方程的根竞赛典型题

例 求 的根 4 10 4 7 3 解 换元法 设 u 4 10 4 10 则 记为 1 式 4 4 17 记为 2 式 u v 3 因为 2 2 2 2 2 2 4 4 17 即 2 2 2 2 2 2 4 4 17 记为 3 式 将 2 式代入 3 式中 可得 9 2 2 2 2 2 17 可解得 2或者 16 舍去 联立方程 2 u v 3 解得 u 1 且 v 2 或者 u 2 且 v 1 当 u 1 且 v 2 时 解得 x 9 u 4 10 1 当 u 2 且 v 1 时 解得 x 6 u 4 10 2 关于不定方程的题目 已知 a b c 是整数 且满足 a b 3 c2 2c ab 2 求 a b c 的值 解 a b 3 ab 2 c2 2c 构造方程 x2 3x 2 c2 2c 0 其中 a b 为方程的两根 9 4 2 c2 2c 17 4c2 8c 2c 2 2 13 x k2 2c 2 2 13 k2 3 2 即 k2 2c 2 2 13 所以 k 2c 2 k 2c 2 13 或 2 2 13 2 2 1 2 2 1 2 2 13 可得 或 7 4 7 2 x 5 或 2 所以 a b c 的值为 5 2 4 或 2 5 4 或 5 2 2 或 2 5 2 例 定义在 的实值函数满足 求 1 2 1 2 1 4 解 令 得 0 1 2 0 1 2 0 0 2 1 4 所以 即 0 1 2 2 0 0 1 2 同理 令 得 即 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 令 得 即 0 1 2 0 1 2 0 0 1 4 1 2 令 得 即 1 1 2 1 2 1 1 4 1 2 所以 1 2 例 解方程例 解方程 8 5 7 6 11 3 解 令 6 11 3 则 3 11 6 则 15 103 42 故 15 103 42 1 解得 61 27 0 2 6 16 10 若 则原方程等价于 可 10 2 6 16 10 化为 即 2 6 16 10 此时原方程只有 4 个解 不符 2 6 16 10 0 合题意 若 则原方程等价于 0 1 2 1 则 1 1 2 2 由得 得 故 1 2 2 1 2 4 3 得 1 3 1 3 1 6 2 3 2 4 2 12 3 3 3 5 3 30 例 求方程 2 7 3 2 1 4 的实数解 解 令2 1 4 为整数 则2x 4 1 且有 8 3 显然 0 于是0 8 3 1 即 8 5 得 8 7 6 从而 31 2 27 2 例 求方程 5 的正整数解 4 解 方程两边同除以可得 5 1 1 1 4 5 不妨设 则 1 1 1 4 5 3 即 即 的取值范围为 13 15 4 当时 原式为 5 不符合题 1 4 意 当时 同理可得 26 2 1 1 3 10 验证知 4 5 从而 20 10 当时 可知方程无正整数解 3 综上所述 原方程共有 12 组正整数解 2 4 20 2 20 4 4 2 20 20 2 4 4 20 2 20 4 2 2 5 10 5 2 10 10 2 5 5 10 2 10 5 2 2 10 5 例 若实数满足 0 则 的值是 4 3 2 2 2 2 解 显然 原方程化为 0 1 3 2 2 令 则 所以 且 3 2 1 2 2 3 得 1 4 9 2 从而有1 4 9 2 2 解得 或 9 3 41 8 3 4 3 9 3 41 8 而又 则或 即或 13 3 2 1 3 2 3 即或 2 32 例 用柯西方程解函数方程 2 2 yfxf yx f 解 设 f 0 a 由所给的函数方程得 2 1 0 2 1 2 0 2 axf fx x f x f 由此又有 2 1 2 2 1 a yxf yx fyfxf a yfxfyxf 1 设 就有axfxg 代入 1 即得 a yfy ga yxfyxg ygxgyxg 这方程正是柯西函数方程 所以有 cx xg a cxxf 题目 f x 2f 4x 求 f x 1 解 令 x 1 f 2f x 4 1 1 4 f x 2f 4x 1 2 3f x 4x 8 f x 8 4 2 3 例 求不定方程的正整数解 3 3 1072 解 因为而 536 不是立方数 3 3 2 536 因此不妨设 则 x 即 83 512 3 1072 1331 1139 10 当时 x 9 3 1072 93 341 73 当时 无整数解 x 10 3 1072 103 72 所以原方程有两组正整数解 9 7 7 9 求方程组的整数解 0 3 3 3 18 解 设 x y z 是方程的三个根 其中 3 0 分别将 待定 代入方程得 3 0 3 0 3 0 三个方程相加得 3 3 3 3 0 将原方程代入得 18 3 0 故 6 由韦达定理得 6 1 2 3 因这三个数中必为两正一负 且负数的绝 0 所以 对值较大 应为 3 其余两数为 1 和 2 因为是对称的 所以方程组的整数解为 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 例 求出所有满足方程例 求出所有满足方程的整数解的整数解 022009 2 2 y x y 解 因为解 因为 所以 所以 0 mod7 y4120092 7 2 2 2 y y x y x 2 2 2 设设 Z 原方程可化为 原方程可化为 babyax 77 22 b ba 412 22 所以所以所以所以 41 2b b 均为完全平方数均为完全平方数 241 2 bb a 所以经检验可得所以经检验可得 b 0 或者或者 b 16 所以原方程的解 所以原方程的解 为 为 0 0 588 784 yx 例例 1 1 求满足方程 求满足方程 x x2 2 y y2 2 x x3 3的正整数对的正整数对 x y x y 的个数的个数 解 解 由 x2 y2 x3有 y2 x2 x 1 因此只有 x 1 为平方数 则方程有正整数解 