20 2 当n N 时 由已知 以n 2 代替m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则bn 8n 2 即a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令m 1 可得 an 211 2 n aa n 1 2 那么an 1 an 2121 2 nn aa 2n 1 82 2 n 2n 1 2n 于是cn 2nqn 1 当q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n nq nqnq q q A 点评 等比数列的求和公式只适合于 特别公比中含参数时 需要分类讨论 1 qq 题型 6 三角函数与三角形中分类讨论问题 例 11 ABCABC中 已知 求sincoscos 1 2 5 13 解析 0 5 13 2 2 cosBBABC 且 为的一个内角 4590 12 13 BB 且sin 若 为锐角 由 得 此时AAAAsincos 1 2 30 3 2 用心 爱心 专心 14 若 为钝角 由 得 此时AAAABsin 1 2 150180 这与三角形的内角和为 180 相矛盾 可见A 150 coscos cos CABAB coscossinsinABAB 3 2 5 13 1 2 12 13 125 3 26 由于CAB coscos coscossinsinCABABAB 因此 只要根据已知条件 求出 cosA sinB 即可得 cosC 的值 但是由 sinA 求 cosA 时 是一解还是两解 这一点需经过讨论才能确定 故解本题时要分类讨论 对角 A 进行分类 例 12 若函数 f x a bcosx csinx 的图象经过点 0 1 和时 f x 2 0 x 1 2 且 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 解析 f x 经过点 0 1 和1 2 a1cb 1ca 2 f 1baf 0 f x a 1 a cosx 1 a sinx a 1 a sinx cosx 4 a sin x 12a 2 x0 4 3 4 x 4 1 4 xsin 2 2 1 a0 12 1 sin 2 1 4 aaxa a a1 2 x f1 要使 2 f x 2 恒成立 只要 即 2a a1 2 2a a1 2a1 从从从从 2 a 1 时 2 2 1f x 3 a 1 时 1 a8 a 8 a 8 根据条 件 逐一讨论 使问题得以解决 思维总结思维总结 分类讨论是一种重要的数学思想 也是一种重要的解题策略 它可以将整体化为局部 将复杂问题化为单一问题 以便于 各个击破 但由于分类讨论一般过程较为冗长 叙述 较为烦琐 且极易在完备上造成失误 因此它并非一定是解决问题的上策或良策 我们提倡 在熟悉和掌握分类思想的同时 要注意克服思维定势 处理好 分 与 合 局部 与 整体 之间的辨证统一关系 充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性 尽可能地简化 或避免分类讨论 下面结合一些实例 谈谈简化分类讨论的常用策略 消去参数 整体换元 用心 爱心 专心 16 反客为主 补集分析 整体变形 借助图解 1 对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论 首先应认真审查题目的特点 考虑是 否可以你用合适的公式 法则 能否进行某中变形 可否改变常规的思维方式和解题策略 即能否消除或掩盖 讨论基因 若能 则可以避免进行繁杂的分类讨论 若不能 可否先 作某些等价变换 使讨论推迟得来 这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步 当然 有 些问题 你通过了一番试验 仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论 这可能是 不可避免的 直接讨论型 问题 这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它 2 实际应用题 排列组合 中分类讨论往往带有隐蔽性 理解题意 抓住限制条件 准确把握分类对象和标准是解决问题的关键 如果发现多种分类途径 则应加强比较 从中 选择最为合理的分类途径 3 分类的原