x k2 1 令 x 1 k2且 k 为自然数 则 为方程的一组通解 y k k2 1 由于自然数有无限多个 故满足方程的正整数对 x y 有无限多 个 例 若 x y 是自然数 解方程 x 2xy y 5x 5y 1500 解 因为 x y 5 x y 1500 所以 x y 0 mod 5 设 x y 5a 不妨设 x y 则有 x y 5 x y 25a 5 x y 1500 即 x y 5a 300 所以 x y 0 mod 5 设 x y 5b 则有 5a 5b 300 即 a b 60 因为 a b N 所以有序实数对 a b 可以为 0 60 1 59 2 56 3 51 4 44 5 35 6 24 7 11 所以有序实数对 x y 5 2 5 2 150 150 150 145 145 135 135 120 120 100 100 75 75 45 45 10 从而原方程的解 x y 共有 15 对 分别为 150 150 150 145 145 135 135 120 120 100 100 75 75 45 45 10 145 150 120 135 100 120 75 100 45 75 10 45 例 x3是方程的根 问 1 2 3 1 0 5 1 5 2 5 3 5 解 由三次方程韦达定理得 1 2 3 0 1 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 因为 x3是方程的根 1 2 3 1 0 所以有 3 1 所以 5 2 3 2 1 3 2 1 2 5 1 5 2 5 3 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 1 3 2 3 3 0 0 2 3 5 求 3x 1 2x 的所有根的和 1 2 解 设 2x n n 为整数 则 x n 1 2 1 2 1 4 将上式代入原式 即 3 n 1 n 1 2 1 4 整理得 n n 3 2 7 4 则 n n n 1 3 2 7 4 即 n 则满足条件的 n 有 3 2 7 2 3 2 从而 x 或 x 5 4 3 4 故原式所有根的和为 2 例 求不定方程的整数解 3 2 8 40 解 x 为偶数 3 40 2 8 2 20 4 为正整数 x y z 8z 40 5 当时 z 43x 2y 8 x 3 2 1 当时 z 33x 2y 16 x 6 4 2或 2 5 当时 z 2 3x 2y 24 x 8 或 6 3或 4 6 2 9 当时 z 1 3x 2y 32 x 0 则由 得 n 0 设 f t 则 f t 在 0 上 14tt 2 是增函数 又 f m f n 所以 m n 即 3x 1 2x 3 0 所以 x 5 4 若 m0 同理有 m n 0 x 但与 m 4 故 x2 y2 x y 8 6 x2 y2 2 x2 y2 8xy8 8xy 所以原方程无整数解 当时 8 4 x2 y2 x y 8 4 x2 y2 8xy8 8xy 0 原式化为 2x 2x 1 1 y 1 y 1 则 y 1 与 y 1 同为偶数且必有一个被 4 整除 故 x 3 且 y 1 和 y 1 其中之一被 2x 1整除 但不被 2x整除 于是 有 y m 2x 1 其中 m 为正的奇数 1 代入化简得 2x 1 2x 1 m 2x 1 2 1 22x 2m2 2xm 2 1 22x 2m2 2xm 1 2x 1 2x 2m2 m 1 m 2x 2 m2 8 若 1 m2 8 0 m 1 不满足上式 故必 1 此时 1 m 2x 2 m2 8 2 m2 8 解得 m 3 但 m 1 不符合 只有 m 3 x 4 y 23 因此共有 4 组整 数解 0 2 4 23 例 求的整数解 314xyxy 解 可化为 即 314xyxy 33140 xyxy 33xy 15 51 不妨设 则 xy 33xy 从而或 31 3 x y 35 3 x y 得或 8 x y x y 例例 1 1 求不定方程的正整数解 2 12 2 2 0 解 分析解 分析 通过观察 发现可以从两个方向解题 具体思路如下 2 12 2 2 0 1 1 因为是二元二次方程 且不含有这样的交叉项 所以 2 12 2 2 0 可化成 其中 是常数 从而有 2 12 2 2 0 2 2 故可能的解只有有限多组 然后用枚举法逐一验 0 2 0 6 2 证即可解决问题 2 2 将看成关于 的一元二次方程 其中是常数项 那么 2 12 2 2 0 2 2 就是含 的一个式子 又因为求的是整数解 所以可以利用 是平方数求出 的 值 进而求出 解法一 解法一 方程变形为 6 2 2 34 从而有 0 2 340 6 20nx nn87 2 又 7 4 x y 2 0 使用基本不等式 由此可得 x y 0 将 3 x y 7 4 x y 2 两边同时除以 x y 得 3 7 4 x y 8 7 x y 0 则 x y 1 代入 3 x y 7 x 2 xy y 2 可得 4 21 y 21 y 2 0 显然正整数解综上整数解为 x t y t t 为整数 例 证明 方程无正整数解 4 4 2 证明 假设存在正整数解 其中 最小的解记为 4 4 2 z 因为 根据勾股方程的通解公式有 0 z 2 2 2 2 2 其中一奇一偶 2 2 2 2 2 0 2 2 a b a b 1 从可以得到 为奇数 为偶数 2 2 2 ab 令 b 2s 4as 其中 a s 1 所以 2 2 由得 2 2 1 2 2 2 即 2 4 4 4 2 4 4 4 又可以通过勾股方程的通解公式 注 2 2 2 2 2 2 2 2 1 意到 所以 而 2 02 02 2 02 02 与 的最小性矛盾 所以原方程组无正整 0 4 2 0 z 数解 题目 求方程 2 0 的所有整数解 x 3 xyz zy 64 3 3 思路分析 先看看如果 x y z 是解会有什么结论 根据方程显然 有 x 是偶